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第五讲 三角变换与解三角形

时间:2015-08-24

第五讲

三角变换与解三角形

【命题角度聚焦 】 (1)以 1~2 个小题考查三角函数的基本公式和正、余弦定理,包括化简、求值、求三角形面积、判断三角形的形 状等. (2)将解三角形或三角函数的图象与性质与三角恒等变换、平面向量知识揉合在一起,有时也与不等式、函数最 值结合,考查应用所学知识分析解决问题能力和应用意识,难度为中等或容易题. 【核心知识整合 】 1.和差角公式 (1)cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ; tanα±tanβ (3)tan(α±β)= . 1?tanαtanβ 2.倍角公式 (1)sin2α=2sinαcosα; (2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tanα (3)tan2α= . 1-tan2α 3.半角公式 α (1)sin 2=± α (3)tan 2=± 4.正弦定理 a b c sinA=sinB=sinC=2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). 5.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC. 6.面积公式 1 1 1 S△ABC=2bcsinA=2acsinB=2absinC. 7.解三角形 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解; (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一,需讨论; (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解; (4)已知三边,利用余弦定理求解. 8. “变”是解决三角问题的主题,变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是,强化变换意识,抓住万变不 离其宗——即公式不变,方法不变,要通过分析、归类把握其规律.
1

(2)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;

1-cosα 2 ; 1-cosα ; 1+cosα

α (2)cos2 =±

1+cosα 2 ;

1-cosα α sinα (4)tan2= = sinα . 1+cosα

【命题热点突破】 考点 1:三角函数的化简与求值 例 1、设函数 f(x)=2cos2x+2 3sinxcosx+m(x∈R). (1)化简函数 f(x)的表达式,并求函数 f(x)的最小正周期; 1 7 π (2)若 x∈[0, ],是否存在实数 m,使函数 f(x)的值域恰为[ , ]?若存在,请求出 m 的值;若不存在,请说 2 2 2 明理由.

3 π 变式 1、(2014·天津理,15)已知函数 f(x)=cosx·sin(x+ )- 3cos2x+ ,x∈R. 3 4 (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间[- , ]上的最大值和最小值. 4 4

考点 2、三角形形状的判定 1? ? 例 2、已知向量 m=?sinA, ?与 n=(3,sinA+ 3cosA)共线,其中 A 是△ABC 的内角. 2? ? (1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 的面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状.

变式 2、(理)在△ABC 中,已知 a tanB=b tanA,试判断△ABC 的形状.

2

2

2

b sin2C π π 变式 3、(2013·中山二模)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, <C< 且 = . 3 2 a-b sinA-sin2C (1)判断△ABC 的形状; → → → → (2)若|BA+BC|=2,求BA·BC的取值范围.

[方法规律总结] 判断三角形形状时,一般先利用所给条件将条件式变形,结合正余弦定理找出边之间的关系或角之间的关系.由 于特殊的三角形主要从正三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形方面命题,故分析条件时, 应着重从上述三角形满足的条件与已知条件的沟通上着手. 考点 3:利用正、余弦定理解三角形 例 3、(2013·新课标Ⅱ理,17)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a=bcosC+csinB. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

变式 4、(理)(2013·全国大纲理,18)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,(a+b+c)(a-b+c)=ac. (1)求 B; (2)若 sinAsinC= 3-1 ,求 C. 4

3

变式 5、 (2014·安徽理,16)设△ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c 且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值; π (2)求 sin(A+ )的值. 4

变式 6、(理)(2014·浙江理,18)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.已知 a≠b,c= 3,cos2A -cos2B= 3sinAcosA- 3sinBcosB. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sinA= ,求△ABC 的面积. 5

[方法规律总结] 1.解三角形时 (1)已知两角和一边,如已知 A,B 和 c,由 A+B+C=π 求 C,由正弦定理求 a,b. (2)已知两边和这两边的夹角,如已知 a、b 和 C,应先用余弦定理求 c,再应用正弦定理先求较短边所对的角, 然后利用 A+B+C=π 求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角,如已知 a、b 和 A,应先用正弦定理求 B,由 A+B+C=π 求 C,再由正弦定理或 余弦定理求 c,要注意解可能有多种情况. (4)已知三边 a、b、c,可应用余弦定理求 A、B、C. 2.给出边角关系的一个恒等式时,一般从恒等式入手化边为角或化角为边,再结合三角公式进行恒等变形,注 意不要轻易对等式两边约去同一个因式. 【命题角度 1】三角函数与其他知识交汇命题 例 4、 (2013·江西文,17)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B =1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; 2π a (2)若 C= ,求 的值. 3 b

4

变式 7、 (2014·新乡、许昌、平顶山调研)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,己知 m=(cosA, 3sinA),n=(2cosA,-2cosA),m·n=-1. (1)若 a=2 3,c=2,求△ABC 的面积; b-2c (2)求 的值. acos? 60°+C?

sinB+sinC 变式 8、(2014·哈三中一模)在△ABC 中,已知角 A 为锐角,且 sin2A=4sinBsinC=( )2,则实数 m 的 m 取值范围为________.

