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2016届江苏省扬州中学高三上学期10月月考试题 数学理

时间:2015-10-16


2016 届江苏省扬州中学高三上学期 10 月月考试题 数学理
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1. 2. 3. 4. 已知集合 M={x|x<1},N={x|lg(2x+1)>0},则 M∩N= a+i 复数 z= 为纯虚数,则实数 a 的值为 1-i 不等式|x+1|· (2x―1)≥0 的解集为 .1 1 . {x|x=―1 或 x≥ } 2 条件(用“充分不必 .(0,1)

1 函数 f (x)= x +a(x≠0) ,则“f (1)=1”是“函数 f (x)为奇函数”的 3 -1 要” , “必要不充分” “充要” “既非充分又非必要”填写) . 充要

5. 6.

m 为任意实数时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 必过定点_________.(9,-4) 向量 a=(1,2)、b=(-3,2),若(ka+b)∥(a-3b),则实数 k=_________. 1 由题意知,a 与 b 不共线,故 k∶1=1∶(-3),∴k=- 3 关于 x 的方程 cos2x+4sinx-a=0 有解,则实数 a 的取值范围是 [-4,4] .

7.

8.

已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是________.4 解: x+2y=8-x· (2y)≥8-? x+2y>0,∴x+2y≥4. x+2y?2 整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0, 即(x+2y-4) (x+2y+8)≥0. 又 ? 2 ?,

9.

? ?x≥0 已知点 x,y 满足不等式组?y≥0 ,若 ax+y≤3 恒成立,则实数 a 的取值范围是__________.(-∞,3] ?2x+y≤2 ?

→ 1→ → → →→ 10. 已知△ABC 是等边三角形,有一点 D 满足 AB + · AC = AD ,且| CD |= 3,那么 DA · DC 2 = . 3 1 11. 若函数 f (x)=mx2+lnx-2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是_________.[ ,+∞) 2 2x-1 1 1 2 1 解:f ?(x)=2mx+ -2≥0 对 x>0 恒成立,2mx2+1-2x≥0∴2m≥ 2 =- 2+ ,令 t= >0∴2m≥ x x x x x 1 -t2+2t,∵(-t2+2t)max=1,∴2m≥1,∴m≥ . 2
?-x2+ax (x≤1) 12. 已知函数 f (x)=? ,若 ? x1, x2∈R,x1≠x2,使得 f (x1)=f (x2)成立,则实数 a 的取值范 (x>1) ?2ax-5

围是

. (-∞,4)

? π 3? , 13. 将 y=sin2x 的图像向右平移 φ 单位 (φ>0) , 使得平移后的图像仍过点 , ?3 2 ? 则 φ 的最小值为_______.
2π 3 2π 2π 2π ? 解法一: 点代入 y=sin(2x-2φ)∴sin( -2φ)= ∴-2φ+ =2kπ+ 或-2φ+ =2kπ+ ∴φ=-kπ 3 2 3 3 3 3 π π + 或 φ=-kπ∴φ 的最小值为 . 6 6
-1-

解法二:结合函数 y=sin2x 的图形. 1 1 14. 已知函数 f (x)满足 f (x)=f ( ),当 x∈[1,3]时,f (x)=lnx,若在区间[ ,3]内,函数 g(x)=f (x)-ax 与 x 轴 x 3 有三个不同的交点,则实数 a 的取值范围是 ?ln3,1? ? 3 e? .

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知直线 l1 : (m ? 2) x ? (m ? 3) y ? 5 ? 0 和 l2 : 6 x ? (2m ? 1) y ? 5 . 问:m 为何值时,有: (1) l1 ? l2 ; (2) l1 ? l2 . 解: (1)∵ l1 ? l2 ,∴ (m ? 2)(2m ? 1) ? 6m ? 18 ,得 m ? 4 或 m ? ?

5 ; 2

当 m=4 时,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,即 l1 与 l2 重合,故舍去.

5 1 1 时, l1 : ? x ? y ? 5 ? 0, l2 : 6 x ? 6 y ? 5, 即 l1 ? l2 2 2 2 5 ∴当 m ? ? 时, l1 ? l2 . 2 9 (2)由 6(m ? 2) ? ( m ? 3)(2 m ?1) ? 0 得 m ? ?1 或 m ? ? ; 2 9 ∴当 m ? ?1 或 m ? ? 时, l1 ? l2 . 2
当m ? ? 16. (本小题满分 14 分)

