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山东省市重点中学2010-2011学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)

时间:2013-02-07


山东省市重点中学 2010-2011 学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)
注意事项
1 .本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟;

2 . 使用答题纸时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔,要

字迹工整,笔迹清晰,超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效;
3 .答卷前将密封线内的项目填写清楚。 参考公式 P ( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826,
P ( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544, P ( ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那 么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

?xy
i i ?1

n

i

? nx ? y , ? ? a ? y ? bx . ? nx
2

?x
i ?1

n

2 i

2

独立性检验公式 独立性检验临界值表:
2 P K ? k) 0.50 (

K

2

?

n ? ad ? bc ?

? a ? b ? ? a ? c ? ?c ? d ? ?b ? d ?

.

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

0.455

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. “ ,应假设 1 .用反证法证明: a , b 至少有一个为 0” A. a , b 没有一个为 0 C. a , b 至多有一个为 0 B. a , b 只有一个为 0 D. a , b 两个都为 0
x? y

2 .已知 x , y ? R , i 为虚数单位,且 ( x ? 2) i ? y ? 1 ? i ,则 (1 ? i )

的值为

A.4
1 7

B. ? 4
1 6

C. 4 ? 4i
1 5

D. 2i
1 4

,且 Eξ =7,Dξ =6,则 p 等于 3 .已知ξ ~B(n,p) A. B. C. D.

4 . 在 4 次独立试验中,事件 A 出现的概率相同,若事件 A 至少发生 1 次的概率是

65 81

,则

事件 A 在一次试验中出现的概率是 A.
1 3

B.

2 5

C.

5 6
1

D.

2 3

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5 . 某电视台连续播放 5 个不同的广告,其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传

广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且两个奥运宣传广告不能连续播放,则不 同的播放方式有 A.120 种 B.48 种 C.36 种 D.18 种
6 .若 (1 ? 2 x ) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ... ? a 7 x , 那么 a 1 ? a 2 ? ... ? a 7 的值等于
7 2 7

A. ? 2 等于 A.0.025
2

B. ? 1

C.0

D.2

,已知 P (? ? ? 1 . 96 ) ? 0 . 025 , 则 P (| ? |? 1 . 96 ) 7 .设随机变量 ? 服从标准正态分布 N(0,1) B. 0.950 C. 0.050 D.0.975

8 . 由曲线 y ? 3 ? x 和直线 y ? 2 x 所围成的封闭图形的面积为

A.

86 3

B.
2 x ?1

32 3

C.

16 3

D.

14 3

9 .函数 f ( x ) ? x ? e

, x ? ?? 2 ,1? 的最大值为 C. e 2 D. 3e 2

A. 4e ? 1

B. 1

对本班 50 人进行了问卷调查得到了下表: 10 .为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,
喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30
2

不喜爱打篮球 5 15 20

合计 25 25 50

则根据表中的数据,计算随机变量 K 的值,并参考有关公式,你认为性别与是否喜爱打篮 球之间有关系的把握有 A.0 B. 99% C .99.5% D. 100%
11 .在一次反恐演习中,我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发

射一枚导弹) ,由于天气原因,三枚导弹命中目标的概率分别为 0.9,0.9,0.8,若至 少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁,则目标被摧毁的概率为 A.0.998 B.0.046 C.0.002 D.0.954
12 . 设 函 数 f

?x? ?

x sin x ? cos x 的 图 像 在 点 ? t , f ? t ? ? 处 切 线 的 斜 率 为 k , 则 函 数

k ? g ? t ? 的部分图像为

A

B

C
2? 5 1 4

D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分。
13 .已知 cos

?
3

?

1 2

, cos

?
5

cos

?

, cos

?
7

cos

2? 7

cos

3? 7

?

1 8

,? ,根据以上等式, .

可猜想出的一般结论是

2

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14 .某校某次数学考试的成绩 x 服从正态

分布,其密度函数为 f ( x ) ?

1 2? ?

?

