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2016黑龙江农业工程职业学院单招数学模拟试题(附答案)

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2016 黑龙江农业工程职业学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
1.已知集合 M ? {a, 0}, N ? {x x 2 ? 3x ? 0, x ? Z } ,若 M ? N ? ? ,则 a 等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 1或2 D 8

2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函 数”,那么函数解析式为 y ? x 2 ,值域为 ? 1, 4? 的“同族函数”共有 A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个 ( )

3.数列 ?an ? 中, a3 ? 2 , a7 ? 1 ,且数列 ? A. ?

? 1 ? ? 是等差数列,则 a11 等于 ( ) ? an ? 1 ?

2 5

B.

1 2

C.

2 3

D.5

4.把函数 y ? cos x ? 3 sin x 的图象沿向量 a ? (?m, m) (m ? 0) 的方向平移后,所得
的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A. ( C. )

? 6
D.

B.

5? 6

? 3

2? 3

5、O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满点

OP ? OA ? ? (

AB AB cos B
B.垂心

?

AC AC cosC
C.内心

), ? ? ?0,???, ,则P点的轨迹一定通过 ?ABC 的

A.重心

D.外心 (



6.过点 (?4, 0) 作直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 20 ? 0 交于 A、B 两点,如果

| AB |? 8 ,则

( )

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A. l 的方程为 5x ? 12y ? 20 ? 0或x ? 4 ? 0 ; B. l 的方程为 5x ? 12y ? 20 ? 0或x ? 4 ? 0 ; C. l 的方程为 5x ? 12y ? 20 ? 0 ; D. l 的方程为 5x ? 12y ? 20 ? 0 ;

7.F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点,点 P 在双曲线上,若点 P 到焦点 F1 的距离等 16 20
( D.6 )

于 9,则点 P 到焦点 F2 的距离为 A.1 B.17 C.1 或 17

8.已知复数 z1 =a+i,z2=1+a 2 i,若
A.1 B.-1 C.-2 D.2

z2 是实数,则实数 a 的值等于( z1



9.如图正六边形 ABCDEF 中,AC∥y 轴.从六个顶点中任取三 点,使这三点能确定一条形如 y=ax 2+bx+c (a≠0)的抛物线的概 率是( A. )

1 2 3 4 B. C. D. 5 5 5 5

10.条件中能使命题“a//b 且 b//c ? a//c”为真命题的条件的个数是 ① a,b,c 都表示直线; ③ a,b,c 都表示平面; A. 1 个 B.2 个





② a,b,c 中有两个表示直线,另一个表示平面; ④ a,b,c 中有两个表示平面,另一个表示直线; D.4 个

C.3 个

11.如图,虚线部分是四个象限的角平分线,实线部分是函 数

y

x

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y ? f ( x) 的部分图像,则 f ( x) 可能是
A. x sin x C. x 2 cos x B. x cos x D. x2 sin x ( )

12.一机器猫每秒钟前进或后退一步,程序设计师让机器猫以前进 3 步,然后再后退 2 步的规律移动。如果将此机器猫放在数轴的原点,面向正方向,以 1 步的距离为 1 单位长移动。令 P(n)表示第 n 秒时机器猫所在位置的坐标,且 P(0)=0,则下列 结论中错误的是 ( )

A.P(3)=3 B.P(5)=1 C.P(101)=21 D.P(101)> P(104)

第Ⅱ卷(非选择题共 120 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在横线上.
13.在平面直角坐标系中,x 轴的正半轴上有 2006 个点,y 轴的正半轴上有 2007 个 点,这 4013 个点任意两点连线,则所有连线段的交点落入第一象限的最多有 ______个.(用式子作答)

14.若不等式 4x ? x 2 ? ax 的解集为 x 0 ? x ? 4 ,则实数的取值范围是 ______________ 15.若 x 2 ? 1 ?x ? 2? ? a 0 ? a1 ?x ? 1? ? a 2 ?x ? 1? ? ?? a11 ?x ? 1? ,则
9 2 11

?

?

?

?

