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湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解(八)

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湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解八 71.如图, 和 两点分别在射线 OS、 OT 上移动,且

,O 为坐标原点,动点 P 满足 . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ) 求 P 点的轨迹 C 的方程, 并说明它表示怎样的曲线? (Ⅲ)若直线 l 过点 E(2,0)交(Ⅱ)中曲线 C 于 M、N ,求 l 的方程. 72. 已 知 函 数

两 点 , 且

。 (1)若函数 f(x) 、g(x)在区间[1,2]上都为单调函数且它们的单调性相同,求实数 a 的取值范围; (2)? 、 ? 是函数 H (x) 的两个极值点, ? <? , 不等式 73. 设 (Ⅰ)求函数 ( Ⅱ) 当 (Ⅲ)如果对满足 74.已知椭圆 是定义在 的解析式; 时,求函数 在 上的最大值 在 ; 上恒有 ,求实数 的取值范围. 与椭圆 交于 两点,且当 成立 上的奇函数,且当 时, . 。 求证: 对任意的 x1、 x2 ,

的一切实数 ,函数

的中心为原点,点

是它的一个焦点,直线 过点

直线 垂直于 轴时, (Ⅰ)求椭圆 的方程;



(Ⅱ)是否存在直线 ,使得在椭圆

的右准线上可以找到一点

,满足

为正三角形.如果存在,

求出直线 的方程;如果不存在,请说明理由.

75. 已知数列

满足





(Ⅰ)求数列

的通项公式



(Ⅱ)设

,求数列

的前 项和



(Ⅲ)设

,数列

的前 项和为

.求证:对任意的





76、已知函数 f (1)求曲线 (2)当 在点 时,求函数 处的切线方程 的单调区间

(3)当

时,若不等式

恒成立,求 的取值范围。

77、已知函数 (1)当 时,求曲线

,其中 为实数. 在点 处的切线方程; , 恒成立?若不存在,请说明理由,若存

(2)是否存在实数 ,使得对任意 在,求出 的值并加以证明.

78、已知 函数 的图像的切点的横坐标为 1。 的值;

,直线 与函数



的图像都相切,且与

(Ⅰ)求直线 的方程及 (Ⅱ)若 (Ⅲ)当 79、已知抛物线 两点( 在 、 : 之间).

的导函数) ,求函数 时,比较: 的准线与 轴交于 与 点,过 的大小,

的最大值;

点斜率为 的直线 与抛物线

交于



(1)

为抛物线

的焦点,若

,求 的值;

(2)如果抛物线

上总存在点

,使得

,试求 的取值范围. (F 为圆心) ,定直线 ,作与圆 F 内

80、在平面直角坐标系中,已知定圆 F: 切且和直线 相切的动圆 P, (1)试求动圆圆心 P 的轨迹 E 的方程。 (2)设过定圆心 F 的直线 ① 是否存在直线 ②当直线 ,使得

自下而上依次交轨迹 E 及定园 F 于点 A、B、C、D, 成立?若存在,请求出这条直线的方程;若不存在,请说明理由。 的值是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。

绕点 F 转动时,

黄冈中学 2011 年高考数学压轴题汇总 详细解答 71 解: (Ⅰ)由已知得

…………4 分 (Ⅱ)设 P 点坐标为(x,y) (x>0) ,由 , 得 …………5 分



消去 m,n 可得

,又因

8分

∴ P 点的轨迹方程为 它表示以坐标原点为中心,焦点在 轴上,且实轴长为 2,焦距为 4 的双曲线

的右支 (Ⅲ)设直线 l 的方程为 即 易知 又 设 ∵ l 与 C 的两个交点

…………9 分 ,将其代入 C 的方程得

(否则,直线 l 的斜率为

,它与渐近线平行,不符合题意)

,则 在 轴的右侧

∴ 又由

,即 同理可得 …………11 分

由 由 由

得 得 得

,∴

消去



,解之得:

,满足 或

…………13 分 …………14 分

故所求直线 l 存在,其方程为: 72.

