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各省2009届高三数学期末模拟分类汇编——数列6

时间:2013-04-27

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2009 届北京市高三数学期末试题分类汇总——数列
2 2 1、 (2009 崇文区)若正项数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ? 3an?1an ? 4an ? 0 ,则 {an } 的通项 an =

A (A) an ? 2 2n?1 (B) an ? 2n (C) an ? 22n?1 (D) an ? 22n?3

2、 (2009 石景山区)在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 3 ,前三项和为 21 ,则

a3 ? a4 ? a5 =(
A. 33

)C B. 72 C. 84 D. 189

3 、 2009 宣 武 区 文 ) 已 知 等 差 数 列 { an } 中 , a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则 a12 的 值 为 ( ( )A

A. 15 B 30 C.31 D. 64 4 、 2009 宣 武 区 理 ) 等 比 数 列 {an} 中 , 其 公 比 q<0 , 且 a2=1-a1,a4=4-a3, 则 a4+a5 等 于 ( ( )B A. 8 B. -8 C.16 D.-16 5、 (2009 宣武区理)已知数列{an}中,a1=1,其前 n 项和 sn 满足

sn sn?1 ? sn?1 sn ? 2 sn sn?1 (n ? 2, n ? N * ) ,则 an=
解: a n ? ?



?1(n ? 1), n ?1 或 ?? 1? ?8(n ? 1)(n ? 2)

因为数列{an}中,a1=1,其前 n 项和 sn 满足 sn sn?1 ? sn?1 sn ? 2 sn sn?1

(n ? 2, n ? N * ), sn ? 0, sn ? sn?1 ? 2,

sn ? 2n ? 1, sn ? (2n ? 1)2 ,则

?1(n ? 1), n ?1 ,若 sn ? 0 ,则 an= ?? 1? 。 an ? ? ?8(n ? 1)(n ? 2)
6、 (2009 西城区)已知数列 {an} 的每一项都是非负实数,且对任意 m, n ? N*有

am+ n - am - an = 0 或 am+ n - am - an = 1 .
又知 a2 = 0, a3 > 0, a99 = 33 . 则 a3 =_________, a10 =_________. 1,3 7、 (2009 东城区文)已知 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a8 ? a15 ? 20,则 a3 ? a13 的值为______.40 7 、 2009 东 城 区 理 ) 已 知 ?an ? 为 等 差 数 列 , 若 a1 ? a5 ? a9 ? ? , 则 cos(a2 ? a8 ) 的 值 为 (
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______. ?

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1 2

8、 (2009 丰台区)如果有穷数列 a1 , a2 , … , an (n 为正整数)满足条件 a1 = an , a2 = an–1…,an = a1, 即 ak = an–k+1 (k = 1 , 2 …, n ),我们称其为“对称数列” 。设{bn}是项数为 7 的“对称数列” ,其中 b1 , b2 , b3 , b4 成等差数列,且 b1 = 2 , b2 + b4 = 16,依次写出{bn}的每一项____________ .. . 答案:2,5,8 9、 (2009 崇文区理)若数列 {an } 的前 n 项和 S n 是 (1 ? x) n 二项展开式中各项系数的和

, ? n ? 1 , 2 , 3 ?? .
(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 b1 ? ?1, bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ,且 cn ? 项及其前 n 项和 Tn ; (III)求证: Tn ? Tn?2 ? Tn2 1 . ? 解: (Ⅰ)由题意 S n ? 2 n , -----------------------------------------------2 分

a n ? bn ,求数列 {cn } 的通 n

Sn?1 ? 2n?1 (n ? 2) ,
两式相减得 an ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 (n ? 2) .
1?1 当 n ? 1 时, 2 ? 1 ? S1 ? a1 ? 2 ,

--------------------3 分

∴ an ? ?

?2 (n ? 1) ? . n ?1 (n ? 2) ?2 ?

