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数学文卷·2014届湖北省襄阳市高三统一调研测试(2013.12)word版

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襄阳市 2013-2014 学年普通高中调研统一测试 高三数学(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 2 1.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x -2x-3≤0},则 A∩(СRB)= A. (1,4) B. (3,4) C. (1,3) D. (1,2)∪(3,4) 2.设 a、b 为实数,若复数 A.a=

1+ i =1+i 则 a + bi

1 3 ,b= D.a=1,b=3 2 2 1 2 3.已知幂函数 y=f(x)的图象过点( , ) ,则 log4f(2)的值为 2 2 1 1 B.C.2 D.-2 A. 4 4 4.已知向量 a=(cos a ,sin a ) ,向量 b=( 3 ,-1) ,则|2a-b|的最大值,最小值分别是 A.4 2 ,0 B.4,4 2 C.16,0 D.4,0 x 2 -a 在其定义域上为奇函数”的 5.“a=1”是“函数 f(x)= x 2 +a
B.a=3,b=1 C.a= A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.学校高中部共有学生 2000 名,高中部各年级男、女生人数如下表,已知在高中部学生中 随机抽取 1 名学生,抽到高三年级女生的概率是 0.18,现用分层抽样的方法在高中部抽取 50 名学生,则应在高二年级抽取的学生人数为 高一 高二 高三 女生 373 y x 男生 327 Z 340 A.14 B.15 C.16 D.17 7 . 执 行 如 右 图 所 示 的 程 序 框 图 , 若 输 出 的 值 为 -105 , 则 输 入 的 n 值 可 能 为

3 1 ,b= 2 2

A.5 B.7 C.8 D.10 8.已知正数 x、y 满足 x+2y-xy=0,则 x+2y 的最小值为 A.8 B.4 C.2 D.0 9.给出下面结论: ①“a>1”是“f(x)=logax(a>0,a≠1)在[0,+∞)为增函数”的充要条件; ②函数 f(x)=cosxsinx 的图象关于点(2

③函数 f(x)=2x+3x 的零点所在区间是(-1,0) ;

p ,0)成中心对称; 4

④命题 p: $x0 ? R ,x0 - 3 x0 + 2 ≥0”的否定为 ?p : "x ? R ,x0 - 3x0 + 2 < 0 ”. “ “
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其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 10.定义域是一切实数的函数 y=f(x) ,其图像是连续不断的,且存在常数 l ( l ∈R)使 得 f(x+ l )+ l f(x)=0 对任意实数 x 都成立,则称 f(x)是一个“ l ~伴随函数”.有下 列关于“ l ~伴随函数”的结论: ①f(x)=0 是常数函数中唯一一个“ l ~伴随函数”;

1 ~伴随函数”至少有一个零点; 2 2 ③f(x)= x 是一个“ l ~伴随函数”;
②“ 其中正确结论的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。将答案填在答题卡相应位置上。 ) 11.容量为 60 的样本的频率分布直方图共有 n(n>1)个小矩形,若其中一个小矩形的面积

1 ,则这个小矩形对应的频数是 ▲ . 5 p p 12.若函数 f(x)=2sin( x+ ) (2<x<10)的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l 与 f 6 3 uuu uuuv v uuu v (x)的图象交于 B、C 两点,O 为坐标原点,则( OB + OC ) OA = ▲ . · ìx + 3y - 3 ? 0 ? 13.若实数 x、y 满足不等式组 í2 x - y - 3 ? 0 ,则 x+y 的最大值为 ▲ . ?x - y +1 ? 0 ?
等于其余 n-1 个小矩形面积和的 14.已知函数 y=sinx+sin(x-

p ) 3

(1)f(x)的最小正周期为 ▲ ; (2)f(x)的最大值是 ▲ .

2 n ) }中的最大值是第 k 项,则 k= ▲ . 3 16.已知 a 是 f(x)=2x- log 1 x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值与 0 的大小关系是 ▲ .
15.若数列{n(n+4) (
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17.5 位同学围成一圈依次循环报数,规定:第一位同学报的数是 1,第二位同学报的数也 是 1,之后每位同学所报的数都是前两位同学报的数之和;若报的数为 3 的倍数,则报该数 的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数, (1)当 5 位同学依次循环共报 20 个数时,甲同学拍手的次数为 ▲ ; (2)当甲同学开始第 10 次拍手时,这 5 位同学己经循环报数到第 ▲ 个数. 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 18. (本大题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2sin w x cos w x +2 3 sin w x - 3 ( w >0)的最小正周期为 p . (1)求函数 f(x)的单调增区间;
2

