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北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:直线与方程

时间:2013-02-06


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北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:直线与方程 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.点 P ( x, y ) 在直线 4 x ? 3 y ? 0 上,且 x, y 满足 ? 14 ? x ? y ? 7 ,则点 P 到坐标原点距离 的取值范围是( A. 0,5 ) B. 0,10 C. 5,10 D. 5,15 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

【答案】B 2.已知直线 l 的方向向量与向量 a=(1,2)垂直,且直线 l 过点 A(1,1) ,则直线 l 的方程为 A.x-2y-1=0 C.x+2y+1=0 【答案】D 3. 已知点的集合 A ? {( x, y, z ) || x ? a | ? | y ? a |? 0, z ? R} ,则,( A. A 中的每个点到 x 轴的距离相等 C. A 中的每个点到 z 轴的距离相等 平面的距离相等 【答案】C 4. 已知直线 ( ) B.1 或 5 C.1 或 4 D.1 或 2 ( ) ) B.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0

B. A 中的每个点到 y 轴的距离相等 D. A 中的每个点到 xoy

l : (k ? 3) x ? (5 ? k ) y ? 1 ? 0 与 l
1

2

: 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则 K 的值是

A.1 或 3 【答案】C

5.已知直线 mx+4y-2=0 与 2x-5y+n=0 互相垂直,垂足坐标为(1,p),则 m-n+p= A. 【答案】B 6. 过点 A ?1, 4 ? ,且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为 A. 1 【答案】C 7.直线 y ? x ? b 与曲线 A. | b |? 2 B. 2 C. 3 ( D. 4 24 B. 20 C. 0 D. -4



x ? 1 ? y2

有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围是

(



B. ?1 ? b ? 1 或 b ? ? 2 D. 2 ? b ? 1

C. ?1 ? b ? 2

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【答案】B

x ? 1 ? y2 解析: y ? x ? b 是斜率为1的直线,曲线 是以原点为圆心1为半径的圆的右半圆,画出
他们的图像如右图, 由图可以看出:两种情况两个曲线有且仅有一个公共点, 当 b ? ? 2 时相切, 当 ?1 ? b ? 1 时,相交且有唯一公共点;这里考查直线与圆位置关系,数形结合,是中档题. 8.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线方程是 A.

y ? y2 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 y ? y1 x ? x2 ? y2 ? y1 x1 ? x2

B.

C. ( x 2 ? x1 )( x ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )( y ? y1 ) ? 0 D.( y2 ? y1 )( x ? x1 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? 0 【答案】D 9.已知 P(a,b)与 Q(b-1,a+1)(a≠b-1)是轴对称的两点,那么对称轴方程是 A. C. 【答案】D 10.若过点 A(3, 0) 的直线 l 与曲线 x+y=0 x+y-1=0 B. D. x-y=0 x-y+1=0 ( )

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

有公共点,则直线 l 斜率的取值范围为(



A.( ? 【答案】C

3,

3 ) B.[ ? 3 ,

3 ] C.[

?

3 3 ,

3 3 ? 3 ] D.( 3 ,

3 3 )

?x ? y ? 1 ? 0 ? 11.(若实数 x,y 满足 ? x ? 0 ?y ? 2 ?
A. (0, 2) B. (0, 2]

,则

y 的取值范围是( x
C. (2, ??)



D. [2, ??)

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【答案】D 12. 直线 x ? y ? m ? 0与圆x ? y ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是
2 2

(

) A. ?3 ? m ? 1 B. ?4 ? m ? 2 C. 0 ? m ? 1 D. m ? 1

【答案】C

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第Ⅱ卷(非选择题 13.经过点(-4,3),且斜率为-3 的直线方程为 【答案】3x+y+9=0 14.直线 xcosθ + 【答案】 [0,

共 90 分) .

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

3 y+2=0 的倾斜角的范围是______.

? 5 ]∪[ ? ,π ) 6 6
2 13 c?2 的值为______. ,则 13 a

15.若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 【答案】±1

16.在直角坐标系中,A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后,再射到 直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是______. 【答案】 2

10

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三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 如图,为了绿化城市,拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪,另外△AEF 内部有一文物保 护区域不能占用,经过测量 AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计才能使草坪面积 最大?

【答案】建立如图示的坐标系,则 E(30,0)F(0,20),那么线段 EF 的方程就是

x y 在线段 EF 上取点 P m,n) PQ⊥BC 于 Q,作 PR⊥CD 于 R,设矩形 PQCR ( 作 ? ? 1(0 ? x ? 30) , 30 20 m n 的面积是 S,则 S=|PQ||·|PR|=(100-m)(80-n),又因为 ? ? 1(0 ? x ? 30) ,所以, 30 20 m 2 2 18050 n ? 20(1 ? ) ,故 S ? (100 ? m)(80 ? 20 ? m) ? ? (m ? 5)2 ? 30 3 3 3
(0 ? m ? 30) ,于是,当 m=5 时 S 有最大值,这时

EP PF

?

