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圆锥曲线基本概念(教师版)

时间:2016-06-13


椭圆
1.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆 的标准方程是____________ 解析:

x2 y 2 ? ?1 16 4

x2 ? y 2 ? 1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 2.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 3
外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 4 3 解析: 4 3 3.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1的离心率为

3 2

解析:

3 2
1 5 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 k 的值为 k ? 4或k ? ? 2 4 k ?8 9

4. 已知椭圆

解析: k ? 4或k ? ?

5 4
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5

王新敞
奎屯

新疆

椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 25 9

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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P 为椭圆上的一点, 已知 PF 则△ F1 PF2 的 F2 , 1 ? PF 2,

面积为 解析: 9

反馈练习:
1. 如果 x2+ky2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________ [解析]: (0,1) 2 2 2. 如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________. [解析](0,1). 椭圆方程化为

x2 y2 2 + =1. 焦点在 y 轴上,则 >2,即 k<1. 2 2 k k

又 k>0,∴0<k<1. 3. 已知方程

x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,求 k 的取值范围____________. k ?5 3? k

?k ? 5 ? 0, ? 解:由 ?3 ? k ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,且 k ? 4 . ?k ? 5 ? 3 ? k , ?
∴满足条件的 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 ,且 k ? 4 . 说明:本题易出现如下错解:由 ?

?k ? 5 ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,故 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 . ?3 ? k ? 0,

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a ? b ? 0 这个条件, 当 a ? b 时, 并不表示 椭圆.

x2 y2 B 两点 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、 4. 已知 F 1 , F2 为椭圆 25 9
若 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ? .

解析: 8 5.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等 腰直角三角形,则椭圆的离心率是 解析:

2 ?1

x2 y 2 10 ? ? 1 的离心率 e ? 6.若椭圆 ,则 m 的值为 5 m 5
解析: 3或

25 3

7. (2012 年高考(江西理) )椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点 a 2 b2

分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________. 【 解 析 】 由 椭 圆 的 性 质 可 知 : AF 1 ? a ?c , F 1F 2 ? 2c , F 1B ? a ? c . 又 已 知

AF1 , F1F2 , F1B 成等比数列,故 (a ? c)(a ? c) ? (2c)2 ,即 a2 ? c2 ? 4c2 ,则 a 2 ? 5c 2 .故
e? c 5 . ? a 5

解答题
1.(1)求经过点 ( ?

3 5 , ) ,且 9x2 ? 4 y 2 ? 45 与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 2 2

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的 3 倍,点 P(3,0)在该椭圆上, 求椭圆的方程。 【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是:①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上; ②定量,即根据条件列出基本量 a、b、c 的方程组,解方程组求得 a、b 的值;③写出方程. 解: (1)方法一 ∵椭圆焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义知,

y 2 x2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

3 5 3 5 3 1 2a ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? 10 ? 10 ? 2 10 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a ? 10 ,又∵ c ? 2 ,∴ b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 ,
所以,椭圆的标准方程为 方法二:

y 2 x2 ? ? 1。 10 6

x2 y 2 (2)方法一:①若焦点在 x 轴上,设方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,∵点 P(3,0) a b
在该椭圆上∴

9 x2 2 2 a ? 3 b ? 1 a ? 9 b ? 1 ? y 2 ? 1. 即 又 ,∴ ∴椭圆的方程为 a2 9 9 y 2 x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? , ∵点 ( P 3,0) 在该椭圆上∴ 2 ? 1 2 b a b

②若焦点在 y 轴上, 设方程为

y 2 x2 ? ?1 即 b ? 9 又 a ? 3b ,∴ a ? 81 ∴椭圆的方程为 81 9
2
2

方法二:设椭圆方程为 Ax ? By ? 1? A ? 0, B ? 0, A ? B ? .∵点 P(3,0)在该椭圆上
2 2

∴ 9A=1 , 即 A ?

