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三角函数常考题型汇总

时间:2016-12-15


三角函数

??x ? ? ? y ? As i n

一、选择题: 1. “ x ?

?
4

”是“函数 y ? sin 2 x 取得最大值”的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (





A.充分不必要条件 C.充要条件

2.在 ?ABC 中,如果 sin A ? 3 sin C , B = 30? ,那么角 A 等于 A. 30
?



B. 45 °
2

C. 60 °

D. 120° ( )

3.函数 y ? 1 ? 2sin ( x ?

?
4

)是
B. 最小正周期为 ? 的奇函数 D. 最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的偶函数 C. 最小正周期为 4. sin 225? ? ( A.1

? 的偶函数 2
) B. ?1

? 的奇函数 2
2 2

C.

D. ?

2 2

5. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 cos 积等于( ) A、 2 5 B、4

A 2 5 , bc ? 5 ,则 ?ABC 的面 ? 2 5

C、 5

D、 2

9.下列函数中,周期为 ? 的偶函数是 A. y ? cos x C. y ? tan x B. y ? sin 2 x D. y ? sin(2 x ?

?
2

)

10.函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是

,最大值是



11.为了得到函数 y ? sin x ? cos x 的图像,只需把 y ? sin x ? cos x 的图象上所有的点

? ? 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度 4 4 ? ? (C)向左平移 个单位长度 (D)向右平移 个单位长度 2 2
(A)向左平移
.u.c.o .u.c.o

.u.c.o

12.已知函数 y ? sin ? ?x ? ?? (? ? 0, 0 ? ? ? ) 的部分图象如图所示,则点 P ? ?, ? ? 的坐标为

? 2

y

1
? 3 1 ? (C) ( , ) 2 3
(A) (2, )

?1 π π 1 13.已知 ? ? ( , π ) , tan(? ? ) ? ,则 sin ? ? cos ? ? 2 4 7
14.函数 y ? cos2 x ? 1 在下列哪个区间上为增函数(B) (A) [0,

? 6 1 ? (D) ( , ) 2 6
(B) (2, )

o

? 3

5? 6

x



π ] 2

(B) [ , π ]

π 2

(C) ?0, π?

(D) ? π, 2π?

15.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点

4 ,则 cosα= . 5 5 ? 3? ? ) ,则 tan( ? ? ) 的值是 16.已知 sin ? ? ,? ? ( , 13 2 2 4 7 17 7 17 A. - B. - C. D. 17 7 17 7 3 ? 的 值为 17 .已 知 ? 是 第二 象 限角, 且 sin(? ? ? ) ? ? , 则 ta n 2 5
A, 点 A 的纵坐标为 ( A. )

y A

?
O A x

4 23 24 8 B. ? C. ? D. ? 5 7 3 7

18.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为

a , b , c ,且 b2 ? c 2 ? bc ? a 2 ,则角 A 的大小
为________.

19. △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 c ? 2,b ? 6,B ? 120 ,则
?

a?
20.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是三个内角 A, B, C 的对边, 若 a ? 1 ,b ? 则 sin A ? 。

2 ,cos B ?

1 , 3

21. ?ABC 中的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 tan A ?

1 ,C ? 150 °, a ? 1 ,则 3

c=

。 。 .

22.已知 tan ? ? cos ? ,那么 sin ? 的值是

23.在 ?ABC 中,AB=3,BC= 13 , AC =4,则 ? A =_____, ?ABC 的面积是

( x ? ? ) ,? (? 24. 已 知 函 数 y ? s i n ?
图,

0 ? , | ? | 的)简 图 如 下 2

?



? 的值为 ?
? 6
B.

A.

6

?

C.

? 3

D.

3

?

三角恒等变换求值问题
1.已知 tan

?
2

=2,求

(I) tan(? ?

?
4

) 的值; 1 ? sin 2 x cos x

(II)

6sin ? ? cos ? 的值 3sin ? ? 2 cos ?

2.已知函数 f(x)=

(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)设α 是第四象限的角,且 tan ? = ?