???7 分

???14 分

π 1 已知函数 f (x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π),其图像经过点 M? , ?,且与 x 轴两个相邻的交点的距 ?3 2? 离为 π. (1)求 f (x)的解析式; 3 5 (2)在△ABC 中,a=13,f (A)= ,f (B)= ,求△ABC 的面积. 5 13 解:(1)依题意知,T=2π,∴ω=1,∴f (x)=sin(x+φ) π π 1 π π 4π π 5π π ∵f ( )=sin( +φ)= ,且 0<φ<π ∴ < +φ< ∴ +φ= 即 φ= 3 3 2 3 3 3 3 6 2 π ∴f (x)=sin?x+ ?=cosx. ? 2? 3 5 (2)∵f (A)=cosA= ,f (B)=cosB= , 5 13 4 12 ∴sinA= ,sinB= 5 13 56 ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 65 a b ∵在△ABC 中 = sinA sinB ∴b=15. π ∴A,B∈(0, ) 2 ???8 分 ???10 分 ???12 分 ???14 分 ???6 分

1 1 56 ∴S△ABC= absinC= ?13?15? =84. 2 2 65 17. (本小题满分 15 分) 已知|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 120?,当 k 为何值时, (1)ka-b 与 a-kb 垂直;
-2-

(2)|ka-2b|取得最小值?并求出最小值. 解: (1)∵ka-b 与 a-kb 垂直,∴(ka-b)?(a-kb)=0. ∴ka2-k2a?b-b?a+kb2=0.∴9k-(k2+1)?3?2?cos120°+4k=0. -13± 133 ∴3k2+13k+3=0.∴k= . ???7 分 6 (2)∵|ka-2b|2=k2a2-4ka?b+4b2=9k2-4k?3?2?cos120°+4?4 =9k2+12k+16=(3k+2)2+12. 2 ∴当 k=- 时,|ka-2b|取得最小值为 2 3. ???15 分 3 18. (本小题满分 15 分) 如图①,一条宽为 1km 的两平行河岸有村庄 A 和供电站 C,村庄 B 与 A、C 的直线距离都是 2km,BC 与河岸垂直,垂足为 D.现要修建电缆,从供电站 C 向村庄 A、B 供电.修建地下电缆、水下电缆的费 用分别是 2 万元/km、4 万元/km. (1)已知村庄 A 与 B 原来铺设有旧电缆,但旧电缆需要改造,改造费用是 0.5 万元/km.现决定利用此 段旧电缆修建供电线路,并要求水下电缆长度最短,试求该方案总施工费用的最小值. π (2)如图②,点 E 在线段 AD 上,且铺设电缆的线路为 CE、EA、EB.若∠DCE=θ(0≤θ≤ ),试用 3 θ 表示出总施工费用 y (万元)的解析式,并求 y 的最小值.

解: (1)由已知可得△ABC 为等边三角形,∵AD⊥CD,∴水下电缆的最短线路为 CD. 过 D 作 DE⊥AB 于 E,可知地下电缆的最短线路为 DE、AB. ???3 分 3 又 CD=1,DE= ,AB=2,故该方案的总费用为 2 3 1?4+ ?2+2?0.5=5+ 3 (万元) . ????6 分 2 π (2)∵∠DCE=θ (0≤θ≤ ) 3 1 ∴CE=EB= ,ED=tanθ,AE= 3-tanθ. cosθ 3-sinθ 1 1 则 y= ?4+ ?2+( 3-tanθ)?2=2? +2 3 ??9 分 cosθ cosθ cosθ 3-sinθ π 令 f (θ)= (0≤θ≤ ) cosθ 3 2 -cos θ-(3-sinθ)(-sinθ) 3sinθ-1 则 f ?(θ)= = ,??11 分 cos2θ cos2θ π 3 1 π ∵0≤θ≤ ,∴0≤sinθ≤ ,记 sinθ0= ,θ0∈(0, ) 3 2 3 3 1 当 0≤θ<θ0 时,0≤sinθ< ,∴f ?(θ)<0 3 π 1 3 当 θ0<θ≤ 时, <sinθ≤ ,∴f ?(θ)>0 3 3 2
-3-

π ∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减,在(θ0, ]上单调递增.??13 分 3 1 3- 3 2 ∴f (θ)min=f (θ0)= =2 2,从而 ymin=4 2+2 3,此时 ED=tanθ0= , 4 2 2 3 2 答:施工总费用的最小值为(4 2+2 3)万元,其中 ED= . ??15 分 4 19. (本小题满分 16 分) 已知 a 为实数,函数 f (x)=a· lnx+x2-4x. (1)是否存在实数 a,使得 f (x)在 x=1 处取极值?证明你的结论; (2)若函数 f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间,求实数 a 的取值范围; 1+a (3)设 g(x)=2alnx+x2-5x- ,若存在 x0∈[1, e],使得 f (x0)<g(x0)成立,求实数 a 的取值范围. x 2x2-4x+a a 解: (1)函数 f (x)定义域为(0,+∞),f ?(x)= +2x-4= x x 假设存在实数 a,使 f (x)在 x=1 处取极值,则 f ?(1)=0,∴a=2,
2