1 1 x2 2 ? y2 ? 1 或 , 又 a ? 3b ∴ B ? 1或 , a ? 81 ∴ 椭 圆 的 方 程 为 9 81 9

y 2 x2 ? ? 1. 81 9

【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法,若焦点在 x 轴上,设方程为

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,有时为了运 ,若焦点在 y 轴上,设方程为 ? ? a 2 b2 a 2 b2
算方便,也可设为 Ax2 ? By 2 ? 1 ,其中 A ? 0, B ? 0, A ? B .

x2 2 2. 设 P 是椭圆 2 ? y ? 1? a ? 1? 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点,求 PQ 的最 a
大值。 解析:依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= x ? ? y ? 1? ,又因为 Q 在椭圆上,
2 2

所以,x2=a2(1-y2), |PQ|2= a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2, =(1-a2)(y-

1 2 1 )- +1+a2 。 2 2 1? a 1? a
1 1 a2 a2 ? 1 ≤ 1, 当 y = 时 , |PQ| 取最大值 , 1 ? a2 1 ? a2 a2 ? 1

因为|y|≤1,a>1, 若 a≥ 2, 则

若 1<a< 2,则当 y=-1 时, |PQ|取最大值 2。

3.点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆 36 20

上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2) 设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。 【分析】①列方程组求得 P 坐标;②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解,要 注意椭圆上点坐标的范围. 解: (1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 AP =( x +6, y ), FP =( x -4, y ),由已知可得

??? ?

??? ?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
则 2 x +9 x -18=0,
2

x = 或 x =-6.

3 2

由于 y >0,只能 x =

3 5 3 ,于是 y = . 2 2

∴点 P 的坐标是(

3 5 3 , ) 2 2

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

m?6 2

.

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2.

椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有

5 4 9 2 d2 ? ( x ? 2 ) ? y 2 ? x 2 ?4 x ?4 ?2 0 ? x2 ? (x ? 2 ) , ?1 5 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2
点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题, 通常转化为二次函数值域问题.

4.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 10 16 4
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上, a 2 b2

5. 设椭圆

?F1PF2 ? 2? ,求证: ?PF1F2 的面积 S ? b2 tan ? .
【分析】有关椭圆的焦半径问题用定义解决比较方便. 解:设 PF 1 ? m, PF2 ? n , 则 S ?

1 mn s i n? 2 , 又 F1F2 ? 2c , 由 余 弦 定 理 得 2

? 2c ?
=

2

? m 2 ? n 2 ? 2mn cos 2?

?m ? n?

2

? 2mn ? 2mn cos ?

=

? 2a ?

2

? 2mn ?1 ? cos 2? ?







2mn ?1 ? cos 2? ? ? 4a2 ? 4c2 = 4b 2 ,所以
2b 2 1 2b 2 mn ? ? sin 2? = b2 tan ? ,从而有 S ? ? 1 ? cos 2? 2 1 ? cos 2?

例. 设 P 是椭圆 解析:

x2 ? y 2 ? 1 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点,求 PQ 的最大值。 2

例.点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,M(2,0)是 36 20

椭圆长轴 AB 上的一点,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。

双曲线 1.双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? ?

1 4

2. 方程

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的范围是 k ? 3或k ? ?3 k ?3 k ?3

3.已知中心在原点,焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ? 为 5

1 x ,则此双曲线的离心率 2

P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值等于 6 ,则 4. 已知焦点 F 1 (5,0), F 2 (?5,0) ,双曲线上的一点
双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 9 16

5.过双曲线 x 2 ? y 2 ? 8 的右焦点 F2 有一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,那么△F1PQ 的周长 为 14 ? 8 2

反馈练习: 1.双曲线

x2 y2 ? ? ?1 的渐近线方程为 y ? ? 2 x 2 4

2.已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, 0) , (4, 0) ,则双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 4 12

3.已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 5,0) , P 是此双曲线上的一点, 且 PF F2 ( 5,0) , 1 ? PF 2,

x2 ? y2 ? 1 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是 4 x 2 y2 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,F1 、F2 分 4. 设 P 是双曲线 2 - = a 9
别是双曲线左右焦点,若 PF1 =3,则 PF2 =7

5.已知 F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形, a2 b2

若双曲线恰好平分正三角形的另两边,则双曲线的离心率是

3 ?1


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