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扬州市2016-2017高一数学调研测试题目及答案

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扬州市 2016—2017 学年度第一学期期末调研测试试题

高 一 数 学
2017.1 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效.

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)

4? ▲ ? 3 2.计算: 2lg 2 ? lg 25 ?
1. tan

. ▲ . ▲
2 5 ,则 m ? 5

3.若幂函数 f ( x) ? x? 的图象过点 (4, 2) ,则 f (9) ? 4.已知角 ? 的终边经过点 P(2, m)(m ? 0) ,且 cos ? ?

. ▲ .

5.在用二分法求方程 x3 ? 2 x ? 1 ? 0 的一个近似解时,现在已经将一根确定在区间 (1, 2) 内,则下一 步可断定该根所在的区间为 ▲ . ▲ . cm2.

6.某扇形的圆心角为 2 弧度,周长为 4 cm,则该扇形面积为 7.若 a ? b ? 3 ,则代数式 a3 ? b3 ? 9ab 的值为
4 5



8.已知 a ? log 0.6 5 , b ? 2 , c ? sin1 ,将 a , b, c 按从小到大的顺序用不等号“<”连接为 ▲ .

2 9.将正弦曲线 y ? sin x 上所有的点向右平移 ? 个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原 3 1 来的 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象的函数解析式 y ? 3
▲ .

1 7 10.已知函数 f ( x) 为偶函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? ( ) x ,则 f ( ) ? 2 2 ▲ .
11.已知 f ( x) ?

ax2 ? x ? 1 在 [2, ??) 上是单调增函数,则实数 a 的取值范围为 x
D


E



12.如图所示,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 , AD ? 3 , E ? ? ?? 1 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 4 ,则 DA 是 边 CD 的 中 点 , D F ? , 若 A E ? B F? ? 3 sin ?BAD ? ▲ .

F

C

A
(第 12 题)

B

高一期末调研测试数学试卷 第 1 页(共 8 页)

?2 x ?1 ( x ? 1) ? 1 1 13.已知 f ( x) ? ? ,若对任意 ? ? [0, ] ,不等式 f (cos2 ? ? ? sin ? ? ) ? ? 0 恒成立, 2 3 2 3 x ? 2 ( x ? 1) ?

整数 ? 的最小值为





1 14.已知函数 f ( x) ? ln(a ? ) ( a ? R ).若关于 x 的方程 ln[(4 ? a) x ? 2a ? 5] ? f ( x) ? 0 的解集中 x
恰好有一个元素,则实数 a 的取值范围为 ▲ .

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | 2 ? x ? 7} , B ? {x | 0 ? log3 x ? 2} , C ? {x | a ? x ? a ? 1} . (1)求 A ? B , (CU A) ? B ; (2)如果 A ? C ? ? ,求实数 a 的取值范围.

16. (本题满分 14 分)

? ? ? 1 已知: ? 为第一象限角, a ? (sin(? ? ? ),1) , b ? (sin( ? ? ), ? ) . 2 2 ? ? sin ? ? 3cos? (1)若 a / / b ,求 的值; sin ? ? cos? ? ? (2)若 | a ? b |? 1 ,求 sin ? ? cos ? 的值.

高一期末调研测试数学试卷 第 2 页(共 8 页)

17. (本题满分 14 分) 某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为 P 和 Q (万元) ,它们与投入资金 m (万元)的

1 关系有经验公式 P ? m ? 65 , Q ? 76 ? 4 m .今将 150 万元资金投入生产甲、乙两种产品,并要 3 求对甲,乙两种产品的投资金额不低于 25 万元. (1)设对乙产品投入资金 x 万元,求总利润 y (万元)关于 x 的函数关系式及其定义域;
(2)如何分配使用资金,才能使所得总利润最大?最大利润为多少?

18. (本题满分 16 分) 已知函数 y ? 3sin(? x ? )(? ? 0) . 4 (1)若 ? ? ,求函数的单调增区间和对称中心; 4 (2)函数的图象上有如图所示的 A, B, C 三点,且满足 AB ? BC . ①求 ? 的值; ②求函数在 x ? [0, 2] 上的最大值,并求此时 x 的值.

?

?

高一期末调研测试数学试卷 第 3 页(共 8 页)

19. (本题满分 16 分)

ex ? 1 ( e 为自然对数的底数, e ? 2,71828? ) . ex ? 1 (1)证明:函数 f ( x) 为奇函数;
已知函数 f ( x) ?

3 (2)判断并证明函数 f ( x) 的单调性,再根据结论确定 f (m2 ? m ? 1) ? f (? ) 与 0 的大小关系; 4
(3)是否存在实数 k ,使得函数 f ( x) 在定义域 [a, b] 上的值域为 [kea , keb ] .若存在,求出实数 k 的 取值范围;若不存在,请说明理由.

20. (本题满分 16 分) 设函数 f ( x) ?| ax ? x2 | ?2b ( a , b ? R ) .

15 时,解方程 f (2 x ) ? 0 ; 2 (2)当 b ? 0 时,若不等式 f ( x) ? 2 x 在 x ? [0, 2] 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 a 为常数,且函数 f ( x) 在区间 [0, 2] 上存在零点,求实数 b 的取值范围.
(1)当 a ? ?2, b ? ?