4 ,求 f( ? ) 3

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 . 3.已知函数 f ( x) ? cos x
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)设 ? 的第四象限的角,且 tan ? ? ? 4.已知 ? 为锐角,且 tan( (I)求 tan ? 的值; (II)求

?

?
4

4 ,求 f (? ) 的值 3

??) ? 2 。

sin 2? cos ? ? sin ? 的值。 cos 2? x x x 2 x ? cos 2 (a ? R ). 5.已知函数 f ( x) ? 2a sin cos ? sin 2 2 2 2
(I)当 a=1 时,求函数 f ( x) 的最小正周期及图象的对称轴方程式; (II)当 a=2 时,在 f ( x) ? 0 的条件下,求
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6. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴为始边作两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与

cos 2 x 的值. 1 ? sin 2 x

5 7 2 , 单位圆交于 A, B 两点.已知 A, B 的横坐标分别为 . 5 10
(Ⅰ)求 tan(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)求 2? ? ? 的值.

y

A

?

?

B

O

x

7.已知 cos ? ?

1 13 π , cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? 。 7 14 2

(Ⅰ)求 tan 2? 的值; (Ⅱ)求 ? 。

求最值(值域)问题
一、主要方法及注意点: 1.求值域或最值的常用方法有: (1)化为一个角的同名三角函数形式,利用函数的有界性 或单调性求解; (2)将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式,利用配方法或图象 法求解; (3)借助直线斜率的关系用数形结合法求解; (4)换元法。 2.要注意的问题有: (1)注意题设给定的区间; (2)注意代数代换或三角变换的等价性; (3)含参数的三角函数式,要重视参数的作用,很可能要进行讨论。 1.已知函数 f ( x) ? sin (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3 2.已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? 3.已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ?
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

2

? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2
?

? ?

π?

? 2π ? ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

?
3

) ? sin 2 x ? cos 2 x.

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期及图象的对称轴方程; (II)设函数 g ( x) ? [ f ( x)] ? f ( x), 求 g ( x) 的值域.
2

4.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图象经过点 ( (I)求实数 a、b 的值; (II)若 x ? [0,

?

,0), ( ,1). 6 3

?

?
2

] ,求函数 f ( x) 的最大值及此时 x 的值.

5.已知函数 f ( x) ? (cosx ? sin x) ? 3 cos2x ? 1 . (1)求 f ( x) 的最小正周期 和图象的对称轴方程;

(2)求 f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值。
2

6. 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? cos x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [0,

1 . 2

?
2

] 上的最大值和最小值及相应的 x 值.

2 2 7.已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? 2sin x cos x .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? ? ?

? ? ?? 时,求函数 f ( x ) 的最大值,并写出 x 相应的取值. , ? 4 4? ?

8.已知函数 f ( x ) ? 2 cos x sin(

?
2

? x) .

(1)求 f ( x) 的最小正周期;

] 上的最大值和最小值。 3 ? ? ? ? 9.已知向量 m ? (sin A,cos A), n ? (1, ?2) ,且 m ? n ? 0. 6
(Ⅰ)求 tanA 的值;(Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x( x ?R)的值域。

(2)求 f ( x) 在区间 [

? 2?
,

10. 已知函数 f ( x ) ? cos( x ? ) . (Ⅰ)若 f (? ) ?

π 4

7 2 ,求 sin 2? 的值; 10 ? ? ?? ? π π? ? ,求函数 g ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. 2? ? 6 3?

(II)设 g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ?

求单调区间
1.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ? ) 的图象如图所示. (Ⅰ)求 ?,? 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4 2.设函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

?

?
6

) ? sin 2 x .

(I) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(II) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 AB=1,sinB=

1 C 3 , f ( )= ,求 AC 的长. 3 2 2

3. 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ?
(III)

?
8



(Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f ( x) 在区 间 [0, ? ] 上的图像。

4.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a、b、c,a ? 2 3,b ? 2 , cos A ? ? (I) 求角 B 的大小; (Ⅱ)若 f ( x) ? cos 2 x ? c sin 2 ( x ? B) ,求函数 f ( x ) 的最小正周期和单增区间.