30 ? 5 5 ? . 5 1

18. (Ⅰ) 求过 l1 :3x ? 4 y ? 2 ? 0与l2 : 2x ? y ? 2 ? 0 的交点, 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的 直线的方程; (Ⅱ)求垂直于直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 , 且与点 P ( ?1, 0) 的距离是

【答案】(Ⅰ) l1 :3x ? 4 y ? 2 ? 0与l2 : 2x ? y ? 2 ? 0 的交点为:(-2,2) 所求直线为: x ? 2 y ? 6 ? 0 ; (Ⅱ) 3x ? y ? 9 ? 0或3x ? y ? 3 ? 0 . 19.已知点 A(?3, 5), B(2, 15) ,在直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 上求一点 P,使

3 1 0 的直线的方程. 5

PA ? PB 最小.

【答案】由题意知,点 A、B 在直线 l 的同一侧.由平面几何性质可知,先作出点 A 关于直线 l 的 对称点 A' ,然后连结 A' B ,则直线 A' B 与 l 的交点 P 为所求.事实上,设点 P ' 是 l 上异于 P 的

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点,则

P' A ? P' B ? P' A' ? P' B ? A' B ? PA ? PB .

?y ?5 3 ? x ? 3 ? 4 ? ?1 ?x ? 3 ? 设 A' ( x, y ) ,则 ? ,解得 ? ,∴ A' (3,?3) ,∴直线 A' B 的 x?3 y?5 ? y ? ?3 ?3 ? ? 4? ?4?0 ? 2 2 ?
8 ? ?3 x ? 4 y ? 4 ? 0 8 ?x ? 方程为 18 x ? y ? 51 ? 0 .由 ? ,解得 ? 3 ,∴ P( ,3) . 3 ?18 x ? y ? 51 ? 0 ?y ? 3 ?

20.已知:矩形 AEFD 的两条对角线相交于点

M ? 2,0 ? AE , 边所在直线的方程为:

x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T ? ?1,1? 在 AD 边所在直线上.
(1)求矩形 AEFD 外接圆 P 的方程。 (2) ?ABC 是 ?

P 的内接三角形,其重心 G 的坐标是 ?1,1? ,求直线 BC 的方程 .

1 x, y ? ? K AE ? 3 ? 【答案】(1)设 A 点坐标为 且 AE ? AD

?KAD ? ?3 又 T ? ?1,1? 在 AD 上
?x ? 3y ? 6 ? 0 ? ?x ? 0 ?? y ?1 ?? ? ?3 ? x ?1 ? y ? ?2 ?

即 A 点的坐标为

? 0, ?2 ?
2,0?
即为矩形 AEFD 外接圆的圆心,

? 又? M 点是矩形 AEFD 两条对角线的交点 ? M 点
2

其半径

r ? MA ? 2 2 ? ? P ? x ? 2? ? y2 ? 8 的方程为

(2)连 AG 延长交 BC 于点

N ? x0, y0 ?

,则 N 点是 BC 中点,连 MN

? G 是 ?ABC 的重心,? AG ? 2GN ??1,3? ? 2 ? x0 ? 1, y0 ? 1?

????

????

3 ? ? x0 ? 2 ? ?? ?y ? 5 ? 0 2 ?

? M 是圆心, N 是 BC 中点?MN ? BC , 且 KMN ? ?5

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? K BC ?

1 5

?y?

5 1? 3? ? ?x? ? 2 5? 2?

即直线 BC 的方程为

x ? 5 y ? 11 ? 0

21. 已知直线 l : y ?

3 x 和点 P(3,1),过点 P 的直线 m 与直线 l 在第一象限交于点 Q,与 x 轴

交于点 M,若 ?OMQ 为等边三角形,求点 Q 的坐标 【答案】因直线 l : y ? x 的倾斜角为 60 ,
0

要使 ?OMQ 为等边三角形,直线 m 的斜率应为 ?

3,

设 Q ( x, 3 x ) ,则

3x ? 1 ?? 3, x?3

解得:

x?

9? 3 9 ? 3 1? 3 3 , ) ,?Q( 6 2 6

22.已知射线 l : y ? 4 x( x ? 1) 和点 M (6, 4) ,在射线 l 上求一点 N ,使直线 MN 与 l 及 x 轴围 成的三角形面积 S 最小. 【答案】设 N ( x0 ,4x0 )(x0

? 1) ,

则直线 MN 的方程为 (4x0 ? 4)(x ? 6) ? ( x0 ? 6)( y ? 4) ? 0 . 令 y ? 0得x

?

5 x0 , x0 ? 1
2

∴S ? 1 (

5x0 10x0 10[( x0 ? 1) ? 1] 2 1 ) ? 4 x0 ? ? ? 10[(x0 ? 1) ? ? 2] 2 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1

? 10[2 ( x0 ? 1) ?

1 即 1 x0 ? 2] ? 40 ,当且仅当 x0 ? 1 ? x0 ? 1 x0 ? 1

? 2 时取等号,

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∴当 N 为(2,8)时,三角形面积 S 最小

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