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【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何 热点专题突破五 解析几何的综合问题习题 理

时间:2016-05-24


热点专题突破五
1. (2015·重庆巴蜀中学三诊) 已知椭圆 C1:

解析几何的综合问题
=1(a>b>0)过点 A
,其焦距为 2,
2 2

已知 F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,P 为直线 x=2 上一点.直线 PF1,PF2 与圆 x +y =1 的另外 一个交点分别为 M,N.

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求证:直线 MN 恒过一定点. 1.【解析】(1)由题意知,c=1,左、右焦点坐标分别为 F1(-1,0),F2(1,0),

∴2a=|AF1|+|AF2|=

=2

,

∴椭圆的标准方程为

+y2=1.

(2)设 P(2,t),直线 PF1:y= 即(t +9)x +2t x+t -9=0,
2 2 2 2

(x+1),由

得 9x +t (x +2x+1)=9,

2

2

2

∴-1·xM=

,∴xM=

,∴M

.

同理可得 N

,∴kMN=

,直线 MN 的方程为 y-

,即

y-

x+

=0,

∴y-

=0,

∴直线 MN 恒过定点 T

.

1

2. (2014·湖南高考) 如图,O 为坐标原点,椭圆 C1:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为

F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2:

=1 的左、 右焦点分别为 F3,F4,离心率为 e2.已知 e1e2=

,

且|F2F4|=

-1.

(1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四 边形 APBQ 面积的最小值. 2.【解析】(1)因为 e1e2= ,所以 ,

即 a -b = a ,因此 a =2b ,从而 F2(b,0),F4(

4

4

4

2

2

,0),

于是

-b=|F2F4|=

-1,所以 b=1,a2=2,

故 C1,C2 的方程分别为

+y2=1,

-y2=1.

(2)因 AB 不垂直于 y 轴,且过点 F1(-1,0),故可设直线 AB 的方程为 x=my-1. 由 得(m2+2)y2-2my-1=0.

易知此方程的判别式大于 0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2 是上述方程的两个实根,所以

y1 +y2=

,y1y2=

.

因此 x1+x2=m(y1+y2)-2=

,于是 AB 的中点为 M

,

2

故直线 PQ 的斜率为- ,PQ 的方程为 y=- x.即 mx+2y=0.



得(2-m )x =4,所以 2-m >0,且 x =

2

2

2

2

,y =

2

,从而

|PQ|=2

=2

.

设点 A 到直线 PQ 的距离为 d,则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d,所以 2d= 因为点 A,B 在直线 mx+2y=0 的异侧, 所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0, 于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|. 从而 2d=

.

.

又因为|y1-y2|=

,所以

2d=

.

故四边形 APBQ 的面积

S= |PQ|·2d=
2

=2

.

而 0<2-m ≤2,故当 m=0 时,S 取得最小值 2, 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2. 3. (2014·江西高考) 如图,已知双曲线 C:

-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的两

条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

(1)求双曲线 C 的方程;

3

(2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l:

-y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交

于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时,

恒为定值,并求此定值.

3.【解析】(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c=

,直线 OB 方程为 y=- x,直线 BF 的方

程为 y=

(x-c),解得 B

.

又直线 OA 的方程为 y= x,

则A

,kAB=

.

又因为 AB⊥OB,所以 ·

=-1,解得 a2=3,故双曲线 C 的方程为

-y2=1.

(2)由(1)知 a=

,则直线 l 的方程为:

-y0y=1(y0≠0),即 y=

.

因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点 M

;

直线 l 与直线 x= 的交点为 N

.



因为 P(x0,y0)是 C 上一点,则

=1,代入上式得

,所求定值为

.

4. (2015·金丽衢十二校联考) 已知动圆 Q 过定点 F(0,-1),且与直线 l:y=1 相切,椭圆 N 的对 称轴为坐标轴,O 点为坐标原点,F 是其一个焦点,又点 A(0,2)在椭圆 N 上.