1 . 2

三角函数与向量
1.已知向量 a ? (sin x, cos x) , b ? (cos x,sin x ? 2cos x) , 0 ? x ? (Ⅰ)若 a ∥ b ,求 x ; (Ⅱ)设 f ( x) ? a ? b , (1) 求 f ( x ) 的单调增区间; (2) 函数 f ( x ) 经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数? 2. 已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? (a, b) ,

?
2

.

??

? n?( s i B n

? ? , , s A ip n ? () b ? 2, a ? 2) .
??
??

(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形;

?

? ,求Δ ABC 的面积 . 3 ? ??? ? A 2 5 ??? 3.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos ? , AB ? AC ? 3 . 2 5
(2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

? ?

已知向量 a ? (cos ? ,1) , b ? (?2,sin ? ) , ? ? (? , (Ⅰ)求 sin ? 的值; (Ⅱ)求 tan(? ? 4. 已知向量 a =(cos

3? ) ,且 a ? b . 2

?
4

) 的值.

?

? x x 3 3 ? sin ),且 x∈[0, ]. x,sin x), b =( ? cos , 2 2 2 2 2

(1)求 a ? b

?

? ? ?

(2)设函数 f ( x ) ? a ? b + a ? b ,求函数 f ( x) 的最值及相应的 x 的值

? ?

5.

已 知

3 x 3 x x x a ? (cos , ? cos ), b ? ( ? cos , sin ), 2 2 2 2 2 2
?



a ∥ b.



1 ? 2 cos(2 x ? ) 4 的值. sin(x ? ) 2 ? ? 6. 已知向量 a = ( 3 ,2), b =( sin 2?x,? cos2 ?x) , ( ? ? 0) 。 ? ? (1)若 f ( x) ? a ? b ,且 f ( x) 的最小正周期为 ? ,求 f ( x) 的最大值,并求 f ( x) 取得 最大值时 x 的集合; ? ? (2)在(1)的条件下, f ( x) 沿向量 c 平移可得到函数 y ? 2 sin 2 x, 求向量 c 。
7. 已知在 ?ABC 中,三条边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C ,向量 m ? ( sinA, co sA) ,
? ?

?

n ? (cosB, sin B) 且满足 m? n ? sin 2C 。
? ? ?

? ?

(1)求角 C 的大小; (2)若 sin A, sin C, sin B 成等比数列,且 CA? ( AB? AC) ? 18 ,求 c 的值。 8.在△ ABC 中,已知 sin( A ? B) ? sin B ? sin( A ? B) . (Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 | BC | ? 7 , AB ? AC ? 20 ,求 | AB ? AC | .

??? ?

??? ? ??? ?

图像问题
1. 右图为 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象的一段,求其解析式。

2. 已 知 函 数

f

? ?x?
?

sA i?? n ? ?x ?

? , x( 其R中

A?0 ? ,?

?0 ,? ? ? ), 2 2
y 1

?

其部分图象如图所示.

O

? 4

? 2

x

(I)求 f ? x ? 的解析式; (II)求函数 g ( x ) ? f ( x ?

?
4

) ? f (x ?

?

? ?? ) 在区间 ?0, ? 上的 4 ? 2?

最大值及相应的 x 值.

3.已知函数 f(x)= A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, ? ? 0, 0 ? ? ? (Ⅰ)求 A,?及?的值; (Ⅱ)若 tan?=2, ,求 f (? ?

?
2

)的图象如图所示。

?
8

) 的值。

4.









f (x ?

x

)

?
2

?x ?

? 2 ?x

x? s

?
2

?x

xi

n

c

(1)求函数 y ? f ( x) 的最小正周期和最值; (2)指出 y ? f ( x) 图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。 5.已知函数 f ( x) ? ( 3 sin ? x ? cos ? x) cos ? x ? (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)画函数 f(x)在区间[0, ? ]上的图象; (3)将函数 f ( x ) 图象按向量 a 平移后所得的图象关于原点对称,求向量 a 的坐标(一个即 可) . 6.已知函数 f ( x) ? (sin2x ? cos2x)2 ? 2sin 2 2x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图象是由 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单位长度得到的,当 x ?[ 0 ,

1 ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . 2

?