------------------------------------------4 分

(Ⅱ)∵ bn?1 ? bn ? (2n ? 1) , ∴ b2 ? b1 ? 1 ,

b3 ? b2 ? 3 , b4 ? b3 ? 5 ,
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………

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bn ? bn?1 ? 2n ? 3 .
以上各式相加得

bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ?
∵ b1 ? ?1 ,

(n ? 1)(1 ? 2n ? 3) ? (n ? 1) 2 . 2

∴ bn ? n 2 ? 2n . ∴ cn ? ?

-------------------------------------------------------6 分

?? 2, n ? 1
n ?1 ?(n ? 2) ? 2 , n ? 2



--------------------------------------7 分

∴ Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n?1 , ∴ 2Tn ? ?4 ? 0 ? 2 2 ? 1? 23 ? 2 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n . ∴ ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n?1 ? (n ? 2) ? 2 n .

?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 2) ? 2 n = 2 n ? 2 ? (n ? 2) ? 2 n ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 n . 1? 2

∴ Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n . --------------------------------------------------9 分 (3) Tn ? Tn?2 ? Tn?1 = [2 ? (n ? 3) ? 2 ] ? [2 ? (n ? 1) ? 2
2
n n? 2

] ? [2 ? (n ? 2) ? 2n?1 ]2

=4+ 2 ? (n ? 1) ? 2

n? 2

? 2 ? (n ? 3) ? 2n ? (n ? 3) ? (n ?1) ? 22n?2

? [4 ? 4 ? (n ? 2) ? 2n?1 ? (n ? 2) 2 ? 22n?2 ]
=2
n ?3

? (n ? 3) ? 2n?1 ? 2 2 n? 2

? 2 n ?1 ? [(n ? 1) ? 2n?1 ] . ---------------------------------12 分
∵2
n?1

? 0 , ∴ 需证明 n ? 1 ? 2 n?1 ,用数学归纳法证明如下:
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①当 n ? 1 时, 1 ? 1 ? 2
1?1

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成立.
k ?1

②假设 n ? k 时,命题成立即 k ? 1 ? 2



那么,当 n ? k ? 1 时, (k ? 1) ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? 2k ?1 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 2( k ?1)?1 成立. 由①、②可得,对于 n ? N * 都有 n ? 1 ? 2 ∴2
n ?1

n ?1

成立.

? [(n ? 1) ? 2n?1 ] ? 0 .

∴ Tn ? Tn?2 ? Tn2 1 .---------------------------------------------------------------------------13 分 ? 10 、 2009 崇 文 区 文 ) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 S n ? 2 n , 数 列 {bn } 满 足 (

b1 ? ?1, bn?1 ? bn ? (2n ? 1)
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项 bn ; (Ⅲ)若 cn ?

?n ? 1

, 2 , 3 ,? . ?

an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n

解: (Ⅰ)∵ S n ? 2 n , ∴ S n?1 ? 2 n?1 , (n ? 2) .--------------------------------------------------2 分 ∴ an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 (n ? 2) . ------------------------------------3 分
1?1 当 n ? 1 时, 2 ? 1 ? S1 ? a1 ? 2 ,

∴ an ? ?

?2 (n ? 1), ?2
n ?1

(n ? 2).

-----------------------------------------------------------------------4 分

(Ⅱ)∵ bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ∴ b2 ? b1 ? 1 ,

b3 ? b2 ? 3 ,
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b4 ? b3 ? 5 ,
………

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bn ? bn?1 ? 2n ? 3 ,
以上各式相加得

bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ?
∵ b1 ? ?1 ,

(n ? 1)(1 ? 2n ? 3) ? (n ? 1) 2 . 2

∴ bn ? n 2 ? 2n . --------------------------------------------------------------------------9 分 (Ⅲ)由题意得 cn ? ?

??2 (n ? 1), ?(n ? 2) ? 2
n ?1

(n ? 2).