(x?? ) 2?
2

2

1

e

,

5 2?

密度曲线如右图,已知该校学生总数是 10000 人, 则成绩位于 ( 65 ,85 ] 的人数约是
? x 2 , x ? ?0 ,1? 15 .设 f ( x ) ? ? ? 2 ? x , x ? ?1, 2 ?
2

. 则 ? f ( x ) dx
0

O

75

x

等于

.
2 3

16 .排球比赛的规则是 5 局 3 胜制,A、B 两队每局比赛获胜的概率分别为



1 3



前 2 局中 B 队以 2:0 领先,则最后 B 队获胜的概率为 . 三、 解答题: 本大题 6 个小题, 74 分.解答须写出必要的文字说明、 共 证明过程及演算步骤. (本小题满分 12 分) 17 . 已知 ( x ?
2 x ) 展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162,求:
n

(1) n 的值; (2)展开式中含 x 3 的项. (本小题满分 12 分) 18 . 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求: (1)第一次抽到理科题的概率; (2)在第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科题的概率. (本小题满分 12 分) 19 . 山东省某示范性高中为了推进新课程改革, 满足不同层次学生的需求, 决定从高一年级 开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息 技术辅导讲座, 每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座, 也 可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称 为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表:
信息技术 周一 生物 化学 物理 数学

1 4

1 4
1 2

1 4
1 2

1 4
1 2

1 2
2 3

周三

1 2

周五

1 3

1 3

1 3

1 3

2 3

(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. (本小题满分 12 分) 20 . 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系, 他们分别到气象局与某 医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数, 得到如下资料:
日 期 1月10日 2月10日 3月10日 3 4月10日 5月10日 6月10日

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昼夜温差 x ( C ) 就诊人数 y 个

0

10 22

11 25

13 29

12 26

8 16

6 12

该兴趣小组确定的研究方案是: 先从这六组数据中选取 2 组, 用剩下的 4 组数据求线性回归 方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. ⑴ 求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; ⑵ 若选取的是 1 月与 6 月的两组数据, 请根据 2 至 5 月份的数据, 求出 y 关于 x 的线性
? 回归方程 y ? bx ? a ;

⑶ 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人, 则认为 得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想? 21. (本小题满分 12 分) 若n ? N * , Sn ? 1?
1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? ??? ? 1 2n ? 1 ? 1 2n

, Tn ?

1 n ?1

?

1 n?2

? ??? ?

1 2n

.

⑴ 求 S 1 , S 2 , T1 ,T 2 ; ⑵ 猜想 S n 与 T n 的关系,并用数学归纳法证明. (本小题满分 14 分) 22 . 已知函数 f ( x ) ? x ,函数 g ( x ) ? ? f ( x ) ? sin x 是区间[ ? 1,1]上的减函数. ⑴ 求 ? 的最大值; ⑵ 若 g ( x ) ? t 2 ? ? t ? 1在 x ? [ ? 1,1] 上恒成立,求 t 的取值范围; ⑶ 讨论关于 x 的方程
ln x f ( x) ? x ? 2 ex ? m 的根的个数.
2

4

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高二模块检测 数学(理)试题参考答案 一、选择题:ADAAC 二、填空题: 13. cos 5 6 ABBCC DB
cos 2? 2n ? 1 ? cos n? 2n ? 1 ? 1 2
n

?
2n ? 1

, n ? N ? .14. 9544

15. 三、解答题:

16.

19 27
n?6 n?3

17. 解: (1)∵ T3 ? C n ( x )
2
2 1

n?2

(?

2 x

) ? 4C n x
2 2
2 1

2

T2 ? C n ( x )
1

n ?1

(?

2 x

) ? ? 2C n x
1

2

依题意得 4 C n ? 2 C n ? 162
n ? 81 , n ? 9
2

∴ 2 C n ? C n ? 81 ??????????????6 分

(2)设第 r ? 1 项含 x 项,
3

则 T r ?1 ? C 9 ( x )
r

9?r

(?

