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2013年高考第二轮复习数学全国理科专题一 第2讲0平面向量、复数、框图及合情推理

时间:2013-03-19


专题一

常以客观题形式考查的几个问题第 2 讲 复数、框图及合情推理

平面向量、

真题试做 1.(2012· 山东高考,理 1)若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 2.(2012· 辽宁高考,理 9)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是( ).

).

2 3 B. C. D.4 3 2 3.(2012· 重庆高考,理 11)若(1+i)(2+i)=a+bi,其中 a,b∈R,i 为虚数单位,则 a+b =__________. 4.(2012· 陕西高考,理 11)观察下列不等式 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ?? 照此规律,第五个不等式为____________________. A.-1

??? ??? ? ? 3 AQ ? (1 ? ? ) AC ,λ∈R.若 BQ· = ? ,则 λ=( CP 2

5.(2012· 天津高考,理 7)已知△ABC 为等边三角形,AB=2.设点 P,Q 满足 AP ? ? AP , ).

-3± 2 2 1 1± 2 1± 10 A. B. C. D. 2 2 2 2 考向分析 本部分内容在高考中通常以选择题、填空题的形式出现,属容易题或中档题,对平面向 量的考查重点是应用或与其他知识的简单综合 ,出题频率较高;对复数的考查主要是复数概 念、复数四则运算和复数的几何意义;对框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查 学生对算法的理解;对合情推理的考查以归纳推理为主,考查学生的观察、归纳和类比能力.

热点例析 热点一 平面向量的运算及应用

【例1】(1)平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,a=(0,1),|b|=2,则|2a+b|的值为__________. (2)已知向量 a=( 3, b=(0, 1), -1), c=(k, 3). a-2b 与 c 共线, k=__________. 若 则 规律方法 1.平面向量主要考查: (1)平行、垂直的充要条件; (2)数量积及向量夹角; (3)向量的模. 2.解决此类问题的办法主要有: (1)利用平面向量基本定理及定义; (2)通过建立坐标系进行坐标运算. 变式训练 1 已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则| PA ? 3PB |的最小值为__________. 热点二 复数的概念与运算 1+ai 【例2】(1)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为( 2-i 1 1 A.2 B.-2 C.- D. 2 2 (2)复数 z=

??? ?

??? ?

).

2?i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( 2?i

).

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 规律方法 1.处理有关复数的问题,首先要整理出实部、虚部,即写出复数的代数形式, 然后根据定义解题; 2.掌 握复数的四则运算规律及 in 幂的结果. a+2i 变式训练 2 已知 =b+i(a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b=( ). i A.-1 B.1 C.2 D.3 热点三 算法与程序框图 【例3】(2012· 北京石景山一模) 执行下面的程序框图,若输入的 N 是 6,则输出 p 的值是 ( ).

A.120 B.720 C.1 440 D.5 040 规律方法 对本部分内容,首先搞清框图的运算功能,然后根据已知条 件依次执行,找 出变化规律,最终得出结果或将框图补充完整. 变式训练 3 如图给出的是计算 填入的条件是( ).

1 1 1 1 的值的一 个程序框图, 则空白框内应 ? ? ?? ? 2 4 6 20

A.i>10? B.i<10? C.i>20? D.i<20? 热点四 合情推理的应用 x 【例4】设函数 f(x)= (x>0),观察: x+2 x f1(x)=f(x)= , x+2 x f2(x)=f(f1(x))= , 3x+4 x f3(x)=f(f2(x ))= , 7x+8 x f4(x)=f(f3(x))= , 15x+16 ?? 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=__________. 规律方法 运用归纳推理得出一般结论时,要注意从等式、不等式的项数、次数、系数 等多个方面进行综合分析,归纳发现其一般结论,若已给出的式子较少,规律不明显时,可 多写出几个式子,发现其中的一般结论. 变式训练 4 在平面直角坐标系 xOy 中,二元一次方程 Ax+By=0(A,B 不同时为 0)表示 过原点的直线.类比以上结论有:在空间直角坐标系 Oxy z 中,三元一次方程 Ax+By+Cz= 0(A,B,C 不同时为 0)表示__________. 思想渗透 转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换 使之转化,进而得到解决的一种方法.一般是将复杂的问题通 过变换转化为简单的问题,将 难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 本专题用到的转化与化归方法有: (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径. (3)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定. 【典型例题】如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC ??? ? ???? ???? ? ???? 1 4 于不同的两点 M,N,若 AB ? mAM , AC ? n AN (m, n ? 0) ,则 + 的最小 值为( ). m n