(2)将函数 f(x)的图象向左平移

p 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x) 6

的图象,求 y=g(x)的零点; (3)若 y=g(x)在[0,b](b>O)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. 19. (本大题满分 12 分) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级,现从一批该零件中随机抽取 20 个, 对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下 等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n
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(1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m、n; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件 等级恰好相同的概率. 20. (本大题满分 13 分) 已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且{an}、 {bn}满足条件:S4=4a3-2,Tn=2 bn-2. (1)求公差 d 的值; (2)若对任意的 n∈N,都有 Sn≥S5 成立,求 a1 的取值范围; (3)若 a1=1,令 Cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和. 21. (本大题满分 14 分) 3 2 已知 m∈R,设函数 f(x)= x -3(m+1)x +12 m x+1. (1)若 f(x)在(0,3)上无极值点,求 m 的值; (2)若存在 x0∈(0,3) ,使得 f(x0)是 f(x)在[O,3]上的最值,求 m 的取值范围. 22. (本大题满分 14 分) 3 2 已知函数 f(x)=mx +nx (m、n∈R,m>n 且 m≠0)的图象在(2,f(2) )处的切线与 x 轴平行. (1)确定实数 m、n 的正、负号; 2 (2)若函数 y=f(x)在区间[n,m]上有最大值为 m-n ,求 m 的值.

高三数学(文科)参考答案及评分标准 说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内 容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分 数的一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:BAADA BCABA 二.填空题:11.10 15.4 三.解答题: 12.32 13.9 16.f (x0) < 0 14. (1) 2p (2) 3 17. (1)1 (2)190

18. (1)解:由题意得: f ( x) = sin 2w x - 3 cos 2w x = 2 sin(2w -

p ) 3

2分

由函数的最小正周期为 p ,得 w = 1 p ∴ f ( x) = 2 sin(2 x - ) 3 p p p p 5p 由 2k p - ≤ 2 x - ≤ 2kp + ,得: k p ≤ x ≤ kp + ,k∈Z 2 3 2 12 12 p 5p 所以函数 f (x)的单调增区间是 [k p ,p + k ] ,k∈Z 12 12 p (2)解:将函数 f (x)的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位, 6 p p 得到 y = 2 sin[2( x + ) - } + 1 ,即 y = 2 sin 2 x + 1 的图象 6 3 所以 g ( x) = 2 sin 2 x + 1
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4分

6分

8分

7p 11p 或 x = kp + ,k∈Z 12 12 7p 11p ∴y = g (x)的零点为 x = k p + 或 x = kp + ,k∈Z 10 12 12 分 (3)解:由(2)知,y = g (x)在每个周期上恰好有两个零点 若 y = g (x)在[0,b]上有 10 个零点,则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可, 11p 59p 即 b 的最小值为 4p + = 12 12 12 分 19. (1)解:由频率分布表得 0.05 + m + 0.15 + 0.35 + n = 1 即 m + n = 0.45 2分 2 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,得 n = = 0.1 4分 20 所以 m = 0.45﹣0.1 = 0.35. 5分 (2)解:由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1、x2、x3 等级为 5 的零件有 2 个,记作 y1、y2 从 x1、x2、x3、y1、y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为: x1,x2)(x1,x3)(x1, ( , , y1)(x1,y2)(x2,x3)(x2,y1)(x2,y2)(x3,y1)(x3,y2)(y1,y2) , , , , , , , 共计 10 种 9分 记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等” 则 A 包含的基本事件为(x1,x2)(x1,x3)(x2,x3)(y1,y2)共 4 个 , , , 11 分 4 故所求概率为 P( A) = = 0.4 12 10 分 20. (1)解:设等比数列{bn}的公比为 q,由 S4 = 4a3﹣2,得: 4?3 4a1 + ? d = 4( a1 + 2d ) - 2 ? d = 1 . 2分 2 (2)解:由公差 d = 1 > 0 知数列{an}是递增数列 由 Sn≥S5 最小知 S5 是 Sn 的最小值 ì S ≥ S5 ìa ≤ 0 ? í 5 ∴í 4 4分 ? S 6 ≥ S5 ?a6 ≥ 0 令 g (x) = 0 得: x = k p + ìa + 4 ≤ 0 即í 1 ,解得:-5≤a1≤-4 ?a1 + 5 ≥ 0 ∴a1 的取值范围是[-5,-4]. 另解:由 Sn≥S5 最小知:S5 是 Sn 的最小值 n(n - 1) 1 2 1 Sn = na1 + = n + (a1 - ) n 2 2 2 1 当 n = - a1 时,Sn 有最小值 2 1 1 1 又 Sn 的最小值是 S5,∴ 4 + ≤ - a1 ≤ 5 + 2 2 2 故-5≤a1≤-4 ∴a1 的取值范围是[-5,-4]. (3)解:a1 =1 时,an = 1 + (n﹣1) = n 当 n = 1 时,b1 = T1 = 2b1﹣2,解得 b1 = 2 当 n≥2 时,bn = Tn﹣Tn﹣1 = 2bn﹣2﹣(2bn﹣1﹣2) = 2bn﹣2bn﹣1,化为 bn = 2bn﹣1. ∴数列{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,∴ bn = 2 × 2 n -1 = 2n
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6分

