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正弦定理、余弦定理及其实际应用 (课标Ⅰ)

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正弦定理、余弦定理及其实际应用 (课标Ⅰ) 1、高考典例 1 . 在平面四边形 (1)求 (2)若 【答案】(1) 【解析】 ; ,求 中, . , , , . ;(2)5 分析:(1)根据正弦定理可以得到 ,根据题设条件,求得 ,结合角的范围,利用同角三角函数关系式,求得 ; (2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得 中,用余弦定理得到 详解:(1)在 由题设知, 所满足的关系,从而求得结果. 中,由正弦定理得 ,所以 . . ,之后在 由题设知, ,所以 . . (2)由题设及(1)知, 在 中,由余弦定理得 . 所以 . 点睛:该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理、同角三角 函数关系式、诱导公式以及余弦定理,在解题的过程中,需要时刻关注题的条件, 以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系,从而正 确求得结果. 2、高考必刷 2.在 (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 中, 的大小; 的取值范围. ;(2) . 【答案】(1) 【解析】 【分析】 的取值范围为 . (Ⅰ)由正弦定理可得 内角和定理 【详解】 (Ⅰ)因为 所以 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 所以 , 又因为 可化简为 ,结合余弦定理可得 ,结合 , ,由正弦定理,得 , 所以 , 所以 . , 的大小;(Ⅱ)利用 可得结果. , , ,所以 所以当 当 时, 时, , 取得最大值 ; . , 因为 所以 的取值范围为 【点睛】 (1)在三角形中根据已知条件求未知的边或角时,要灵活选择正弦、余弦定理进 行边角之间的转化,以达到求解的目的. (2)求角的大小时,在得到角的某一个三角函数值后,还要根据角的范围才能确 定角的大小,这点容易被忽视,解题时要注意. 3.在 (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若 值. ,点 , 是线段 的两个三等分点, , ,求 的 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,且 . 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)先根据正弦定理将边角关系化为边的关系,再根据余弦定理得结果,(2)先 根据余弦定理解得 【详解】 (Ⅰ)∵ ∴ , 又 , ,在 中,由余弦定理得 ,又在 中, ,解得 ,∴ ,再根据余弦定理解得 . , ; , ,则由正弦定理得: ,又 的两个三等分点,设 ,∴ ,则 (Ⅱ)由题意得 , 是线段 (负值舍去),则 . 或解:在 中,由正弦定理得: ,∴ ∴ ,∴ ,∴ ,∴ . 【点睛】 解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件 灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化 的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果. 4.在 (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 【答案】(1) 【解析】 【分析】 ;(2) . 中, 的大小; 的最大值. . 为锐角,∴ , ,∴在 ,∴ ,∴ 中, ,又 ,又 , , (Ⅰ)根据正弦定理和余弦定理,求得 (Ⅱ)根据三角形内角和为 π 及 达式,进而转化为关于 值。 【详解】 (Ⅰ)因为 由正弦定理,得 又因为 , 所以 . ,所以 的大小。 转化为角 B 的表 ,将表达式 的二次函数表达式,利用函数单调性、对称性求得最大 , , (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 所以 , 所以 , , 因为 ,所以 , 所以当 时, 取得最大值 . 【点睛】 本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用,三角函数诱导公式、和差公式的简单 化简,二次函数的最值等,涉及知识点多,综合性较强,属于中档题。 5 . 已知在 中, 所对的边分别为 , . (1)求 的大小; (2)若 ,求 的值. 【答案】(1) 或 (2)1 【解析】 【分析】 (1)利用三角形内角和定理结合诱导公式,和与差,二倍角化简,可得 B 的大 小. (2)根据 sinAsinC=sin2B,利用正弦定理,结合(1)中 B 的值,即可求解 的 值. 【详解】 解:(1)∵ ∴ ∴ ∴ 又 ,∴ 或 ,∴ ,即 , , , (2)∵ 又由余弦定理得 当 当 ∴ 时,则 时,则 ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ , , ,此方程无解. , 综上所述,当且仅当 时,可得 . 【点睛】 解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件 灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化 的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果. 高考必刷 6 . 已知 α 是三角形的一个内角,且 sinα+cosα= ,那么这个三角形的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】B 【解析】(sinα+cosα)2= ,∴2sinαcosα=- <0, 又∵α∈(0,π),sinα>0.∴cosα<0,∴α 为钝角. 故选 B. 点睛:三角形的内角范围为: 同角三角函数关系: 7.在 中, A.锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 , . ,则这个三角形的形状为( ) B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 对不等式变形,利用两角和的余弦公式,求出 状. 【详解】 在 , 中, 的范围,即可判断三角形的形 , 三角形是钝角三角形,故选 B. 【点睛】 本题考查三角形的形状,两角和的余弦函数的应用,属于中档题.判断三角形状的 常见方法是:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角 形内角之间的关系进行判断;(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数 恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(3)确定

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