高一期末调研测试数学试卷 第 4 页(共 8 页)

扬州市 2016—2017 学年度第一学期期末调研测试试题

高 一 数 学 参 考 答 案
1. 3 2.2 3.3 4. 1

2017.1

3 5. ( , 2) 2
10.
2 2

6. 1

7. 27 12.
15 4

8. a ? c ? b 13. 1

9. y ? sin(3x ? 14. (1, 2] ? {3, 4}

2π ) 3

1 11. [ , ??) 4

15.解: (1)由 0 ? log3 x ? 2 ,得 1 ? x ? 9 ∴ A ? B ? (1,9) ,

∴ B ? {x |1 ? x ? 9} , ............4 分 ............8 分 ............14 分

CU A ? (??, 2) ? [7, ??) , (CU A) ? B ? (1, 2) ? [7,9) ;

(2)? A ? C ? ? ∴ a ? 1 ? 2 或 a ? 7 ,解得: a ? 1 或 a ? 7 . ? ? 1 16.解: (1) a ? (sin(? ? ? ),1) ? (? sin ? ,1) , b ? (cos? , ? ) 2 ? ? 1 ? a / /b ∴ cos? ? sin ? ? 0 , 化简得: tan ? ? 2 (不求也可以) , 2

...........4 分 ...........7 分 ............11 分

sin ? ? 3cos? tan ? ? 3 ? ?5 sin ? ? cos? tan ? ? 1 ? ? 1 1 (2)? ∴ (? sin ? ? cos? )2 ? ? 1 ,则 sin ? cos? ? | a ? b |? 1 4 8


?(sin ? ? cos? )2 ? 1 ? 2sin ? cos? ?

5 4

5 ............14 分 2 17.解: (1)对乙产品投入资金 x 万元,则对甲产品投入资金( 150 ? x )万元;
? ? 为第一象限角 ? sin ? ? 0,cos ? ? 0 ,则 sin ? ? cos ? ?

1 1 所以 y ? P ? Q ? (150 ? x) ? 65 ? 76 ? 4 x ? ? x ? 4 x ? 191 , 3 3
?25 ? 150 ? x ? 150 ?? ,解得: 25 ? x ? 125 ,∴其定义域为 [25,125] ; ? 25 ? x ? 150

............5 分

............7 分

1 (2)令 t ? x ,则 t ?[5,5 5] ,则原函数化为关于 t 的函数: h(t ) ? ? t 2 ? 4t ? 191 , t ?[5,5 5] 3 .............10 分
所以当 t ? 6 ,即 x ? 36 时, ymax ? h(t )max ? h(6) ? 203 (万元) 答: 当对甲产品投入资金 114 万元, 对乙产品投入资金 36 万元时, 所得总利润最大, 最大利润为 203 万元. .............14 分 18.解: (1) y ? 3 sin( x ? ) . 4 4
高一期末调研测试数学试卷 第 5 页(共 8 页)

?

?

? 2k? ? x ? ? ? 2k? , k ? Z ,解得: ?3 ? 8k ? x ? 1 ? 8k , k ? Z 2 4 4 2 ∴函数的单调增区间为 [?3 ? 8k ,1 ? 8k ](k ? Z ) ; ? ?

?

?

?

?

.............4 分

?
4

x?

?
4

? k? , k ? Z

?x ? ? 1 ? 4k , k ?Z ∴函数的对称中心为 (?1 ? 4k ,0)(k ? Z ) .............8 分

( 2 ) ① 由 图 知 : 点 B 是 函 数 图 象 的 最 高 点 , 设 B( x0 , 3 ), 函 数 最 小 正 周 期 为 T , 则

??? ? T ??? ? 3T T 3T ,0), C( x0 ? ,0) ? AB ? ( , 3 BC ), ? ( ? , , 3) 4 4 4 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 2? ? ? AB ? BC ? AB ? BC ? T 2 ? 3 ? 0 ,解得: T ? 4 ?? ? ? . 16 4 2 A( x0 ?
②? x ? [0, 2]

............10 分 ............12 分

?

?
2

x?

?

? 5? ?[ , ] 4 4 4

? ? 2 ? s i n ( x ? ?) ? [ 2 4 2

, 1]

∴函数在 [0, 2] 上的最大值为 3 , 此时

............14 分

?

2 4 2 19.解: (1)函数 f ( x) 定义域为 R,
对于任意的 x ? R ,都有 f (? x) ? 所以函数 f ( x) 为奇函数. (2)在 R 上任取 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
?x

x?

?

?

?

? 2k? , k ? Z ,则 x ?

1 ? 4k , k ? Z ; ? x ? [0, 2] 2
x

?x ?