4

(1)求动圆圆心 Q 的轨迹 M 的标准方程和椭圆 N 的标准方程; (2)若过 F 的动直线 m 交椭圆 N 于 B,C 点,交轨迹 M 于 D,E 两点,设 S1 为△ABC 的面积,S2 为△ODE 的面积,令 Z=S1S2,试求 Z 的最小值. 4.【解析】(1)依题意,由抛物线的定义易得动点 Q 的轨迹 M 的标准方程为 x =-4y, 依题意可设椭圆 N 的标准方程为
2

=1(a>b>0),

显然有 c=1,a=2,∴b=

,

∴椭圆 N 的标准方程为

=1. ①

(2)显然直线 m 的斜率存在,不妨设直线 m 的直线方程为 y=kx-1, 联立椭圆 N 的标准方程

=1,得(3k2+4)x2-6kx-9=0,

设 B(x1,y1),C(x1,y2),则有|BC|=

|x1-x2|=

,

又 A(0,2)到直线 m 的距离 d1=

,

∴S1= |BC|d1=

;
2 2

再将①式联立抛物线方程 x =-4y,得 x +4kx-4=0, 同理易得|DE|=4(1+k2),d2= ,

∴S2=2

,

∴Z=S1S2=

=12

≥12

=9,当 k=0 时,等号成立.
5

故当 k=0 时,Zmin=9. 5. (2015·泰州一模) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,离心率为 的椭圆 C:

=1(a>b>0)的左顶点为 A,过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 PA,QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点.若直线 PQ 斜率为
时,PQ=2

.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论. 5.【解析】(1)设 P ,

∵直线 PQ 斜率为

时,PQ=2

,∴

=3,解得

=2.



=1,

∵e=

,∴a2=4,b2=2.

∴椭圆 C 的标准方程为

=1.

(2)以 MN 为直径的圆过定点 F(±

,0).

设 P(x0,y0),则 Q(-x0,-y0),且

=1,即

+2

=4,

∵A(-2,0),∴直线 PA 方程为 y=

(x+2),∴M

,

同理,直线 QA 方程为 y=

(x+2),∴N

, 6

以 MN 为直径的圆为(x-0)(x-0)+

=0,

即 x2+y2-

y+

=0,



-4=-2

,∴x2+y2+

y-2=0,

令 y=0,解得 x=±

,

∴以 MN 为直径的圆过定点 F(±

,0).

6. (2015·济宁模拟) 平面内动点 M(x,y)与两定点 A(-

,0),B(

,0)的连线的斜率之积

为- ,记动点 M 的轨迹为 C. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)定点 F(-2,0),T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交曲线 C 于点 P,Q. (ⅰ)证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); (ⅱ)当 最小时,求点 T 的坐标.

6.【解析】(1)由已知可知 kMA·kMB=

=- ,

所以动点 M 的轨迹 C 的方程是

=1(y≠0).

(2)(ⅰ)设 T 点的坐标为(-3,m),则直线 TF 的斜率 kTF=

=-m.

当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= ,直线 PQ 的方程是 x=my-2, 当 m=0 时,PQ 的方程是 x=-2,也符合上述方程.

7

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程 x=my-2 与椭圆 C 的方程联立得 消去 x,得(m +3)y -4my-2=0, 其判别式 Δ =16m +8(m +3)>0, 所以 y1+y2= ,y1y2= ,
2 2 2 2

x1+x2=m(y1+y2)-4=

,

所以 PQ 的中点 N 的坐标为

,

所以直线 ON 的斜率 kON=- .

又直线 OT 的斜率 kOT=- ,所以点 N 在线段 OT 上, 因此 OT 平分线段 PQ. (ⅱ)由(ⅰ)可得|TF|= ,

|PQ|=

=

=

=

,

所以

=

8



,

当且仅当 m2+1=

,即 m=±1 时,等号成立.

所以当

最小时,T 点的坐标是(-3,1),(-3,-1).

9


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