∴ Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n?1 , ∴ 2Tn ? ?4 ? 0 ? 2 2 ? 1? 23 ? 2 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n , ∴ ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n?1 ? (n ? 2) ? 2 n

2(1 ? 2 n ?1 ) ? ? (n ? 2) ? 2 n 1? 2
= 2 ? 2 ? (n ? 2) ? 2 ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 ,
n n n

∴ Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n .

----------------------------------------------------------13 分

11、 (2009 丰台区)已知数列{an – n }是等比数列,且满足 a1 = 2 , an+1 = 3an – 2n + 1 , n∈N*。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn。 解: (Ⅰ)

an?1 ? ?n ? 1? 3an ? 2n ? 1 ? ?n ? 1? 3an ? 3n ? ? ? 3 是常数?? 3 分 an ? n an ? n an ? n

由已知数列{an – n }是等比数列
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所以 (Ⅱ)所以数列{an}的前 n 项和 Sn = ( 30 + 3 + 32 + ? + 3n–1 ) + ( 1 + 2 + 3 + ? + n ) =

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an – n = ( 2 – 1 )·3n–1 ? an = 3n–1 + n ??????????? 7 分

3n ? n 2 ? 1 ?? 13 分 2

12、 (2009 石景山区)已知等差数列 {an } 中,公差 d ? 0 ,其前 n 项和为 S n ,且满足:

a2 ? a3 ? 45 ,
a1 ? a4 ? 14 .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)通过公式 bn ?

Sn 构造一个新的数列 {bn } .若 {bn } 也是等差数列, n?c

求非零常数 c ; (Ⅲ)求 f (n) ?

bn * ( n ? N )的最大值. (n ? 25) ? bn ?1

解: (Ⅰ)∵ 数列 ?an ? 是等差数列, ∴

a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 14 .又 a2 a3 ? 45 ,
?a 2 ? 5 ?a 2 ? 9 ,或 ? . ? ?a 3 ? 9 ?a 3 ? 5
?????2 分



∵ 公差 d ? 0 ,∴ ∴ ∴ (Ⅱ)∵

a 2 ? 5 , a3 ? 9 .

d ? a3 ? a2 ? 4 , a1 ? a2 ? d ? 1 . an ? a1 ? (n ? 1)d ? 4n ? 3 .
S n ? na1 ? 1 n(n ? 1)d ? n ? 2n(n ? 1) ? 2n 2 ? n , 2
??????6 分 ????4 分

Sn 2n 2 ? n ? ∴ bn ? . n?c n?c

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∵ 数列 ?bn ? 是等差数列, ∴

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2bn?1 ? bn ? bn?2 .
2? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2n 2 ? n 2(n ? 2) 2 ? (n ? 2) . ? ? (n ? 1) ? c n?c (n ? 2) ? c
1 . 2
?????9 分 ??????10 分



去分母,比较系数,得 c ? ? ∴

bn ?

2n 2 ? n ? 2n . 1 n? 2

(Ⅲ) f (n) ?

2n (n ? 25) ? 2(n ? 1)
n ? n ? 26 n ? 25
2

?

1 1 ≤ . 25 36 n? ? 26 n

?????12 分

当且仅当 n ?

25 1 ,即 n ? 5 时, f (n) 取得最大值 . n 36

?????14 分

13、 (2009 昌平区)公差不为 0 的等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列. (I)求数列 ?an ? 的通项公式和它的前 20 项和 S20 . (II) 求数列 ?

?

1 ? ? 前 n 项的和 Tn . ? an an ?1 ?

解:(I)设数列 ?an ? 的公差为 d ,则

a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d , a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d
2

??2 分

由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 ,?????????????????? 4 分 即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d ) ,
2
2 整理得 10d ? 10d ? 0 , 解得 d ? 0 或 d ? 1 .