??2 分

2(x-1) 此时,f ?(x)= , x ∴当 0<x<1 时,f ?(x)>0,f (x)递增;当 x > 1 时,f ?(x)>0,f (x)递增. ∴x=1 不是 f (x)的极值点. 故不存在实数 a,使得 f (x)在 x=1 处取极值. ???4 分 2 2 2x -4x+a 2(x-1) +a-2 (2)f ?(x)= = , x x ①当 a≥2 时,∴f ?(x)≥0,∴f (x)在(0,+∞)上递增,成立; ???6 分 a a ②当 a<2 时,令 f ?(x)>0,则 x>1+ 1- 或 x<1- 1- , 2 2 a ∴f (x)在(1+ 1- ,+∞)上递增, 2 a ∵f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间,∴1+ 1- <3,解得:6<a<2 2 综上,a>-6. ???10 分 数 h ? x ? ? x ? 1 ? a ? a ln x 在[1,e]上的最小值小于零. x 1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] 有 h?( x) ? 1 ? 2 ? ? ? x x x2 x2 所以 h ? x ? 的最小值为 h ? e ? ,由 h ? e ? ? e ?

(3)在[1,e]上存在一点 x0,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,即在[1,e]上存在一点 x0 ,使得 h ? x0 ? ? 0 ,即函

①当 a ? 1 ? e ,即 a ? e ? 1 时, h ? x ? 在 ?1,e ? 上单调递减,

e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 可得 a ? e ?1 e
???12 分

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1 ,所以 a ? 因为 ; e ?1 e ?1 ②当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时, h ? x ? 在 ?1,e ? 上单调递增,
所以 h ? x ? 最小值为 h ?1? ,由 h ?1? ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; 因为 0 ? ln ?1 ? a ? ? 1 ,所以, 0 ? a ln ?1 ? a ? ? a ,

???14 分

③当 1 ? a ? 1 ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,可得 h ? x ? 最小值为 h ?1 ? a ? ? 2 ? a ? a ln ?1 ? a ? , 故 h ?1 ? a ? ? 2 ? a ? a ln ?1 ? a ? ? 2 此时不存在 x0 使 h ? x0 ? ? 0 成立.
-4-

综上可得所求 a 的范围是: a ?

e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1

???16 分

1 1 解法二:由题意得,存在 x∈[1, e],使得 a(lnx- )>x+ 成立. x x 1 1 令 m(x)=lnx- ,∵m(x)在[1, e]上单调递增,且 m(1)=-1<0, m(e)=1- >0 x e 故存在 x1∈(1,e),使得 x∈[1, x1)时,m(x)<0;x∈(x1, e]时,m(x)>0 x2+1 故存在 x∈[1, x1)时,使得 a< 成立,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (☆) xlnx-1 x2+1 或存在 x∈(x1, e]时,使得 a> 成立,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (☆☆) ???12 分 xlnx-1 x2+1 (x2-1)lnx-(x+1)2 记函数 F(x)= ,F ?(x)= xlnx-1 (xlnx-1)2

?lnx-x+1? 当 1<x≤e 时,(x2-1)lnx-(x+1)2=(x2-1)· ? x-1? ? ?
x+1 2 2 ∵G(x)=lnx- =lnx- -1 递增,且 G(e)=- <0 x-1 x-1 e-1 ∴当 1<x≤e 时,(x2-1)lnx-(x+1)2<0,即 F ?(x)<0 ∴F(x)在[1, x1)上单调递减,在(x1, e]上也是单调递减, ∴由条件(☆)得:a<F(x)max=F(1)=-2 e2+1 由条件(☆☆)得:a>F(x)min=F(e)= e-1 e2+1 综上可得,a> 或 a<-2. e-1 20. (本小题满分 16 分) 1 2x 已知常数 a>0,函数 f (x)= ax3-4(1-a)x,g(x)=ln(ax+1)- . 3 x+2 (1)讨论 f (x)在(0,+∞)上的单调性; 1 (2)若 f (x)在?- ,+∞?上存在两个极值点 x1、x2,且 g(x1)+g(x2)>0,求实数 a 的取值范围. ? a ? 解: (1)由题意可知:f ?(x)=ax2-4(1-a) 当 a≥1 时,f ?(x)>0,此时,f (x)在区间(0,+∞)上单调递增. 2 a(1-a) 2 a(1-a) 当 0<a<1 时,由 f ?(x)=0 得:x1= (x2=- <0 舍去) a a 当 x∈(0, x1)时,f ?(x)<0;当 x∈(x1,+∞)时,f ?(x)>0. 故 f (x)在区间(0, x1)上单调递减,在区间(x1,+∞)上单调递增. 综上所述,当 a≥1 时,f (x)在区间(0,+∞)上单调递增; 当 0<a<1 时,f (x)在区间(0, 2 a(1-a) 2 a(1-a) )上单调递减,在区间( ,+∞)上单调递增. a a ???16 分 ???14 分