2 x

9?3r

) ? (?2) C 9 x
r r r
1 3

2



9 ? 3r 2

? 3, r ? 1

∴第二项为含 x 3 的项: T 2 ? ? 2 C 9 x ? ? 18 x

3

??????12 分 第一次和第

18.解:设第一次抽到理科题的概率的概率为 A ,第二次抽到理科题的概率 B , 二次都抽到理科题为事件 AB . ⑴ 从 5 道题中不放回地依次抽 2 道题事件为` n ( ? ) ? A5 ? 20
2

依据分步乘法计数原理, n ( a ) ? A 3 ? A 4 ? 12 .
1 1

∴ p ( A) ?

n( A) n (? )

?

12 20

?

3 5

??????5 分

⑵ ∵ n ( AB ) ? A3 ? 6 , ∴ P ( AB ) ?
2

n ( AB ) n (? )

?

6 20

?

3 10

??????8 分

3

∴ P(A B ) ?

P(AB)

1 = ? 10 ? 3 P(A) 2 5

??????12 分

19、解: (1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A,则
P ( A ) ? (1 ? 1 2 )(1 ? 2 3 )(1 ? 2 3 )? 1 18

??????3 分

(2) ? 可能取值为 0,1,2,3,4,5
P (? ? 0 ) ? (1 ? 1 2 ) ? (1 ?
4

2 3

)?

1 48

5

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P (? ? 1) ? C 4 ?
1

1 2

(1 ?

1 2

) ? (1 ?
3

2 3

) ? (1 ?

1 2

) ?
4

2 3

?

1 8

1 2 1 2 2 1 1 3 2 7 2 1 P (? ? 2 ) ? C 4 ? ( ) (1 ? ) ? (1 ? ) ? C 4 ? ? (1 ? ) ? ? 2 2 3 2 2 3 24 1 3 1 2 1 2 1 2 2 1 3 2 P (? ? 3 ) ? C 4 ? ( ) (1 ? ) ? (1 ? ) ? C 4 ? ( ) ? (1 ? ) ? ? 2 2 3 2 2 3 3 1 4 2 1 3 1 2 3 3 P (? ? 4 ) ? ( ) ? (1 ? ) ? C 4 ? ( ) ? (1 ? ) ? ? 2 3 2 2 3 16 1 4 2 1 P (? ? 5 ) ? ( ) ? ? 2 3 24

??????9 分

所以,随机变量 ? 的分布列如下

?
P

0

1

2

3

4

5

1 48

1 8 7 24 ? 3? 1 3

7 24 ? 4? 3 16 ? 5? 1 24

1 3

3 16 8 3

1 24

E? ? 0 ?

1 48

? 1?

1 8

? 2?

=

??????12 分

20.解:⑴设抽到相邻两个月的数据为事件 A 因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有 C 6 ? 1 5 种情况,每种情况都是等可能出现的,其中
2

抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种 所以 P ? A ? ?
5 15 ? 1 3
5 5 2

?????????????4 分

⑵ 由数据求得 x ? 11 , y ? 24 , ? x i y i ? 1092 , ? x i ? 498
i?2 i?2

? 由公式求得 b ?

18 7

? ? ? ,再由 a ? y ? bx . a ? ?

30 7

??????????8 分 ?????????10 分

? 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 150 7
150 7

18 7

x?
4 7

30 7

⑶ 当 x ? 10 时, y ?



? 22 ?

<2

同样,当 x ? 6, 时, y ?

78 7



78 7

? 12 ?

6 7

<2

所以,该小组所得线性回归方程是理想的. ???????????12 分 21.解: (1) S 1 ? 1 ?
1 2 ? 1 2

, S2 ? 1 ?

1 2

?

1 3

?

1 4

?

7 12

6

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1?1 2 1 1 7 T2 ? ? ? 2 ? 1 2 ? 2 12

T1 ?

1

?