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∵ d ? 0 ,∴ d ? 1

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?????????????????? 6 分

a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3?1 ? 7, an ? a1 ? (n ?1)d ? n ? 6 ,
20 ?19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 .?????????????? 9 分 2 1 1 1 1 (II) ??????????????11 分 ? ? ? an an ?1 (n ? 6)(n ? 7) (n ? 6) (n ? 7) 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )= ? ????????14 分 7 8 8 9 n?6 n?7 7 n?7
于是 S20 ? 20a1 ?

14 、 (2009 东 城 区理 )已 知 点 B1 (1, y1 ), B2 (2, y2 ),?, Bn (n, yn ),? ( n ? N ) 顺次 为 直线

?

y?

x 1 ? ? 上的点,点 A1 ( x1 ,0), A2 ( x2 ,0) ,? An ( xn ,0),? ( n ?N )顺次为 x 轴上的点,其中 4 12

x1 ? a(0 ? a ? 1) ,对任意的 n ?N ? ,点 An 、 Bn 、 An?1 构成以 Bn 为顶点的等腰三角形.
(Ⅰ)证明:数列 ?y n ?是等差数列; (Ⅱ)求证:对任意的 n ?N , xn?2 ? xn 是常数,并求数列 ?xn ? 的通项公式;
?

(Ⅲ)在上述等腰三角形 An Bn An?1 中是否存在直角三角形,若存在,求出此时 a 的值;若不存 在,请说明理由. 解: (Ⅰ)依题意有 y n ?

n 1 1 ? ,于是 y n ?1 ? y n ? . 4 12 4
………………….4 分 ① ② ………6 分

所以数列 ?y n ?是等差数列. (Ⅱ)由题意得

x n ? x n ?1 ? n ,即 xn ? xn?1 ? 2n , ( n ? N ? ) 2

所以又有 xn?2 ? xn?1 ? 2(n ? 1) . 由② ? ①得 xn?2 ? xn ? 2 , 可知 x1 , x3 , x5 ,?; x2 , x4 , x6 ,? 都是等差数列.那么得

x2k ?1 ? x1 ? 2(k ? 1) ? 2k ? a ? 2 ,
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x2k ? x2 ? 2(k ? 1) ? 2 ? a ? 2(k ? 1) ? 2k ? a .
故 xn ? ? (k ? N )
?

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?n ? a ? 1 (n为奇数) (n为偶数). ? n?a

…………10 分

(Ⅲ)当 n 为奇数时, An (n ? a ? 1,0), An?1 (n ? 1 ? a,0) ,所以 An An?1 ? 2(1 ? a); 当 n 为偶数时, An (n ? a,0), An?1 (n ? a,0), 所以 An An?1 ? 2a; 作 Bn Cn ? x 轴,垂足为 C n , 则 Bn C n ? 角形,必须且只需 An An?1 ? 2 Bn Cn .

n 1 ? ,要使等腰三角形 An Bn An?1 为直角三 4 12

n 1 ? ) ,即 12 a ? 11 ? 3n . 4 12 2 1 当 n ? 1 时, a ? ;当 n ? 3 时, a ? ;当 n ? 5 , ①式无解. 3 6 7 当 n 为偶数时,有 12 a ? 3n ? 1 ,同理可求得 a ? . 12
当 n 为奇数时,有 2(1 ? a ) ? 2( 综上所述,上述等腰三角形 An Bn An?1 中存在直角三角形,此时 a 的值为 或



2 1 或 3 6

7 . 12

……………………..14 分
?

15、 (2009 东城区文) 已知点 P (a1 , b1 ), P2 (a2 , b2 ),?, Pn (an , bn )(n ? N )都在函数 y ? log 1 x 1
2

的图象上. (Ⅰ)若数列 ?bn ? 是等差数列,求证数列 ?an ? 为等比数列; (Ⅱ)若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n = 1 ? 2
? ?n

,过点 Pn , Pn ?1 的直线与两坐标轴所围成三角

形面积为 cn ,求使 cn ? t 对 n ?N 恒成立的实数 t 的取值范围. 解: (Ⅰ)因为数列 ?bn ? 是等差数列,故设公差为 d , 则 bn?1 ? bn ? d 对 n ?N 恒成立.依题意
?