4分

6分

∴ cn = n × 2n 记数列{cn}的前 n 项和为 Vn,则 ∴ Vn = 1 ? 2 + 2 ? 22 + 3 ? 23 + … + n ? 2n
2Vn = 2 2 + 2 ? 23 + L (n - 1) ? 2n + n ? 2 n +1 +

8分

10

分 两式相减得: -Vn = 2 + 22 + 23 + … + 2 n - n ? 2n +1
= 2(2n - 1) - n ? 2n +1 = -(n - 1) ? 2n +1 - 2 2 -1 +2.

∴ Vn = (n - 1) ? 2n +1 分 2 21. (1)解:f ′(x)=3x -6(m+1)x+12m=3(x-2) x-2m) ( 由于 f (x)在[0,3]上无极值点,故 2m = 2,所以 m = 1 (2)解:由于 f ′(x) = 3(x-2) x-2m) ( 3 当 2m≤0 或 2m≥3,即 m≤0 或 m≥ 时,取 x0 = 2 即满足题意 2 3 此时 m≤0 或 m≥ 2 当 0<2m<2,即 0<m<1 时,列表如下: x f ′(x) f (x) 1 0 (0, 2m) + 单调递增 2m 0 极大值 (2m,2) - 单调递减 2 0 极小值 (2,3) + 单调递增 9m+1 3

13 2分 4分

6分

故 f (2)≤f (0)或 f (2m)≥f (3) 3 2 即-4+12m+1≤1 或-4m +12m +1≥9m+1 2 从而 3m≤1 或-m(2m-3) ≥0, 1 3 所以 m≤ 或 m≤0 或 m = 3 2 1 此时 0<m≤ 3 分 3 当 2<2m<3,即 1<m< 时,列表如下: 2 x f ′(x) f (x) 1 0 (0,2) + 单调递增 2 0 极大值 (2,2m) - 单调递减 2m 0 极小值 (2m,3) + 单调递增 9m+1 3

8分

10

故 f (2m)≤f (0) 或 f (2)≥f (3) 3 2 即-4m +12m +1≤1 或-4+12m+1≥9m+1 分 2 从而-m (m-3)≤0 或 3m≥4, 4 所以 m=0 或 m≥3 或 m≥ 3 4 此时 ≤m <错误!不能通过编辑域代码创建对象。 3 1 4 综上所述, 实数 m 的取值范围是{m | m≤ 或 m≥ }. 3 3 分
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12

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22. (1)解: f ?( x ) = 3mx 2 + 2nx )处的切线与 x 轴平行知: f ?(2) = 0 ,即 12m + 4n = 0 由图象在(2,f (2) ∴n =-3m 又 n < m,故 n < 0,m > 0 2分 (2)解:令 f ?( x ) = 3mx 2 + 2nx = 3mx 2 - 6mx = 0 ,得:x = 0 或 x = 2 4分 ∵m > 0,∴当 x < 0 或 x > 2 时, f ?( x) > 0 ,当 0 < x < 2 时, f ?( x) < 0 故 f (x)在区间(-∞,0)内为增函数,在(0,2)内为减函数,在(2,+∞)内为增 函数. ∴x = 0 是 f (x)的极大值点,x = 2 是 f (x)的极小值点 6分 令 f (x) = f (0) = 0,得 x = 0 或 x = 3 2 ①当 0 < m≤3 时,f (x)max = f (0) = 0,∴m-n = 0 ì n = -3m 1 ? 由 í m - n2 = 0 得: m = 8分 9 ?0 < m ≤ 3 ? ②当 m > 3 时,f (x)max = f (m) = m + m n 4 2 2 ∴m + m n = m-n ìm4 + m2 n = m - n2 3 2 得:m -3m + 9m-1 = 0 由í ? n = -3m 分 3 2 记 g (m) = m -3m + 9m-1 ∵ g ?( x ) = 3m 2 - 6m + 9 = 3(m - 1) 2 + 6 > 0 分 ∴g (m)在 R 上是增函数,又 m > 3,∴g (m) > g (3) = 26 > 0 ∴g (m) = 0 在(3,+∞)上无实数根 1 综上, m = . 9 分
4 2

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