73 解: (Ⅰ)当

时,

,则 . ……………………………2 分 ……………………………3 分



时,



…………………………4 分

(Ⅱ)当

时,

. ………5 分

(1)当

,即

时,



时,

, 当

时,





单调递增,在

上单调递减,



……………………………7 分

(2)当

,即

时, ,





单调递增.

……………………………9 分

……………………………10 分 (Ⅲ) 要使函数 也即是对满足 在 上恒有 的实数 , ,必须使 在 上的最大值 .

的最大值要小于或等于 . ………………11 分

(1)当

时,

,此时



上是增函数,





,解得

. ………① ………………12 分

(2)当 .

时, ,解得 .

,此时, .………②



上是增函数,

的最大值是

……………………………13 分

由①、②得实数 的取值范围是

……………………………14 分

74 解: (Ⅰ)设椭圆

的方程为:

,则

.……① ……1 分

当 垂直于 轴时,

两点坐标分别是





,则

,即

.………② …3 分

由①,②消去 ,得





(舍去) .



时,

.因此,椭圆

的方程为

.……………………………5 分

(Ⅱ)设存在满足条件的直线 .

(1) 当 直 线 垂 直 于

轴时,由(Ⅰ )的解答可知

,焦点

到右准线的距离为

,此时不满足 因此,当直线 垂直于 轴时不满足条件.

. ……………………………7 分 .

(2)当直线 不垂直于 轴时,设直线 的斜率为 ,则直线 的方程为







两点的坐标分别为



,则







……………………9 分

又设

的中点为

,则





为正三角形时,直线

的斜率为





.…………………………11 分



为正三角形时, . …………………………13 分

,即



,解得



因此,满足条件的直线 存在,且直线 的方程为



.……14 分

75 解: (Ⅰ)



,……………3 分





数列

是首项为 ,公比为

的等比数列.……5 分

, (Ⅱ)



. .

………………6 分



………………9 分

(Ⅲ)



. ……………………10 分



时,则





对任意的





………………………14 分

76、 (1)

所以切线方程为

(2)



时,

当 (3)当

时, 时, 1 + 增 0 极大值 减 0 极小值 + 增

77、 (1)

时,



, 又

,………………………2 分

所以切线方程为

………………………2 分

(2)1°当

时,

,则







再令 当 ∴当 时 时,

, ,∴ 在 , 上递减,

∴ 所以

,所以 ……………………5 分



上递增,





时, 时

,则 , 在 上递增

由 1°知当

当 所以

时, 在

, 上递增,∴ ………………………1 分 ∴ ;………………………5 分

由 1°及 2°得:

78、解: (I)依题意知:直线 是函数 以直线 的方程为

在点(1,0)处的切线,故其斜率



又因为直线 与 得

的图像相切 所以由

(Ⅱ)因为

所以

当 因此, 因此,当

时, 在 时,

当 上单调递增,在 取得最大值

时, 上单调递减。

(Ⅲ)当

时,

,由(Ⅱ )知:当

时,

,即

因此,

有 79、 (1)法一:由已知 设 ,则

即 ………………………………1 分 ,……………………………1 分 ,………………………1 分



得,

,解得

………………………2 分

法二:记 A 点到准线距离为 分

,直线 的倾斜角为

,由抛物线的定义知

,………………………2

∴ (2)设 ,

,∴ ,

………………………3 分





,………………………1 分

首先由





,同理

……………………2 分





,…………………………2 分

即:





,…………………………2 分

,得 由 且 得,





的取值范围为 80. 解析: (1)设动圆心 P(x,y) 因为动圆 P 与定园 F 内切,则 若 若 则 则

…………………………3 分

故动圆心 P 的轨迹是以 F 为焦点, 分

为准线的抛物线,其方程为:

……4

(2) ①当直线 m 的斜率存在, 由











无解,此时不存在。 ,显然

……8 分 成立. ……9 分

当直线 m 的斜率不存在时,则 故存在直线 m 使 成立.此时直线 m:

② 当直线 m 的斜率存在时,由① 当直线 m 的斜率不存在时,

故对于任意的直线 m,

为定值.

……13 分


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