?a1 ? 3a 3 ? ?? 11a11 ?2 ? ?2a 2 ? 4a 4 ? ?? 10a10 ?2 ? ______(用数字作答).
16.对于直角坐标平面内的任意两点 A( x1 , y1 )、B(x2 , y2) ,定义它们之间的一种 “距离”: AB ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 。给出下列三个命题:①若点 C 在线段 AB 上, 则 AC ? CB ? AB ②在△ABC 中,若∠C=900,则 AC
2

? CB

2

? AB ③在△ABC 中

2

AC ? CB ? AB 。其中真命题的是______________
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本题 12 分)在△ABC 中,已知角 A,B,C 所对的三条边分别是 a,b,c,且满 足 b2 = ac.

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(1)求角 B 取值范围; (2)求函数 y ?

1 ? sin 2 B 的取值范围. sin B ? cos B

18.(本题 12 分)小张有一只放有 a 个红球,b 个黄球,c 个白球的箱子,且 a+b+c =6 (a,b,c ? N),小刘有一只放有 3 个红球,2 个黄球,1 个白球的箱子,两人各自 从自己的箱子中任取一球,规定:当两球同色时小张胜,异色时小刘胜. (1)用 a、b、c 表示小张胜的概率; (2)若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为 1 分、2 分、3 分,否则得 0 分, 求小张得分的期望的最大值及此时 a、b、c 的值.

19.(本题 12 分)设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 其中 a ? N ? , b ? N , c ? Z . (1) 若 b ? 2a ,且函数 f (sin x)(x ? R) 的最大值为 2,最小值为 ? 4 ,求 f ( x) 的解析式;

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(2)在(1)的条件下设函数 g ( x) ? ? f ( x) ? 7 x ? 2 在 ?m, n ? 上的值域是 ?? 5,4? ,试 求 m 2 ? n 2 的取值范围.

20.(本题 12 分)直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 a 的菱形,且
?ABC ? 60? ,侧棱 AA1 长等于 3a,O 为底面 ABCD 对角线的交点.

(1)求证:OA1∥平面 B1CD1; (2)求异面直线 AC 与 A1B 所成的角; (3)在棱 AA 1 上取一点 F,问 AF 为何值时,C1F⊥平面 BDF?

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21.(本题 12 分)已知双曲线 M:x2-y2=1,直线 l 与双曲线 M 的 实轴不垂直,且依次交直线 y=x、双曲线 M、直线 y=-x 于 A、B、C、

y

A B

D 四点,O 为坐标原点.

??? ? ??? ? ??? ? (1) 若 AB ? BC ? CD ,求△AOD 的面积;
(2) 若△BOC 的面积等于△AOD 面积的 1 ,求证: 3

O l

C D

x

??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? CD .

2 22.(本题 14 分)已知数列 {an } 满足 an >0,且对一切 n∈N+,有 ∑ a3 i =Sn ,其

n

中 Sn= ∑ ai,
i=1
2 (1) 求证:对一切 n∈N+,有an+1 -an+1=2Sn;

n

i=1

(2) 求数列 {an } 的通项公式; (3) 求证: ∑
n

k=1

ak <3.
2

k

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参考答案
一、选择题
1、答案 C。由集合 N 中的不等式得 0<x<3,又由于 x ? Z ,故 N ? ? 1, 2? ,所以 a=1 或2 2、答案 C。 分别令 x2=1 和 4 得 x= ? 1和 ? 2 。要使得值域为 ? 1, 4? ,定义域必含 ? 1 中 的至少一个和 ? 2 中的至少一个。所以组合起来有如下 9 种: ? 1, 2? , ? 1, ? 2?

?? 1, 2? ?? 1, ? 2? ?1,? 1, 2? ?1,? 1,? 2? ?1, 2,?2? ?? 1, 2,?2? ?? 1,1, ? 2,2?

1 1 ? a ? 1 a3 ? 1 1 1 1 1 1 ? 3、答案 B。数列 的公差为 7 ,所以 ? ? 4? 7?3 24 an ? 1 a11 ? 1 a7 ? 1 24 2 1 = ,因此 a11 = 2 3
4、答案 C。 y ? cos x ? 3 sin x = 2 cos( x ? 令m ?

?
3

) ,按 a 平移得 y ? 2 cos( x ? m ?
2? 。 3

?
3

)?m,

?
3

= k? ,得 m ? k? ?

?
3

,当 k=1 时 m 取得最小正值

5、答案 B。由结构

AB AB cos B AC

想到向量的数量积,原式即为

AP ? ? (

AB AB cos B

?

