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第8届国际物理奥林匹克竞赛试题及解答

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第 8 届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
(1975 年于德意志民主共和国的居斯特罗)

【题 1】一根杆以恒定的角速度 ω 绕竖直轴旋转,杆与轴的夹角为(90 -α ) 。 质量为 m 的质点可以沿杆滑动,摩擦系数为 μ 。求转动过程中,质点保持在同一 高度的条件(如图 8.1) 。 解:我们发现,采用所谓“滑动摩擦角”概念是有用的。如果滑动摩擦系数等 于某一角度的正切值,就称这个角 ε 为“滑动摩擦角” (如解图 8.1 所示) ,即 tan ε =μ 我们必须求出把物体压向平台的合力。如果合力与平面法线之间的夹角在滑动 摩擦角之内,则摩擦力大到足以阻止运动。极限情形是合力与摩擦角的一臂重合。 对于本题, 当我们寻找质点在旋转杆上向上滑动的极限情况时, 合力应位于 (α +ε ) 角的双臂内 (如 解图 8.2 所示) 。 图 8.1
?

0

r

m?2r

?
解图 8.1
2 2

?

?

mg
?

?

1 , 3 , 5

解图 8.2

把质点压在杆上的力是重力 mg 与 mω r=mω Lcosα 的合力。 故质点在向上滑动的极限情形下, (α 角

m? 2 L cos? ? 2 L cos? ? +ε )的正切为 tan(? ? ? ) ? mg g
同理,质点向下滑动的极限情形可用角(α +ε )的正切得到。于是,如果

600

450 300 150

tan( -? ) ? ?

? 2 L cos?
g

? tan( ? ? ) ?

则质点在旋转杆上处于平衡。
0.1 0.2

0.3 m

从边界条件可以看出,存在着一个较高位置(Lf)和一个较低位置(La) , 质点在这两位置之间的任何地方将处于随遇 解图 8.3 平衡状态。在这两边界之外,质点无法平衡,质点将向上或向下滑动。随遇平衡位置 Lf-La 可由边界 条件导出:
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L f ? La ? 2 g tan ? ? cos ? (1 ? tan 2 ? ? tan 2 ? )
2 3

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解图 8.3 对不同的 α 角,画出质点在杆上哪些部分处于随遇 平衡, (取 ω =10 s ,μ =0.268,ε =15 ) 。虚线表示无摩擦时质点非稳定平衡位置。 【题 2】求出厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件, 并就不同类型的透镜讨论可行性。 解答: 我们必须知道厚透镜的性质。 厚透镜由下述数据表 征:球形表面的半径 r1 和 r2,厚度 d 和折射率 n(如解图 8.4 所示) 。焦距 f=B F 由下式给出
r1
B A
-1 0

r2
F

d

f

?1 1 1 n ?1 1 ? ? (n ? 1) ? ? ? d ( ) ? f n r1 r2 ? ? r1 r2
焦距是从主点 B 算起的。B 点离表面的距离为 解图 8.4

BA ? h ?

r2 d n(r1 ? r2 ) ? d (n ? 1)

上述公式对任意厚度的厚透镜都成立,但只对近轴光线才给出满意的结果,因为是在一定的近似下得 到的。 光被透镜色散。透镜对波长 λ 距公式,得
a

的折射率是 n a,对波长 λ

b

的折射率是 n b。按折射率的幂次整理焦

f(r1+r2-d)n2+[2fd-f(r1 +r2)-r1r 2]n-f d=0
这是一个二次方程。给定一个 f 值,应有两个 n 值,因此,我们的问题可望解决。 先后以 n a 和 n b 代入方程,并令其相等:

(na ? 1)(

n ?1 n ?1 1 1 1 1 ? ?d? a ) ? (nb ? 1)( ? ? d b ) r1 r2 na r1 r2 r1 r2 nb r1 r2

结果得出 r1 ? r2 ? d (1 ?

1 ) n a nb

如果半径 r1、r2 与厚度 d 满足这一条件,则对两个不同的波长,即对两个不同的折射率来说,焦距是 相同的。有趣的是折射率的乘积 n


n b 在起作用,而不是色散(n b-n a) 。因为折射率大于1,于是括

号内的数值小于1,说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜是相当厚的。 结果讨论:首先透镜不能是平凸或平凹的,因为这种透镜有无限大的半径。其次,r1 和 r2 之一为负的 发散透镜是许可的,但不能是双凹透镜。
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如果要求的不是 f 而是(f-h)对两个折射率有相同的值(注:即要求消除焦点色差) ,实现这一点 也是可能的,但却是一个复杂得多的问题。 【题 3】质量为 m 的一簇离子在 P 点以同一速度 v 向不同方向散开(如图 8.2) 。垂直纸面的均匀磁场

B 将这些离子聚焦于 R 点,距离 PR=2a,离子的轨道应是对称的。试
磁场

确定磁场区的边界。 解:在磁场 B 中,作用于电量为 Q、速度为 v 的质点上的洛仑兹力为 Q

v a P a R

v B。结果使粒子在半径为 r 的圆轨道上运动,即:

mv 2 QvB ? r
质量为 m 的所有粒子都在半径为

图 8.2

r?

mv 的相同的圆轨道上运动。离开磁场后,它们将沿最后的切线方向直 QB

y

线飞行。磁场边界应按所有离子都打在同一点 R 的要求去寻找。要解决的数学问 题是,粒子应从这些半径为 r 的圆的何处离开,才能使它们的切线在 R 点相交。 这些半径为 r 的圆的圆心都位于 y 轴上(如解图 8.5 所示) 在半径为 r 的圆轨道上运动的粒子,在坐标为(x,y)的 A 点离开磁场,沿 切线飞向 R。由相似三角形得到: 解 图 8.5
a b R x

r

A

y ?b a? x ? x y
圆的方程为 x ? ( y ? b) ? r
2 2 2

消去(y-b) ,得到满足条件的 A 点的集合,因此,表示磁场边界的函数为:

P

(a)

R

y?

x(a ? x) r 2 ? x2
P (b) R

这是一个四次函数。 只要在第一象限画出这个函数的曲线, 把它对 y 轴反演即可。 表示磁场边界的函数的形式取决于给定的距离 a 和半径 r 的相对大小 (见解图 8.6 (a)(b)(c)。 , , )

P

(c)

R

如果半径 r 小于 a(小速度强磁场) ,则磁场边界无限延伸,向任何方向出发的离 子也都能聚焦 。
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如果半径 r 等于 a,所有的离子也都能聚焦 。磁场边界在 P 和 R 点处垂直出发,处在有限的范围内。 如果半径 r 大于 a ,边界更为平坦。那些出发方向比 P 点切线更陡的离子不能达到 R 点。 解图 8.6 (注: 原文“向任何方向出的离子都能聚焦”的结论不妥。在 r<a 时,v 与 x 轴夹角大于 90 的离 子无法聚焦。 在 r=a 时, “所有的离子也都能聚焦” 的结论也不妥。v 与 x 轴夹角大于 90 的离子也无 法聚焦。 ) 【实验题】测定有两个接点的某一半导体器件的特性曲线。其最大允许负载为 0.25W,可供使用的是: 对所有量程内阻均已知的两个电表,一个 9V 的电池,一个可调电阻器及一个固定电阻器。 解答:通过伏安计测量电压和安培计测量电流所得到的特性曲线,表明该半导体器件是齐纳( Z e n
② 0 ① 0

e r )二极管。
(注:原文无详细解答,没有给出测量伏安特性的具体线路) 1 , 3 , 5

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