?

? 个单位长度,再向上平移 1 8

? ]时,求 y ? g ( x) 的最大值和最小值. 4

解三角形(正弦定理与余弦定理)
1.在 ? ABC 中, A, B 为锐角,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,且

3 10 cos 2 A ? ,sin B ? 5 10
(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a, b, c 的值。

2.在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?

3.在△ ABC 内, a , b, c 分别为角 A, B, C 所对的边, a , b, c 成等差数列,且 a ? 2c . (I)求 cos A 的值; (II)若 S ?ABC ?
3 15 ,求 b 的值. 4

4.在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A



AC 的取值范围为

.
2 2

5.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且

sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积;

? ??? ? A 2 5 ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , cos A ? (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 ac ? 24 ,求 a , c 的值. 8. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 9.在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。

3 , C ? 2A . 4

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

(Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。
3 2 , b ? ac , 2

10.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, cos( A ? C ) ? cos B ? 求 B. 11.)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 12.如图所示,在△ABC,已知 AB ? 求: (1)BC 的长度; (2) sin A 的值。

1 . 3

6 4 6 , cos B ? ,AC 边上的中线 BD ? 5 , 6 3

13. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 0=2,cosB= (1)若 b=3,求 sinA 的值; (2)若△ABC 的面积 S ?ABC =3,求 b,c 的值. 14. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

4 . 5

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 . 5

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

15.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分虽为 a, b, c ,且 a, c 2 . cos C ? (1)求 sin( A ? B) 的值; (2)求 sin A 的值; (3)求 CB ? CA 的值。 16.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 满足 sin (Ⅰ)求 bc 的值; (Ⅱ)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值. 17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, C ?

3 。 4

A 5 ? , ?ABC 的面积为 2. 2 5

?
3

, b ? 5 , ?ABC 的面积为 10 3 .

(Ⅰ)求 a , c 的值; (Ⅱ)求 sin( A ? ) 的值. 6 18.已知 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (Ⅰ)求 ? A 的度数; (Ⅱ)若 cos? A ? C ? ? cos B ? 且 AB ? AC ? 0 . 3b ? 2a ? sin B ,

?

3 , a ? 6 ,求 ?ABC 的面积. 2

19. 已 知 ?A B C 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , ? A 是 锐 角 , 且

3b ? 2a ? sin B .
(Ⅰ)求 ? A 的度数;
2 2 (Ⅱ)若 a ? 7 , ?ABC 的面积为 10 3 ,求 b ? c 的值.

20.如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待 营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ,相距 10 海里 C 处的乙船. (Ⅰ)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; (Ⅱ) 设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援, 其方向与 CA 成 ? 角, 求 f ?x ? ? sin ? sin x ? cos ? cos x ? x ? R ? 的值域.
2 2
?



A 21. 如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形, ∠ACB=90°,BD 交 AC 于 E,AB=2。 (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE。 10 ?C

20

B ?

22. 在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且

cos B b ?? cos C 2a ? c 。
(1)求角 B 的大小;

(2)若 b ? 13, a ? c ? 4 ,求 a 的值。 23. 已知△ABC 三内角 A、B、C 所对的边 a,b,c,且 (1)求∠B 的大小; (2)若△ABC 的面积为

a2 ? c2 ? b2 c ? . 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

3 3 ,求 b 取最小值时的三角形形状. 4

在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? 的形状.

x x x 3 3 sin cos ? cos 2 ,当 f ( B ) 取最大值 时,判断△ ABC 2 2 2 2
2

i n 24.在 ?ABC 中, 角 A ,B ,C 所对应的边分别为 a ,b ,c , 且 4s
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值.

A? B c o ? s2 2

C?

7 . 2

25.在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,且 A , B , C 成等差数列. (Ⅰ)若 b =

13 , a = 3 ,求 c 的值;

(Ⅱ)设 t ? sin A sin C ,求 t 的最大值.


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