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九年级数学一元二次方程根与系数关系_图文

时间:2017-12-15

一元二次方程

根与系数的关系
授课人
长沙市第一中学

陈震

基本知识
题1 口答

1.下列方程的两根和与两根积各是多少?

⑴.X2-3X+1=0
⑶.2X +3X=0
1.x1 ? x2 ? 3 2 2.x1 ? x 2 ? 3
2

⑵.3X2-2X=2
⑷.3X =1
2

x1 x2 ? 1

3 3.x1 ? x 2 ? ? 2

2 x1 x 2 ? ? 3

x1 x2 ? 0

4.x1 ? x2 ? 0

1 x1 x 2 ? ? 3

在使用根与系数的关系时,应注意: ⑴不是一般式的要先化成一般式;
b ⑵在使用X1+X2=- a

时,

注意“- ”不要漏写。

题2 已知两圆的半径是一元二次方程

的两个根,两圆的圆心距等于7, 则这两圆的位置关系是( C ) A、外离 B、相交 C、外切 D、内切

2 x ? 14x ? m ? 0
2

练习1 已知关于x的方程 x ? (m ? 1) x ? 2m ? 1 ? 0 当m= -1 时,此方程的两根互为相反数.
2

当m= 分析:1. 2.

1

时,此方程的两根互为倒数.

x1 x2 ? 2m ? 1 ? 1

x1 ? x2 ? m ? 1 ? 0

应用:一求值
题3 则:

x1 ? x2 ?
2 1 2 2
2

4

x1 ? x2 ?
2

1

x ? x ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x 2 = 14
( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x 2 = 12
2

另外几种常见的求值

x1 ? x2 1 1 1. ? ? x1 x 2 x1 x2

x1 x 2 x ?x 2. ? ? x1 x2 x 2 x1
2 1

2 2

( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? x1 x2

3.(x1 ? 1)(x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

4. x1 ? x2 ?

( x1 ? x2 )

2

? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2

求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.

练习2 (1)设 为 A. 1

x ? x ? 1 ? 0 的两个实数根 1 1 x1 , x 2 则: x ? x 的值为( A )
2
1 2

B. -1

C.

5 D.

5 5



已知两根求作新的方程
以 x1 , x2 为两根的一元二次方程

(二次项系数为1)为:

x ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 x2 ? 0
2

题4. 点p(m,n)既在反比例函数
图象上, 又在一次函数
2 n?? m

2 y ? ? ( x ? 0) 的 x

y ? ? x ? 2 的图象上,

2

则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
解:由已知得,

{n ? ? m ? 2

{

m· n=-2 m+n=-2

∴所求一元二次方程为:

x ? 2x ? 2 ? 0

题5

以方程X +3X-5=0的两个根的相反数为根的方程 是( B ) A、y +3y-5=0 C、y2+3y+5=0
2

2

B、 D、

y -3y-5=0 y2-3y+5=0

2

分析:设原方程两根为

新方程的两根之和为 (? x1 ) ? (? x2 ) ? 3 新方程的两根之积为(? x1 ) ? (? x2 )

x1 , x 2 则: x1 ? x2 ? ?3, x1 x2 ? ?5

? ?5

求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积) 3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程.

练习: 1.以2和 -3为根的一元二次方程 (二次项系数为1)为:x
2

? x?6 ? 0



已知两个数的和与积,求两数

题6 已知两个数的和是1,积是-2,则两 2和-1 。 个数是 解法(一):设两数分别为x,y则: 解得: { x=2 或 y=-1 x=-1 { y=2

{

x ? y ?1

x ? y ? ?2

解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 2 的两根则: a ? a ? 2 ? 0 求得 a1 ? 2, a2 ? ?1 ∴两数为2,-1



求方程中的待定系数
2

题7 如果-1是方程 2 x

?x?m?0

-3 。 的一个根,则另一个根是___m=____
(还有其他解法吗?)