AC cosC

) ,等式两边同时点乘 BC ,得

AP ? BC ? ? ( BC ? BC ) ? 0 ,所以 P 过 ?ABC 的垂心。
l 6、答案 A。由 d ? R 2 ? ( ) 2 得圆心到直线 l 的距离为 3,再由点到直线的距离公式 2 5 得直线 l 的斜率是 ? ,得到一个解,说明可能存在的另一条直线的斜率不存在, 12
故去验证得 A 答案。

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7、答案 D。由于双曲线中 a+c=4+6=10>9,所以点 P 只能在靠近焦点 F1 的那一支上, 故 PF2 ? 2a ? PF 1 ? 2 ? 4 ? 9 ? 17 8、答案 B 。

z2 a ? a 2 ? a3 ?1 i ,故 a 3+1=0,得 a =-1. ? 2 z1 a ?1

?

? ?

?

9、答案 C。 由二次函数的性质知三点可确定一条抛物线,但两点连线不能与纵轴平 行,

C ? 2? 4 ? 3 故其概率为 6 3 5 C6
10、答案 B。①由公理 4 可得,③是两平面平行的判定定理,②和④可通过一一验证来 否定。 11、答案 A。由图知此函数是偶函数,故排除 B 与 D,又函数图象落在 y ? x 区域内, 所以选 A。 12、答案 D。由于“机器猫以前进 3 步,然后再后退 2 步的规律移动”,因此可以认 为机器猫的运动以 5 为周期向前前进 1 步。易推 A 与 B 成立,101 除以 5 得 20 余 1, 所以 P(101)=21,而 104 除以 5 得 20 余 4,故 P(104)=22 > P(101)

3

二、填空题:
13、答案为 C 2006 ? C 2007 。 构造凸四边形,凸四边形对角线的交点在凸四边形内,故 最多有 C 2006 ? C 2007 个点。 14、答案为 a ? 0 。令 y1 ?
2 2

2

2

4 x ? x 2 ,它表示以(2,0)为圆心、2 为半径的上半个

圆;令 y2 ? ax ,它表示一条过原点的直线。现要使得 y1 ? y2 在 0<x≤4 成立,即在 0<x≤4 时直线落在半圆下方,故斜率 a ? 0 。 15、答案为 0。 两边求导,再分别把 x 赋值 x=2,x=0,最后把所得两式相乘即得. 16、答案为①。设 A( x1 , y1 )、B(x2 , y2)、C(x3 , y3) ,利用定义知①成立;②③验 证可以先这样建系:以 C 为原点,CA 为 x 轴的正向建系,则

AC

2

2 ? xA , CB

2

2 ? yB , AB

2

? ( x A ? y B ) 2 ,故②不成立,③不成立。

三、解答题:

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17.(1)由 b2=ac 和由余弦定理,得

cos B ?


a2 ? c2 ? b2 ……………………………2 分 2ac
2ac ? ac 1 ? . 2ac 2
……………………………4 分

又∵B∈(0,π),∴ 0<B≤

?
3

.……………………………6 分

(sin B ? cos B) 2 1 ? sin 2 B (2) y ? = sin B ? cos B sin B ? cos B
= cos B ? sin B ?

2 sin( B ? ) , 4
<B+

?

……………………………8 分

又 0<B≤

?
3

,∴

?
4

?
4



7? .……………………………10 分 12

∴1 ? 2 sin( B ?

?
4

) ? 2 ,即原函数的值域是(1, 2 ).………………12 分

18、解:(1)P(小张胜)=P(两人均取红球)+P(两人均取黄球)+P(两人均取白球) =

a 3 b 2 c 1 3a ? 2b ? c ? + ? + ? = ……………………………5 分 6 6 6 6 6 6 36

(2)设小张的得分为随机变量 ? ,则 P( ? =3)=

c 1 b 2 a 3 ? ,P( ? =2)= ? ,P( ? =1)= ? , 6 6 6 6 6 6 3a ? 2b ? c ,……………………………9 分 36

P( ? =0)=1 一 P(小张胜)=1 一 ∴E ? =3× =

c 1 b 2 a 3 3a ? 2b ? c ? +2× ? +1× ? +0×(1 一 ) 6 6 6 6 6 6 36
3a ? 4b ? 3c 3?a ? b ? c ? ? b 1 b ? ? ? 36 36 2 36