1 2

............16 分 .............1 分

e ?1 1 ? e ? ? ? f ( x) , e? x ? 1 1 ? ex
.............4 分

e x1 ? 1 e x2 ? 1 2(e x1 ? e x2 ) ? ? e x1 ? 1 e x2 ? 1 (e x1 ? 1)(e x2 ? 1)

? x1 ? x2 ? 0 ? e x1 ? e x2 ? e x1 ? e x2 ? 0, e x1 ? 1 ? 0, e x2 ? 1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )
? f ( x) 为 R 上的增函数

.............7 分

1 3 3 ? m2 ? m ? 1 ? (m ? )2 ? ? 2 4 4

3 ? f (m2 ? m ? 1) ? f ( ) 4
............10 分

3 3 3 3 ? f (m2 ? m ? 1) ? f (? ) ? f (m2 ? m ? 1) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0 . 4 4 4 4
(3)? f ( x) 为 R 上的增函数且函数 f ( x) 在定义域 [a, b] 上的值域 [kea , keb ]
? f (a ) ? ke a ∴k ? 0且? b ? f (b) ? ke

?

ex ? 1 ? ke x 在 R 上有两个不等实根; ex ? 1

.............12 分

令 t ? e x , t ? (0, ??) 且单调增,问题即为方程 kt 2 ? (k ? 1)t ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上有两个不等实根,

高一期末调研测试数学试卷 第 6 页(共 8 页)

?(k ? 1) 2 ? 4k ? 0 ? k ?1 ? ? 0 ,解得: 0 ? k ? 3 ? 2 2 . 设 h(t ) ? kt 2 ? (k ? 1)t ? 1 ,则 ? ? k ? ? ? h(0) ? 1 ? 0

.............16 分

20.解: (1)当 a ? ?2, b ? ?

15 时, f ( x) ?| x2 ? 2 x | ?15 ,所以方程即为: | 2x (2x ? 2) | ?15 ? 0 2
.............3 分

解得: 2 x ? 3 或 2 x ? ?5 (舍) ,所以 x ? log 2 3 ; (2)当 b ? 0 时,若不等式 x | a ? x |? 2 x 在 x ? [0, 2] 上恒成立;

当 x ? 0 时,不等式恒成立,则 a ? R ; .............5 分 当 0 ? x ? 2 时,则 | a ? x |? 2 在 (0, 2] 上恒成立,即 ?2 ? x ? a ? 2 在 (0, 2] 上恒成立,
?2 ? a ? 2 因为 y ? x ? a 在 (0, 2] 上单调增, ymax ? 2 ? a , ymin ? ?a ,则 ? ,解得: 0 ? a ? 2 ; ? ? a ? ?2

则实数 a 的取值范围为 [0, 2] ; .............8 分 (3)函数 f ( x) 在 [0, 2] 上存在零点,即方程 x | a ? x |? ?2b 在 [0, 2] 上有解;
? x 2 ? ax ( x ? a) 设 h( x ) ? ? 2 ?? x ? ax ( x ? a)
2 当 a ? 0 时 , 则 h( x) ? x , ) ? ax , x ? [0, 2 ] 且 h( x) 在 [0, 2] 上 单 调 增 , 所 以 h( x)m i n? h( 0?

, 0

h( x)max ? h(2) ? 4 ? 2a ,则当 0 ? ?2b ? 4 ? 2a 时,原方程有解,则 a ? 2 ? b ? 0 ;............10 分

? x 2 ? ax ( x ? a) a a 当 a ? 0 时, h( x) ? ? 2 , h( x) 在 [0, ] 上单调增,在 [ , a ] 上单调减,在 [a, ?? ) 上单 2 2 ?? x ? ax ( x ? a)

调增; ① 当

a ? 2 ,即 a ? 4 时, h( x)max ? h(2) ? 2a ? 4, h( x)min ? h(0) ? 0 ,则当 0 ? ?2b ? 2a ? 4 时,原方 2 程有解,则 2 ? a ? b ? 0 ; a a a2 a2 ,则当 0 ? ?2b ? 时,原 ? 2 ? a ,即 2 ? a ? 4 时, h( x)max ? h ( ) ? ,h (x )min ? h (0)? 0 2 2 4 4

② 当

方程有解,则 ?

a2 ?b ? 0; 8

a a2 ③ 当 0 ? a ? 2 时, h( x)max ? max{h( ), h(2)} ? max{ ,4 ? 2a}, h( x)min ? h(0) ? 0 , 2 4


a2 a2 a2 ,则当 0 ? ?2b ? 时,原方程有解,则 ? 4 ? 2a ,即则 ?4 ? 4 2 ? a ? 2 时, h( x)max ? 4 4 4 a2 ? ?b ? 0; 8

高一期末调研测试数学试卷 第 7 页(共 8 页)

a2 ? 4 ? 2a ,即则 0 ? a ? ?4 ? 4 2 时, h( x)max ? 4 ? 2a ,则当 0 ? ?2b ? 4 ? 2a 时,原方程有解, 4 则a?2?b?0 ; ...........14 分
当 综上,当 a ? ?4 ? 4 2 时,实数 b 的取值范围为 [a ? 2,0] ; 当 ?4 ? 4 2 ? a ? 4 时,实数 b 的取值范围为 [? 当 a ? 4 时,实数 b 的取值范围为 [2 ? a,0] .

a2 ,0] ; 8
.....................................16 分

高一期末调研测试数学试卷 第 8 页(共 8 页)


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