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2014高考数学 第三章 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课时提升作业 文 北师大版

时间:2017-03-12


【全程复习方略】 (陕西专用)2014 高考数学 第三章 第四节 函数 y=Asin(ω x+φ )的图像及三角函数模型的简单应用课时提升作业 文 北师大版
一、选择题 1.将函数 y=sin2x 的图像向上平移 1 个单位,再向右平移 个单位,所得的图像对应的函数解析式是( (A)y=2cos x (C)y=1+sin(2x- )
2

)

(B)y=2sin x (D)y=1+sin(2x+ ) )

2

2.已知函数 f(x)=sin(ω x+ )(ω >0)的最小正周期为π ,则该函数的图像( (A)关于直线 x= 对称 (B)关于点( ,0)对称 (C)关于直线 x=- 对称 (D)关于点( ,0)对称

3.(2013·上饶模拟)已知函数 f(x)的部分图像如图所示,则 f(x)的解析式可能为( (A)f(x)=2cos( - ) (B)f(x)= cos(4x+ )

)

(C)f(x)=2sin( - ) (D)f(x)=2sin(4x+ ) 4.(2013·抚州模拟)将函数 y=cos(x- )的图像上各点的横坐 长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移 个单位长度,所得函数图像的一条对称轴为( (A)x= (C)x= (B)x= (D)x=π sin(ω x+φ + )(ω >0,|φ |< )的最小正周期为π ,且 f(-x)=f(x),则 ) 标伸

5.(2013·咸阳模拟)设函数 f(x)= ( )

(A)y=f(x)在(0, )是减少的

-1-

(B)y=f(x)在( , )是减少的 (C)y=f(x)在(0, )是增加的 (D)y=f(x)在( , )是增加的 二、填空题 6.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0,|φ |<π )的部分图像如图所示,则 f(0)的值 是 .

7.(2013·宜春模拟)已知函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,|φ |< )的部分图像如图所示,则ω ·φ =

.

8.(能力挑战题)设函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,φ ∈(- , ))的最小正周期为π ,且其图像关于直线 x= 对 称,则在下面四个结论中: ①图像关于点( ,0)对称; ②图像关于点( ,0)对称; ③在[0, ]上是增加的; ④在[- ,0]上是增加的. 正确结论的编号为 三、解答题 9.(2013·安庆模拟)已知函数 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,|φ |<π ,b 为常数)的一段图像(如图所示). .

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(1)求函数的解析式. (2)求这个函数的单调区间. 10.(能力挑战题)已知 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的最小正周期为 2,且当 x= 时,f(x)的最大值为 2. (1)求 f(x)的解析式. (2)在闭区间[ , ]上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在求出其对称轴.若不存在,请说明理由.

答案解析 1.【解析】选 B.将 y=sin2x y=sin2x+1

y=sin2(x- )+1=sin(2x- )+1 =-cos2x+1=2sin x. 2.【解析】选 B.由 T=π ,∴ =π ,得ω =2. 故 f(x)=sin(2x+ ). 当 x= 时,2× + =π , 此时 sinπ =0, 故 f(x)=sin(2x+ )的图像关于点( ,0)对称. 【变式备选】(2013·赣州模拟)为得到函数 y=cos(2x+ )的图像,只需将函数 y=sin2x 的图像( (A)向左平移 个长度单位 (B)向右平移 个长度单位
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)

(C)向左平移 个长度单位 (D)向右平移 个长度单位 【思路点拨】先将两函数化为同名函数,再判断平移方向及平移的长度单位. 【解析】选 A.y=cos(2x+ )=sin[ +(2x+ )] =sin(2x+ )=sin2(x+ ) 故将函数 y=sin2x 的图像向左平移 个单位可得函数 y=cos(2x+ )的图像. 3.【思路点拨】将图中特殊点的坐标代入解析式中验证即可. 【解析】选 A.对于选项 C,D,点 B(0,1)的坐标不满足;对于选项 B,点 A( ,2)的坐标不满足;对于选项 A,点 A,B,C 的坐标都满足,故选 A. 4.【解析】选 C.由 y=cos(x- )

y=cos( x- ) =cos( x- ),

y=cos[ (x+ )- ]

故当 x= 时, × - =0,此时函数取最大值.故 x= 是函数的一条对称轴. 5.【思路点拨】先确定 y=f(x)的解析式,再判断. 【解析】选 A.由周期为π 知ω = =2;又 f(-x)=f(x),故函数为偶函数, 所以φ + =kπ + (k∈Z). 又|φ |< ,所以φ = . 从而 f(x)= sin(2x+ )= cos2x.