∵ a,b,c∈N,a+b+c=6,∴b=6,此时 a=c=0,

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∴当 b=6 时,E ? =

1 b 1 1 2 ? ? ? ? ,此时 a=c=0,b=6…………………12 分 2 36 2 6 3
b 2 b ) ?c? 2 2a 4a

19.解:(1)因为 f (sin x) ? a (sin a ? 又 b ? 2a ,所以 ?

b ? ?1, 因为 a ? 0, ? 1 ? sinx ? 1 ,…………………2 分 2a

所以当 sin x ? 1 时, f (sin x) max ? a ? b ? c ? 2 , 当 sin x ? ?1 时, f (sin x) min ? a ? b ? c ? ?4 ;…………………4 分 解得: b ? 3,? 2a ? b, a ? N ? ,? a ? 1, c ? ?2 所以 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 ;…………………6 分 (2) 因为 g ( x) ? ?( x ? 2) 2 ? 4 ? 4 又 f (?1) ? ?5, f (5) ? ?5 …………………8 分 因为当 x ? ?m, n ? 时,值域为 ?? 5,4? . 所以 m ? ?1且2 ? n ? 5 或 ? 1 ? m ? 2且n ? 5 , 所以 5 ? m 2 ? n 2 ? 26或25 ? m 2 ? n 2 ? 29 , 所以 5 ? m 2 ? n 2 ? 29 . …………………12 分 …………………10 分

20.(方法一)(1) 连 A1C1,设其与 B1D1 交于点 O1.
// OC, ∴四边形 A1O1OC 为平行四边形, ∵A1O1 ?

A1 B1 F C1

D1

∴OA1//O1C, O1C ? 平面 B1CD1, OA1 ? 平面 B1CD1, ∴OA1∥平面 B1CD1.…………………………3 分 (2)∵A1C1//AC,∴ ?C1 A1B 就是异面直线 AC 与 A1B 所成的 角或其补角. 由题意得 AC ? a, A1B ? C1B ? 10a, 1 1

A B O C

D

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2 2 2 根据余弦定理得 cos ?BA1C1 ? 10a ? a ? 10a ? 10 . ……………………6 分 20 2 ? 10a ? a

故异面直线 AC 与 A1B 所成的角为 arccos

10 . …………………………………7 分 20

(3) ∵ABCD 是菱形,∴ BD ? AC . 又 AA1 ? BO, ∴ BD ? 平面 AA1C1C . ∵ C1 F ? 平面 AA1C1C ,∴ BD ? C1 F . ……………………………………………9 分 故 C1F⊥平面 BOF ? C1 F ? OF . ∴ tan ?AC F ? tan ?AFO .……………10 分 1 1
a 2 2 设 AF ? x ,则 A1 F ? 3a ? x. ∴ 2 ? 3a ? x , 即 2 x ? 6ax ? a ? 0, x a

解得 x ?

3? 7 a. 2 3? 7 a 时,C1F⊥平面 BOF.………………………12 分 2

z A1 B1 F C1 D1

故当 AF ?

(方法二)以 O 为原点,OC、OD 所在直线分别为

x 轴、y 轴,则 O(0, 0, 0), C ( a , 0, 0) , A(? a , 0, 0) , 2 2
B (0, ? 3 3 a, 0), O1 (0, 0, 3a ), A1 ( ? a , 0, 3a ) , B1 (0, ? a , 3a ) , 2 2 2

A O C x

D

y

3 3 D1 (0, a, 3a ), D (0, a, 0), C1 ( a , 0, 3a) .……………3 分 2 2 2

B

(1) O1C ? ( a , 0, 0) ? (0, 0, ? 3a) ? ( a , 0, ? 3a), 2 2

??? ?