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?1? bn ? log 1 an , an ? ? ? . ?2? 2
bn

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a ?1? 由 an ? 0 ,所以 n ?1 ? ? ? an ?2?
从而数列 ?an ? 是等比数列.

bn ?1 ?bn

?1? ? ? ? 是定值, ?2?
????5 分
n

d

1 ?1? (Ⅱ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? ? ? ,当 n ? 1 时也适合此式, 2 ? 2?

?1? 即数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? ? ? . ?2?
由 bn ? log 1 a n ,数列 ?bn ? 的通项公式是 bn ? n .
2

n

??????7 分 ?????8 分

1 1 1 , n), Pn ?1 ( n ?1 , n ? 1) ,过这两点的直线方程是 y ? n ? ?2 n ?1 ( x ? n ) ,该直线 n 2 2 2 n?2 与坐标轴的交点是 An ( n ?1 ,0) 和 Bn (0, n ? 2) . 2
所以 Pn (

cn ?

1 (n ? 2)2 OAn ? OBn ? . 2 2n ? 2

?????11 分

因为 c n ? c n ?1 ?

(n ? 2) 2 (n ? 3) 2 2(n ? 2) 2 ? (n ? 3) 2 n 2 ? 2n ? 1 ? ? ? ?0. 2 n? 2 2 n ?3 2 n ?3 2 n ?3
?

即数列 ?cn ? 的各项依次单调递减,所以要使 cn ? t 对 n ? N 恒成立,只要 c1 ? t ,又

c1 ?

9 ?9 ? ,可得 t 的取值范围是 ? , ?? ? . 8 ?8 ?

????13 分

故实数 t 的取值范围是 ? , ?? ? .

?9 ?8

? ?

????14 分

16、 (2009 宣武区理)设{a n }是正数数列,其前 n 项和 S n 满足 S n = (1)求 a 1 的值;求数列{a n }的通项公式;

1 (a n —1)(a n +3). 4

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(2)对于数列{b n },令 b n = 解: (1)由 a1 = S1 =

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1 , Tn 是数列{b n }的前 n 项和,求 lim Tn。 n?? sn

1 (a1 ? 1)( a1 ? 3) ,及 an ? 0 ,得 a1 =3 …………………… .4 分 4 1 1 (2)由 S n ? (a n ? 1)( a n ? 3) 得 S n ?1 ? ( a n ?1 ? 1)( a n ?1 ? 3) 。 4 4 1 2 2 ? 当 n ? 2 时, a n ? (a n ? a n ?1 ) ? 2(a n ? a n ?1 ) 4 ? 2(an ? an?1 ) ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? an ? an?1 ? 0

? an ? an?1 ? 2 ,
数列,

? 由(1)知, ?an ? 是以 3 为首项,2 为公差的等差

? an ? 2n ? 1 ……………………………8 分 1 1 1 1 (3)由(2)知 S n ? n(n ? 2) ? ( ? ) , ? bn ? Sn 2 n n ? 2 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 n ?1 n ?1 n n ? 2 1 3 2n ? 3 ? [ ? ] 2 2 (n ? 1)(n ? 2) ?
?

?3 ? 3 3 2n ? 3 2n ? 3 ? ? lim Tn ? lim? ? ? .......... .......... 13分 .. n?? 4 4 2(n ? 1)(n ? 2) n?? 2(n ? 1)(n ? 2) ? 4 ? ?

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北京市 2009 年高三 4 月各地模拟试题分类汇编数列一、选择题: (7)(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)若实数 a, b, c 成公差不为 0 的等差数列,则...

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高三数学模拟试题分类汇编数列.doc

高三数学模拟试题分类汇编数列 - 数列 一、选择题 1、 (2009 东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考)已知等差数列 {an } 的前三项分别为 a ? 1, 2a ?...