???6 分 (2)由(1)知,当 a≥1 时,f ?(x)≥0,此时 f (x)不存在极值点, 因而要使得 f (x)有两个极值点,必有 0<a<1. 2 a(1-a) 2 a(1-a) 又∵f (x)的极值点只可能是 x1= 和 x2=- , a a 2 a(1-a) 1 1 2 a(1-a) 由 g(x)的定义可知,x>- 且 x≠-2,∴- >- 且 x≠2 a a a a
-5-

1 1 解得:0<a< 或 <a<1 【定义域在这里很重要】 2 2 2x1 2x2 而 g(x1)+g(x2)=ln(ax1+1)(ax2+1)- - x1+2 x2+2 =ln[a2x1x2+a(x1+x2)+1]- 2 =ln(2a-1)2- -2 2a-1

???8 分

此时,由(*)式易知,x1, x2 分别是 f (x)的极小值点和极大值点.

4x1x2+4(x1+x2) 4(a-1) =ln(2a-1)2- x1x2+2(x1+x2)+4 2a-1 ???10 分

1 1 1 1 令 x=2a-1,由 0<a< 且 a≠ 知,当 0<a< 时,-1<x<0;当 <a<1 时,0<x<1 ,记 h(x) 2 2 2 2 2 =lnx2+ -2. x 2 ①当-1<x<0 时,h(x)=2ln(-x)+ -2, x 2 设 t=-x∈(0,1),?(t)=2lnt- -2 单调递增 ∴?(t)<?(1)=-4<0 t 1 ∴h(x)<-4<0,故当 0<a< 时,g(x1)+g(x2)<0,不合题意,舍去. 2 2 2 2 2x-2 ②当 0<x<1 时,h(x)=2lnx+ -2,∴h ?(x)= - 2= 2 <0, x x x x 1 ∴h(x)在(0,1)上单调递减,∴h(x)>h(1)=0,故当 <a<1 时,g(x1)+g(x2)>0. 2 1 综上,a 的取值范围为? ,1?. ?2 ? ???16 分

-6-

附加题
(考试时间:30 分钟
21.(选修 4—2:矩阵与变换) (本小题满分 10 分)

总分:40 分)
2015.10

?3 1? 已知矩阵 A ? ? 2 2 ? ? ? ?2 1? ?1 (1)求 A ; ?1 (2)满足AX= A 二阶矩阵X ? 2 ?1? 解:(1) A?1 ? ? ? ? ?4 3?
(2) X ? ?

???5 分

? 8 ?5? ? ? ?20 13 ?

???10 分

22. (选修 4—4:坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ+2sinθ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建

?x=1+t, 立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长. ?y= 3t
解:曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x-2y=0,圆心为(1,1),半径为 2,(3 分) 直线的直角坐标方程为 3x-y- 3=0,(5 分) 所以圆心到直线的距离为 d= 所以弦长=2

|

3-1- 3| 1 = ,(8 分) 2 2

1 2- = 7.(10 分) 4

23.(本小题满分 10 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=3,AA1=AC=4,AA1⊥平面 ABC; AB⊥AC, (1)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (2)在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,求 BD 的值. BC1
A1

解: (1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A- xyz , 则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面 A1BC1 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,
C1

B1

???? ? n ? A1 B ? 0 ?3 y ? 4 z ? 0 ? 则 ? ????? ,即 ? , 4 x ? 0 n ? A C ? 0 ? ? ? 1 1
令 z ? 3 ,则 x ? 0 , y ? 4 ,所以 n = (0, 4,3) . 同理可得,平面 BB1C1 的法向量为 m = (3, 4, 0) ,
C

A

B

-7-

所以 cos n,m ?

n?m 16 . ? | n || m | 25
16 . 25

由题知二面角 A1-BC1-B1 为锐角, 所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为 ???5 分

( 2 ) 设 D ( x, y, z ) 是 直 线 BC1 上 一 点 , 且 BD ? ? BC1 . 所 以 ( x , y ? 3,z ) 解 ? ? ( 4, ? 3, .4 )得

??? ?