所以 f(x)在(0, )是减少的. 6.【解析】由题图可知 A= 根据函数图像的对应关系得 2× +φ =2kπ +π (k∈Z), ∴φ =2kπ + (k∈Z),又∵|φ |<π ,
-4-

, = - = ,∴T=π .又 =T,∴ω = =2.

∴φ = ,则 f(x)= ∴f(0)= 答案:

sin(2x+ ),

sin = .

7.【解析】由图形知 = - = , ∴T=π ,∴ω =2,∴f(x)=sin(2x+φ ). 方法一:由五点作图法知, 2× +φ = ,∴φ =- , ∴ω ·φ =2×(- )=- . 方法二:把点( ,1)的坐标代入 f(x)=sin(2x+φ )得, sin( +φ )=1, ∴ +φ = +2kπ (k∈Z),∴φ =- +2kπ (k∈Z), 又|φ |< ,∴φ =- ,∴ω ·φ =2×(- )=- . 答案:8.【解析】∵y=sin(ω x+φ )最小正周期为π , ∴ω = =2.又其图像关于直线 x= 对称, ∴2× +φ =kπ + (k∈Z). ∴φ =kπ + ,k∈Z. 由φ ∈(- , ),得φ = , ∴y=sin(2x+ ).令 2x+ =kπ (k∈Z), 得 x= - (k∈Z). ∴y=sin(2x+ )关于点( ,0)对称,故②正确. 令 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z),得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z),
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∴函数 y=sin(2x+ )的递增区间为[kπ - ,kπ + ](k∈Z). ∵[- ,0] 答案:②④ 9.【解析】(1)由条件知 又 = = -(- )= ,∴ω = . ∴y= sin( x+φ )+ ,将点( ,0)坐标代入上式,得 sin( +φ )=-1, ∴ +φ = +2kπ (k∈Z), ∴φ = +2kπ (k∈Z). 又|φ |<π ,∴φ = π , ∴y= sin( x+ )+ . (2)由 2kπ - ≤ x+ ≤2kπ + (k∈Z),得 - ≤x≤ - (k∈Z). 解得 A=b= , [kπ - ,kπ + ](k∈Z),∴④正确.

由 2kπ + ≤ x+ ≤2kπ + (k∈Z),得 - ≤x≤ + (k∈Z). - , - ](k∈Z),

∴所求递增区间为[ 递减区间为[ - ,

+ ](k∈Z).

【方法技巧】由图像求解析式和性质的方法和技巧 (1)给出图像求 y=Asin(ω x+φ )+b 的解析式的难点在于ω ,φ 的确定,本质为待定系数,基本方法是①寻找 特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图像变换法,即考察已知图像可由哪个函数的图像经过变换得到, 通常可由平衡点或最值点确定周期 T,进而确定ω . (2)由图像求性质的时候,首先确定解析式 ,再根据解析式求其性质 ,要紧扣基本三角函数的性质.例如,单 调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点. 【变式备选】函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的部分图像如图所 示. (1)求 f(x)的最小正周期及解析式.
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(2)设 g(x)=f(x)-cos2x,求函数 g(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. 【解析】(1)由图可得 A=1, = - = ,所以 T=π ,所以ω =2. 当 x= 时,f(x)=1, 可得 sin(2× +φ )=1, 因为|φ |< ,所以φ = . 所以 f(x)的解析式为 f(x)=sin(2x+ ). (2)g(x)=f(x)-cos2x =sin(2x+ )-cos2x =sin2xcos +cos2xsin -cos2x = sin2x- cos2x =sin(2x- ). 因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ . 当 2x- = ,即 x= 时,g(x)取最大值为 1; 当 2x- =- ,即 x=0 时,g(x)取最小值为- . 10.【解析】(1)由 T=2 知 =2 得ω =π . 又因为当 x= 时 f(x)的最大值为 2,所以 A=2. 且 π +φ =2kπ + (k∈Z), 故φ =2kπ + (k∈Z). ∴f(x)=2sin(π x+2kπ + )=2sin(π x+ ),k∈Z, 故 f(x)=2sin(π x+ ). (2)令π x+ =kπ + (k∈Z), 得 x=k+ (k∈Z).由 ≤k+ ≤ . 得 ≤k≤ ,又 k∈Z,知 k=5.
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故在[ , ]上存在 f(x)的对称轴, 其方程为 x= .

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