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等差数列的概念

时间:2018-05-31


数 列

数列 数列
数列

6.2.1

等差数列的概念

问题 某工厂的仓库里堆放一批钢管,共堆放了 7 层,

试从上到下列出每层钢管的数量.
每层钢管数为 4,5,6,7,8,9,10.

等差数列
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前 一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列. 这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d ”表 示) .

抢答:下列数列是否为等差数列? 1,2,4,6,8,10,12,… 0,1,2,3,4,5,6,… 3,3,3,3,3,3,3,… 2,4,7,11,16,… -8,-6,-4,-2 , 0,2,4,… 3,0,-3,-6,-9,… ① ② √

√ ③
④ ⑤ √ ⑥ √

说出下列等差数列的公差.

0,1,2,3,4,5,6,… d=1 3,3,3,3,3,3,3,… 常数列





d=0 -8,-6,-4,-2 , 0,2,4,…
d=2 3,0,-3,-6,-9,…





d = -3

根据等差数列的定义填空 a2 =a1+d, a3 = a2 +d =( a1 + d ) +d =a1 + 2 d, a4 = a3 +d =( a1 + 2 d ) +d =a1 + 3 d , …… an = a1 + ( n – 1 ) d. 等差数列的通项公式

例1 求等差数列 8,5,2 , … 的通项公式和第 20 项. 解 因为 a1=8,d =5-8=-3, 所以这个数列的通项公式是 an = 8+(n-1)×(-3) , 即 所以 an =-3 n+11. a20=-3×20+11=-49.

例2 等差数列-5,-9,-13,… 的第多少项是-401? 解 因为 a1=-5,d=-9-(-5)=-4, an=-401,

所以
-401=-5+(n-1)×(-4).

解得 n=100.
即这个数列的第 100 项是-401.

(1)求等差数列 3,7,11,… 的第 4,7,10 项;

(2)求等差数列 10,8,6,… 的第 20 项.

在等差数列{an}中:
1 (1)d=- ,a7 =8,求 a1 ; 3

(2)a1 =12,a6 =27,求 d .

例3 在 3 与 7 之间插入一个数 A,使 3,A,7 成等差数列. 解 因为 3,A,7 成等差数列, 所以A-3 =7-A, 2 A =3 +7.

解得 A=5.
一般地,如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a与 b 的等差中项. A= a + b 2

求下列各组数的等差中项: (1)732与-136;

49 (2) 与42. 2

例4 已知一个等差数列的第 3 项是 5,第 8 项是 20, 求它的第 25 项. 解 因为a 3 =5,a 8 =20, 根据通项公式得 a1 +(3-1)d =5 a1 +(8-1)d =20 整理,得 a1 +2 d =5

a1 +7 d =20

解此方程组,得 a1=-1,d =3. 所以 a25 =-1+(25-1)×3=71.

(1)已知等差数列{an }中,a1 = 3,an = 21,d = 2,

求n.
(2)已知等差数列{an }中,a4 = 10,a5 = 6,

求 a8 和 d .

例 5 梯子的最高一级是 33 cm,最低一级是 89 cm,

中间还有 7 级,各级的宽度成等差数列.
求中间各级的宽度. 解 用{an }表示题中的等差数列. 已知a1= 33,an = 89,n = 9, 则a9 = 33+(9-1)d ,即 89 = 33 + 8d,

解得 d = 7.
于是 a2 = 33 + 7 = 40, a3 = 40 + 7 = 47,a4 = 47 + 7 = 54, a5 = 54 + 7 = 61,

a6 = 61 + 7 = 68,a7 = 68 + 7 = 75,a8 = 75 + 7 = 82.
即梯子中间各级的宽从上到下依次是 40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm.

例6 已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列. 求证:它们的比是 3∶4∶5. 证明 设这个直角三角形的三边长分别为 a-d,a,a+d. 根据勾股定理,得

(a-d)2 +a2 =(a+d)2.
解得 a=4d.

于是这个直角三角形的三边长是 3 d,4 d,5 d, 即这个直角三角形的三边长的比是 3∶4∶5.

1.等差数列的定义及通项公式.

2. 等差中项的定义及公式.
3.等差数列定义、通项公式和中项公式的应用.

教材 P 17,习题第 1,2,6 题.


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