???? ?

x ? 4? , y ? 3 ? 3? , z ? 4? .

???? 所以 AD ? (4?,3 ? 3?, 4? ) .
由 AD· A1B ? 0 ,即 9 ? 25? ? 0 .解得 ? ? 因为

z
A1 B1

???? ????

9 . 25

C1

9 ? [0,1] ,所以在线段 BC1 上存在点 D, 25

A B
C

使得 AD⊥A1B. 此时,

y

BD 9 . ?? ? BC1 25

???10 分

x

24.(本小题满分 10 分)
? r r ?1 r ?1 n?1 n (1)证明:① Cn ; ? Cn ? Cn ?1 ;② C2 n? 2 ? 2C2 n?1 (其中 n, r ? N ,0 ? r ? n ? 1, )

( 2 )某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行,比赛共设 2n ? 1 局,每局比赛甲获胜的概率均为

1? ? p ? p ? ? ,首先赢满 n ? 1 局者获胜( n ? N ? ). 2? ?
①若 n ? 2 ,求甲获胜的概率; ②证明:总局数越多,甲获胜的可能性越大(即甲获胜的概率越大). 解: (1)①
r r ?1 Cn ? Cn ?

n ! ?? r ? 1? ? ? n ? r ? ? n! n! ? ? ? ? r !(n ? r )! ? r ? 1?!(n ? r ? 1)! ? r ? 1?!(n ? r )!

? n ? 1?! r ?1 ? ? Cn ?1 ? r ? 1?!? ? n ? 1? ? ? r ? 1? ?!
n?1 n n +1 n ②由① C2 n?2 =C2n?1 +C2n?1 ? 2C2n?1

??2 分

??3 分

(2)①若 n ? 2 ,甲获胜的概率
2 2 2 2 P ? p3 ? pC3 p (1 ? p) ? pC4 p (1 ? p)2 ? p3 6 p2 ?15p ?10

?

?

??5 分

②证明:设乙每一局获胜的概率为 q ,则 p ? q ? 1,0 ? q ? 记在甲最终获胜的概率为 Pn ,则
-8-

1 . 2

n n n n 2 n n n Pn ? p n?1 ? pCn ?1 p q ? pCn ? 2 p q ? ... ? pC2 n p q n n 2 n n ? p n?1 1 ? Cn ?1q ? Cn ? 2 q ? ... ? C2 n q

?

?

n n 2 n n n ?1 n ?1 2 n ?1 n ?1 Pn ? Pn ?1 ? p n ?1 1 ? Cn ? p n ? 2 1 ? Cn ?1q ? C n ? 2 q ? ... ? C 2 n q ? 2 q ? C n ? 3 q ? ... ? C 2 n ? 2 q n n 2 n n ? p n ?1 1 ? Cn ?1q ? C n ? 2 q ? ... ? C 2 n q

? p n ?1
所以,

n ?1 2 n ?1 3 n ?1 n?2 ? q ? Cn ? 2 q ? C n ? 3 q ? ... ? C 2 n ? 2 q

?

?? ??1 ? C ? ?

?

n n ?1

n 2 n n q ? Cn ? 2 q ? ... ? C 2 n q

? ? ? ? ?1 ? q ??1 ? C q ? C q ? ...? C q ?? ? ? ?1 ? C q ? C q ? ...? C q ? ??
n ?1 n?2 n ?1 2 n ?3 n ?1 2n?2 n ?1 n ?1 n?2 n ?1 2 n ?3 n ?1 2n?2 n ?1

?

n n ?1 2 n n ?1 ? p n ?1 (1 ? 1) ? q (Cn ?1 ? C n ? 2 ? 1) ? q (C n ? 2 ? C n ? 3 ? 1) n n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 ? ... ? q n (C2 (C2 C2 n ? 2 n ? C 2 n ?1 ? C 2 n ) ? q n ? 2 ? C 2 n ?1 ) ? q n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 ? p n ?1 ? q n ?1 (C2 C2 n ? 2 n ? 2 ? C 2 n ?1 ) ? q

?p q

n ?1 n ?1

n ? p n ?1q n ?1C2 n ?1 ?2q ? 1? ? 0

?qC

n ?1 2n?2

?C

n 2 n ?1

?? p

n ?1 n ?1

q

?2qC

?

?

n 2 n ?1

n ? C2 n ?1

?

所以 Pn ? Pn?1 即总局数越多,甲获胜的可能性越大(即甲获胜的概率越大) . ???10 分

-9-


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