题8 已知方程 x 2 ? kx ? k ? 2 ? 0 的两个实数根 2 是 x1, x2 且 x12 ? x2 ? 4 求k的值。 解:由根与系数的关系得

X1+X2=-k, X1×X2=k+2
又 K 2X12+ X2 2 = 4

解得:k=4 或k=-2 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时, △<0

即( X 1+ X 2

)2 -2X

1X2=4

2(k+2)=4

当k=-2时,△>0
∴ k=-2

K2-2k-8=0



综合

题9 在△ABC中a,b,c分别为∠A, ∠B,∠C 的对边,且c= 5 3 ,若关于x的方程

(5 3 ? b) x ? 2ax ? (5 3 ? b) ? 0
2

有两个相等的实数根,又方程

2x ? (10sin A) x ? 5 sin A ? 0
2

的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.

小结:

1、熟练掌握根与系数的关系;
2、灵活运用根与系数关系解决问题;

3、探索解题思路,归纳解题思想方法。

作业:试卷《课后练习》

题9 方程

mx2 ? 2mx ? m ? 1 ? 0(m ? 0)

有一个正根,一个负根,求m的取值范围。 解:由已知,

{

△= 4m 2 ? 4m(m ? 1) ? 0

m ?1 x1 x 2 ? ?0 m



{

m>0 m-1<0

∴0<m<1

一正根,一负根

两个正根

两个负根

{

△>0 X1X2<0

{

△≥0

X1X2>0
X1+X2>0

{

△≥0

X1X2>0
X1+X2<0

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拉紧了棕马上的缰绳,大喝一声停;棕马应声而止,发出一声长吁,最后停在了胭脂档前。这时的仁玉才知道发生什么事了,但是她已 经吓得说不出话来了,眼睁睁地看着这人和马,硬是愣在那里。此时的我,赶紧收回那狼狈逃命样,摆出一副跟着仁家两姐弟那般的吃 惊模样,静待着事情发展。十分漂亮地停住了那棕马的人从马上跳了下来。我仔细打量着他,又蓦地吃了一惊,这哥们长得真是帅气啊。 五官长得标致,皮肤黝黑显得健康,身高目测就一米八多,还有略显倒三角的上身身段,有着修长的手臂,加之以亮丽的衣服搭配,这 不就是典型的高富帅吗?这个高富帅走到了仁玉面前,双手抱拳,向她微微低头,抱歉地说道:“姑娘,让你受惊了。”仁玉不知为啥 还是愣在那里不作声。想必不是还在怕,就是被他的样貌给吸引住了。过了好一会,仁玉才缓过神来,有礼地作揖向高富帅答道:“谢 谢公子的救命之恩。”这段日子,仁玉的心境变化有了很大的转变,使得她看上去精神许多,面容也随之亮丽起来,就算是素颜见人, 也有一种朴素的美,加之现在的羞涩的样子,她那独有的美表现得若隐若现。高富帅看过仁玉的样态之后,也不惹人留意的愣了一小会 儿,但又马上回过神来,讲到:“姑娘没事便好。”说罢,高富帅骑上棕马,转身离开了这集市。这一小事故的影响力持续甚短,很快, 街上的人们又开始像往日一样走动起来,小贩们也在用力的吆喝着。还没从刚才事故完全清醒过来的,也只剩下这仁玉女娃了。12仁玉 |“仁玉,仁轩,你们在哪啊?吉时快到了!”正当我决定要再次好好说话的时候,门外传来了一声呼喊,听上去应该是一位上了年纪的 老妇人的声音。“奶奶,我们在这,马上就过去!”小正太,不,应该是仁轩大声应和着。“哥哥,我们有事要忙,你先在这儿休息会 吧。”仁轩笑着对我说道。仁玉也对我点了点头,两姐弟就离开了。两姐弟走后,我才又开始考虑了自己这突如其来的穿越究竟是怎么 一回事;还有,这南国吕王是在哪的国家,中国历史上应该是不存在的,也许我穿越到的地方是第二个可能世界上的古代中国吧,因为 我并不排斥现代哲学说提出的平行世界的假说,只是在我的对历史的印象中,历史的南国不该是隋朝时代西王吕承志本想建立的理想国 度么?但是到头来西王不是失败了吗?怎么在这里就还真成了?我知道这问题怎么想也不会有个结果,于是我就懒得再去想了。我活动 活动了身体,发现自己舒服多了,心里也真不愿呆在这个危险的木屋里,便走出这屋去。屋外景色真突出一个美啊;这美并不是屋子亦 或是庭院的摆设有多美,而是大自然的美。空气好清新,含氧量应该很高,呼吸起来觉得精神百倍;小庭院里有棵柳树,它的枝叶在微 风


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