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第五讲

三角变换与解三角形 课堂检测

一、选择题 1.若三角形 ABC 中,sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形的形状是( A.等腰三角形 C.等边三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 ) )

2.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac,则角 B 的值为( π A. 6 π B. 3 π 5π C. 或 6 6 π 2π D. 或 3 3 )

3.(理)(2013· 东北三省四市联考)在△ABC 中,若 tanAtanB=tanA+tanB+1,则 cosC 的值是( A.- 2 3 B. 2 2 1 C. 2 1 D.- 2 )

4.设 tanα、tanβ 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β)的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3

tanA 5.(2014· 哈三中二模)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,且 a2-c2=2b, =3,则 b 等于 tanC ( ) A.3 B.4 C.6 D.7

6.(理)给出下列四个命题: π kπ 3π ①f(x)=sin(2x- )的对称轴为 x= + ,k∈Z; 4 2 8 ③函数 f(x)=sinxcosx-1 的周期为 2π; 其中正确命题的个数是( A.1 二、填空题 7.已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为________. 1 8.(理)(2014· 天津理,12)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 b-c= a,2sinB=3sinC, 4 则 cosA 的值为________. → → → 9.在△ABC 中,(AB-3AC)⊥CB,则角 A 的最大值为________. 三、解答题 10. (2014· 山东,17)△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c. 已知 a=3,cosA= (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积.
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②函数 f(x)=sinx+ 3cosx 最大值为 2;

π π π ④函数 f(x)=sin(x+ )在[- , ]上是增函数. 4 2 2

) B.2 C.3 D.4

6 π ,B=A+ . 3 2

一、选择题 π 11.(2013· 天津理,6)在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC=( 4 A. 10 10 B. 10 5 3 10 C. 10 D. 5 5 )

|cosx| 12.(2014· 东北三省三校二模)已知方程 =k 在(0,+∞)上有两个不同的解 α、β(α<β),则下列的四个命题正 x 确的是(
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) B.cos2α=2αsin2α D.cos2β=-2βsin2β )

A.sin α=2αcos2α C.sin2β=-2βsin2β

1+sinβ π π 13、(理)(2014· 新课标Ⅰ理,8)设 α∈(0, ),β∈(0, ),且 tanα= ,则( 2 2 cosβ π A.3α-β= 2 π C.2α-β= 2 π B.3α+β= 2 π D.2α+β= 2

π 14.已知函数 f(x)=1+cos2x-2sin2(x- ),其中 x∈R,则下列结论中正确的是( 6 A.f(x)是最小正周期为 π 的偶函数 C.f(x)的最大值为 2 π B.f(x)的一条对称轴是 x= 3

)

π D.将函数 y= 3sin2x 的图象左移 得到函数 f(x)的图象 6 )

π π π 15.函数 f(x)=sin(x+ )+asin(x- )的一条对称轴方程为 x= ,则 a=( 3 6 2 A.1 B. 3 C.2 D.3

16.已知函数 f(x)=sinx+cosx,g(x)=sinx-cosx,下列四个命题: π ①将 f(x)的图象向右平移 个单位可得到 g(x)的图象; 2 f?x? ③y= 是以 π 为周期的周期函数; g?x? 其中真命题的个数是( A.1 二、填空题 17.(文)在△ABC 中,sin2C= 3sinAsinB+sin2B,a=2 3b,则角 C=________. 三、解答题 18.(理)(2013· 北京理,15)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. ) B.2 C.3 D.4 ②y=f(x)g(x)是偶函数;

④对于?x1∈R,?x2∈R,使 f(x1)>g(x2).

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π 1 19.(理)已知△ABC 中,a,b, c 分别为角 A,B,C 的对边,a2+b2<c2,且 sin(2C- ) = . 2 2 (1)求角 C 的大小; (2)求 a+b 的取值范围. c

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