1

, ?????????????2 分
*

(2)猜想: S n ? T n ( n ? N )
1? 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ?? ? 1 2n ? 1 ? 1 2n ? 1

即:
? 1 n?2 ? 1 n?3 ?? ? 1 2n . (n∈N*)?5 分

n ?1

下面用数学归纳法证明 ① n=1 时,已证 S1=T1 ?????????????????6 分

② 假设 n=k 时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*) ,即:
1? 1 2 ? 1 3 ? 1 4
1 2k ? 1 1 2k ? 1

?? ?

1 2k ? 1
?

?

1 2k

?

1 k ?1

?

1 k?2

?

1 k ?3

?? ?

1 2k

. ???8 分

则 S k ?1 ? S k ?
? Tk ?

1 2( k ? 1) 1 2( k ? 1) ? 1 k ?1 ? 1 k?2 ? 1 k?3 ?? ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ? 1 2( k ? 1)

?

?

1 k?2
1

?

1 k ?3
?

?? ?
1

? 1 ? 1 ?? ? ? 2 k ? 1 ? k ? 1 2( k ? 1) ? 1
?? ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ? 1 2( k ? 1)

?

( k ? 1) ? 1

( k ? 1) ? 2

? Tk ?1

所以 n ? k ? 1 命题成立. 由①,②可知,对任意 n ? N * , S n ? T n 都成立. 22.解: ⑴ f ( x ) ? x ,? g ( x ) ? ? x ? sin x ,
? g ( x ) 在 [ ? 1,1] 上单调递减,

?????11 分 ?????12 分

? g ' ( x ) ? ? ? cos x ? 0

? ? ? ? cos x 在[-1,1]上恒成立,? ? ? ? 1 ,故 ? 的最大值为 ? 1 . ??4 分

⑵ 由题意 [ g ( x )] max ? g ( ? 1) ? ? ? ? sin 1,
? 只需 ? ? ? sin 1 ? t ? ? t ? 1,
2

∴ ( t ? 1) ? ? t ? sin 1 ? 1 > 0 (其中 ? ? ? 1 ) ,恒成立,
2

令 h ( ? ) ? ( t ? 1) ? ? t ? sin 1 ? 1 ? 0 ( ? ? ? 1) ,
2

?t ? 1 ? 0 则? , 2 ? t ? 1 ? t ? sin 1 ? 1 ? 0 ?
7

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?t ? ? 1 2 ?? 2 , 而 t ? t ? sin 1 ? 0 恒成立, ? t ? t ? sin 1 ? 0

? t ? ?1

????9 分
? ln x x ? x ? 2 ex ? m .
2

⑶ 由

ln x f ( x)

令 f1 ( x) ?

ln x x

, f 2 ( x ) ? x ? 2 ex ? m ,
2

? f1 ( x) ?
'

1 ? ln x x
2

,

当 x ? ( 0 , e )时 , f 1 ( x ) ? 0 ,
'

? f 1 ( x ) 在 ?0 , e ? 上为增函数;

当 x ? ?e , ?? ? 时, f 1' ( x ) ? 0 ,
? f 1 ( x ) 在 ?e , ?? ? 为减函数;

当 x ? e 时 , [ f 1 ( x )] max ? f 1 ( e ) ? 而 f 2 ( x) ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2 ,
?当m ? e ?
2

1 e

,

1 e

,即 m ? e ?
2

1 e

时 , 方程无解;

当m ? e ?
2

1 e

,即 m ? e ?
2

1 e

时,方程有一个根;

当m ? e ?
2

1 e

时, m ? e ?
2

1 e

时,方程有两个根. 版本

????14 分 期数

年级 内容标题 分类索引号 主题词 供稿老师 录入

高二 (通用版)

学科 数学

山东省市重点中学 2010-2011 学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科) G.624.6 分类索引描述 考试试题与题解

山东省市重点中学 2010-2011 学年下学期高二年级期 栏目名称 名校题库 末考试数学试卷(理科) (通用版) 审稿老师 一校 二校 审核

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