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2006年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案

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2006 年湖南省高中数学竞赛试卷 A 及答案 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,全卷满分 150 分。 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。 4、不能使用计算器。 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1 . 记 [x] 为 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 设 有 集 合 , , 则 ( ) A.(-2,2) B.[-2,2] C. D. 2.若 ,则 = ( ) A.-1 B. 1 C. 2005 D.2007 3.四边形的各顶点位于一个边长为 1 的正方形各边上,若四条边长的平方和为 t,则 t 的取 值区间是 ( ) A.[1,2] B.[2,4] C.[1,3] D.[3,6] 4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为棱 AB 上一点,过点 P 在空间作直线 l,使 l 与平面 ABCD 和平面 ABC1D1 均成 角,则这样的直 线条数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC= ,一个 椭圆以 C 为其焦点,另一个焦点在线段 AB 上,且 椭圆经过 A,B 两点,则该椭圆的标准方程是(焦点在 x 轴上) ( ) A. B. C. D. (注:原卷中答案 A、D 是一样的,这里做了改动) 6.将正方形的每条边 8 等分,再取分点为顶点(不包括正方形的顶点) ,可以得到不同的三 角形个数为 ( ) A.1372 B. 2024 C. 3136 D.4495 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分,请将正确答案填在横线上。 ) 7.等差数列 的前 m 项和为 90,前 2 m 项和为 360,则前 4m 项和为_____. 8.已知 , ,且 ,则 的值为______ ___. 9.100 只椅子排成一圈,有 n 个人坐在椅子上,使得再有一个人坐入时,总与原来的 n 个 人中的一个坐在相邻的椅子上,则 n 的最小值为__________. 10.在 ABC 中,AB= ,AC= ,BC= ,有一个点 D 使得 AD 平分 BC 并且 是直角,比值 能写成 的形式,这里 m、n 是互质的正整数,则 m-n=______ __. 11.设 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体,则上底面 ABCD 的内切圆上的点 P 与过 顶点 A,B,C1,D1 的圆上的点 Q 之间的最小距离是___________. 12.一项“过关游戏”的规则规定:在第 n 关要抛一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的 点数之和大于 ,则算过关。则连过前 3 关的概率为_________. 三、解答题(本大题共 4 小题,满分 78 分要求解答要有必要的过程) 13. (本小题满分 16 分) 是否存在最小的正整数 t,使得不等式 对任何正整数 n 恒成立,证明你的结论。 14. (本小题满分 18 分) 设 x,y,z 为正实数,求函数 的最小值。 15. (本小题满分 22 分) 设 A、B 分别为椭圆 和双曲线 的公共的左、右顶点。P、Q 分别为双曲线和椭圆上不同 于 A、B 的动点,且满足 。设直线 AP、BP、AQ、BQ 的斜率分别为 k1、k2、k3、k4. (1) 求证:k1+k2+k3+k4=0; (2) 设 F1、F2 分别为椭圆和双曲线的右焦点。若 ,求 的值。 16. (本小题满分 22 分) 将 m 位性别相同的客人,按如下方法入住 A1、A2、?、A n 共 n 个房间。首先,安排 1 位 客人和余下的客人 的入住房间 A1;然后,从余下的客人中安排 2 位和再次余下的客人 的 入住房间 A2;依此类推,第几号房间就安排几位客人和余下的客人 的入住;这样,最后一 间房间 A n 正好安排最后余下的 n 位客人。试求客人的数目和客房的数目,以及每间客房入 住客人的数目。 2006 年湖南省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准 说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题严格按标准给分,不设中间档 次分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本 评分标准适当档次评分. 一、选择题(本大题共 6 个小题。每小题 6 分,满分 36 分.) (注:选择题有些解答是不同于标准答案的简单一点的解法,供参考) 1. 选 C 解:由于 x=0 A,排除答案 A、C,又 x=-1 满足题意,故选 C; 2. 选 B 解:令 ,则 ,故 ,故选 B; 3. 选 B 解: 当四边形顶点与正方形顶点重合时知 t=4,排除 A、C,又取各边中点时可 得 t=2,排除 D,故选 B; 4. 选 B 解: 由于二面角 C1-AB-D 的平面角为 450,所以在这个二面角及它的“对 顶”二面角内,不存在过点 P 且与面 ABCD 和面 ABC1Dl 均成 300 角的直线.转而考虑它 的补二面角,易知过点 P 有且仅有两条直线与面 ABCD 和面 ABClDl 均成 300 角.故满足 条件的直线 l 有 2 条,选 B; 5.选 A 解:因为 BC=4 ,设椭圆的另一个焦点为 D.以 DC 为 x 轴,中点为原点建立直 角坐标系.设椭圆方程为: (a>b>0), 所以|AD|+|BD|+|AC|+|BC|= 4a. 即 8+4 =4a,a=2+ .|AD|=2a-|AC|=2 . 在直角三角形 ADC 中, , , 故方程 为所求,选 A; 6.选 C 解法一:首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上. 任选正方形的三边,使三个顶点分别在其上,有 4 种方法;再在选出的三条边上各选一 点,有 73 种方法.这类三角形共有 4×73=1372 个. 另外,若三角形有两个顶点在正方形的一条边上,第三个顶点在另一条边上,则先

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