A.2

B.4

??? ???? ? ???? ???? ???? AB ? AC 1 ??? ? 1 1 ? ??? 1 ???? ? ? ? ? ? AB = ? ? ? AB ? AC , 解析:连接 AO,则 MO = AO ? AM = 2 m 2 ?2 m? ???? ? 1 1 ? ???? 1 ??? ? 同理 NO = ? ? ? AC ? AB ,M,O,N 三点共线, 2 ?2 n? ? ? ? 1 1 ? ??? 1 ???? ?? 1 1 ? ???? 1 ??? ? 故 ? ? ? AB ? AC =? ?? ? ? AC ? AB ? , 2 2 ?2 m? ?? 2 n ? ? ??? ? 1 ? ? ? ???? ? ?1 1 ?? 即 ? ? ? ? AB ? ? ? ? ? AC =0 . ?2 m 2? ?2 2 n? ??? ???? ? 1 1 λ 1 λ λ 由于 AB , AC 不共线,根据平面向量基本定理,得 - - =0,且 - + =0,消掉 λ, 2 m 2 2 2 n
即得 m+n=2, 1 4 1 n 4m 1 1 4 1 9 故 + = (m+n)?m+n?= ?5+m+ n ?≥ ×(5+4)= , 当且仅当 n=2m 时, 取等号. 故 ? ? 2? ? 2 m n 2 2 选 C. 答案:C

9 C. 2

D.9

1+2i 1.复数 (i 是虚数单位)的虚部是( ). 1+i 3 3 1 1 A. B. i C. D. i 2 2 2 2 2.设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则| a|=|b|”的逆命题是( ). A.若 a≠-b,则|a|≠|b| B.若 a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b D.若|a|=|b|,则 a=-b 3.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0?a=b”; ②“若 a,b,c,d∈R, 则复数 a+bi=c+di?a=c, b=d”类比推出“若 a,b,c,d∈Q, 则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d”; ③“若 a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”. 其中类比得到的正确结论的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角 θ=120° ,求|a+b|.

参考答案
命题调研· 明晰考向 真题试做 1.A 2.D 3.4

1 1 1 1 1 11 4.1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 5.A 精要例析· 聚焦热点 热点例析 【例 1】(1)2 3 解析:|2a+b|2=4a2+4a· 2=4+4× 2cos 60° b+b 1× +4=12. ∴|2a+b|=2 3. (2)1 解析:由于 a=( 3,1),b=(0,-1), 所以 a-2b=( 3,3),而 c=(k, 3) ,且(a-2b)∥c, 所以有 3× 3=3×k,解得 k=1. 【变式训练 1】5 1+ai (1+ai)(2+i) 【例 2】(1)A 解析: = 2-i (2-i)(2+i) (2-a)+(2a+1)i 2-a 2a+1 = = + i 为纯虚数, 5 5 5 2-a ∴ =0,∴a=2. 5 2-i (2-i)2 3-4i 3 4 (2)D 解析:∵z= = = = - i, 5 5 5 2+i (2+i)(2-i) ∴复数 z 在复平面内对应的点在第四象限. 【变式训练 2】B 【例 3】B 解析:当 k=1,p=1 时,p=p· k=1,1<6,满足; 当 k=2,p=1 时,p=p· k=2,2<6,满足; 当 k=3,p=2 时,p=p· k=6,3<6,满足; 当 k=4,p=6 时,p=p· k=24,4<6,满足; 当 k=5,p=24 时,p=p· k=120,5<6,满足; 当 k=6,p=120 时,p=p· k=720,6<6,不满足,输出 p 为 720. 【变式训练 3】A x x x x x 【例 4】 n 由于 f1(x)= ,2(x)= f ,3(x)= f ,4(x)= f , n 解析: (2 -1)x+2 x+2 3x+4 7x+8 15x+16 x 还可求得 f5(x)= ,由以上结果可以发现:当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)的表达式都是分式 31x+32 的形式,分子都是 x,分母都是 x 的一次式,其中常数项依次为 2,4,8,16,32,?,可知其规律 x 是 2n 的形式, x 的一次项的系数比常数项都小 1, 而 因此可得 fn(x)= n (n∈N*且 n≥2). (2 -1)x+2n 【变式训练 4】过原点的平面 创新模拟· 预测演练 1.C 2.D 3.C 4.解:|a+b|= (a+b)2 = a2+2a· 2 b+b = a2+2|a||b|cos 120° 2 +b ? 1? 2 2 = 4 +2×4×8×?- ?+8 =4 3. ? 2?
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