OA1 ? (? a , 0, 3a). 2
∴ OA1 ? ?OC , ?OA1 // OC , O1C ? 平面 B1CD1 , OA1 ? 平面 B1CD1 , 1 1 ∴OA1∥平面 B1CD1.……………………………………………………………………5 分 (2) AC ? ( a , 0, 0) ? (? a , 0, 0) ? (a, 0, 0) , 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

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??? ?
A1 B ? (0, ? 3 3 a, 0) ? ( ? a , 0, 3a) ? ( a , ? a, ? 3a) , 2 2 2 2

a2 10 2 ? ??? ? ? ? . 于是 cos? AC , A1 B? ? ??? 20 AC A1 B a ? a ? 1 ? 3 ? 9 2 4

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

AC ? A1 B

故异面直线 AC 与 A1B 所成的角为 arccos

10 . ……………………………………8 分 20

(3) 设 F (? a , 0, z ) 为 AA1 上任意一点,则 2 ??? ? C1 F ? (? a , 0, z ) ? ( a , 0, 3a) ? (?a, 0, z ? 3a) . 2 2
2 ∵ C1F ? BD ? 0 ,于是 C1F⊥平面 BOF ? C1F ? OF ? 0 ? a ? z ( z ? 3a) ? 0. 2

??? ? ???

??? ? ??? ?

解得 z ?

3? 7 3? 7 a . 即 AF ? a 时,C1F⊥平面 BOF.………………………12 分 2 2

21.(1)设 l : y ? kx ? b代入x 2 ? y 2 ? 1, 得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2bkx ? b2 ? 1 ? 0. ??(1) …………………………………………2 分 显然 k ? ?1,

? ? 4b2 k 2 ? 4(1 ? b2 )(1 ? k 2 ) ? 0 ,

即 b2 ? (1 ? k 2 ) ? 0 . 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ), 则x1 , x2是方程(1)的两个根, 有
?(1 ? b 2 ) x1 ? x2 ? 2bk2 , x1 x2 ? . ………………………………………………4 分 1? k 1? k2

设 A( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) 由?

? y ? kx ? b, ? y ? x,

得x3 ?

b 1? k

; 由?

? y ? kx ? b, ? y ? ? x,

得x4 ? ?

b 1? k



? AB ? BC ? CD , 所以 x1 ? x2 ? 1 x3 ? x4 。………………………………6 分 3
所以

? ?
2bk 1? k2

2

2 2 2 ? 4b ?24 ? 1 2b 2 , 整理,得 b ? 9 (k ? 1) . 8 3 1? k 1? k

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? b2 ? 0, ? k 2 ? 1.又 ? OA ? 2
1 2 b2 1? k
2

b 1? k

, OD ? 2

b 1? k

, ?AOD ? 90?,

? S ?AOB ?

OA ? OD ?

9 ? . …………………………………………………8 分 8
x ? x4 x1 ? x2 ? bk 2 , xQ ? 3 ? bk 2 , 2 2 1? k 1? k

(2)设 BC的中点为P, AD的中点Q, 则 xP ?

xP ? xQ , 又P, Q都在直线上, 所以P, Q重合.……………………………………10 分

? AP ? DP , ? AP ? BP ? DP ? CP , ? AB ? CD .
又 S?BQC ? 1 S?AOD , ? BC ? 1 AD , ? AB ? CD ? 2 AD , ? AB ? BC ? CD . …12 分 3 3 3 22. (1) 由 ∑ ai3 =Sn2,(1)
i=1 n+1 i=1 n

得 ∑ ai3 =Sn+12,

(2)…………………2 分

3 2 2 (2)-(1),得 an ?1 ? S n ?1 ? S n =(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=(2 Sn+an+1) an+1.

∵an+1>0,∴an+12- an ?1 =2Sn.…………………4 分 (2)由 an+12- an ?1 =2Sn,及 an2-an =2Sn-1 (n≥2), 两式相减,得(an+1+ an)( an+1-an)= an+1+ an. ∵an+1+ an>0,∴an+1-an =1(n≥2) …………………6 分

当 n=1,2 时,易得 a1=1,a2=2,∴an+1- an =1(n≥1).…………………8 分 ∴{ an}成等差数列,首项 a1=1,公差 d=1,故 an=n.…………………9 分
n

(3) ∑

k a
2 k

k=1

=∑

n

1 k3

k=1

<1+ ∑

n

1 (k-1)k(k+1)

k=2

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<1+ ∑
n

2 (k-1)(k+1) ( 1 (k+1)

k=2

k+1 + k-1 )

=1 ? ?
k ?2

n

k ?1 ? k ?1 ( k ? 1)( k ? 1)

=1+ ∑ (
k=2

n

1 (k-1)

-

) =1+1+

2 1 2 n

1 (n+1)

<2+

2 <3. 2

…………………14 分


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