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郑州市13-14高二上期期末数学(理科)试题(必修5+选修2-1)

时间:2016-12-28

郑州市 2013-2014 学年上期期末考试 高二数学(理)试题卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 若 x , y ? R ,则 x , y ? 1 是 x 2 ? y 2 ? 1 成立的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

1 A. 2

3 B. 2

2 C. 2

3 D. 4

④命题“若 ? p ,则 q ”的逆否命题是“若 p ,则 ? q ”。 其中正确命题的序号是 16. 如图, 椭圆 .

9. 设等差数列 ?an ?的公差 d ? 0 , a1 ? 4d ,若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项, 则k = A. 3 或 6 B.3 C. 3 或 9 D.6

2 x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率 e ? , 左焦点为 F,A, B ,C 2 3 a b


为其三个顶点, 直线 CF 与 AB 交于点 D, 则 tan ?BDC 的值等于

10. 在 ?ABC 中,角 A, B ,C 所对的边分别为 a ,b , c ,若

3?a cos B ? B cos A? ? 2c sin C ,a ? b ? 4 ,且 ?ABC 的面积的最大值为
3 ,则此时 ?ABC 的形状为
A. 锐角三角形 B.直角三角形 C. 等腰三角形 D. 正三角形

D A F

B

y O

x

2. 已知抛物线 y 2 ? 12x 上一点 P 到 y 轴的距离为 6,则点 P 到焦点的距离 为 A. 7 B.8 C. 9 D. 10

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程 或验算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知命题 p :“不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对任意 x ? R 恒成立”,命题 q :“方程
2

C

72 ? 3n 11. 已知等差数列 ?an ?的通项公式为 an ? ,设 4
n 的值是 ( ) An ? ?an ? an?1 ??? an?14 ? n ? N ? ,则当 | an | 取得最小值时, A. 17 B.16 C. 15 D. 13

2, 4?,B ? 2, 0, 2? 3. 空间四边形 ABCD 的各顶点坐标分别是 A? 0, C ?1 , ?11 ,, , , ? D ? ?131 ? ,E,F 分别是 AB 与 CD 的中点,则 EF 的长为
A.

?

?

5

B.

6

C. 2 2

D. 3

12. 抛物线 C1:y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 恰好是双曲线

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在x轴上的椭圆”,若 p ? q 为真命题,? p 为真,求 4 a ?1
实数 a 的取值范围.

4. 设数列 ?an ?? , bn ?都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7,a3 ? b3 ? 21, 则 a5 ? b5 ? A. 35
2 2

x2 y 2 C2: 2 ? 2 ? 1?a ? 0,b ? 0? 的右焦点,且它们的交点的连线过点 F,则双 a b
曲线的离心率为 A.

B. 38

C. 40

D. 42

5. 不等式 x ?ax ? 6a ? 0?a ? 0? 的解集为 A. ?? ?,?2a ? ? ?3a ,??? C. B.

2 ?1

B. 3 ? 1

C. 3

D. 5 ? 1

?? 2a ,3a ?

第 II 卷 (非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 已知数列 ?an ?为等比数列,a3 ? 4, a6 ? 32 , 则

?? ?,3a ? ? ?- 2a ,???
2 2

D. ?3a ,?2a ?

6. 双曲线 x ? my ? 1的一个焦点坐标为

? 5 ,0?,则双曲线的渐近线方程为
D. y ? ?4 x

1 A. y ? ? x 4

1 B. y ? ? x 2

C. y ? ?2 x

S6 ? S3



18. (本小题满分12分) 在 ?ABC 中, a ,b , c 分别是角A,B,C的对边,且满足 (I)求角B的大小;

14. 在 ?ABC 中, a ,b , c 分别是角A,B,C的对边,且

a?c b?a ? . a?b c

? x ? y ? 1, ? 7. 设变量 x , y 满足 ? x ? y ? 0 , 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 , ?
A. 2 B. 4 C. 6 D. 以上均不对
0

a ? 2,b ? 7 , B ? 600 ,则 ?ABC 的面积为
15. 已知命题:



( II )若 ?ABC 最大边的边长为 14 ,且 sin A ? 2 sin C ,求最小边长.

① p , q 为两个命题,则“ p且 q 为真”是“ p或q 为真”的必要不充分条件;
? ②若 p 为: ?x ? R, x ? 2 x ? 0 ,则 p 为: ?x ? R , x ? 2 x ? 0 ;
2 2

a ,b , c 是角A, A ? 45 , 8. 在 ?ABC 中, B, C的对边, 若 a ,b , c 成等比数列,


b sin B ? c

③命题 p 为真命题, 命题 q 为假命题, 则命题 p ?

? q?,? p?? q 都是真命题;
? ?

19. (本小题满分 12 分) 某公司欲建连成片的网球场数座,用 288 万元购买土地 20000 平方米,每座 球场的建筑面积为 1000 平方米,球场每平方米的平均建筑费用与所建的球 场数有关,当该球场建n座时,每平方米的平均建筑费用 f ?n ? 表示,且

21. (本小题满分12分) 已知数列 ?an ?前 n 项和 S n = n ? 4n ( n ? N ), 数列 ?bn ?为等比数
2 ?

22. (本小题满分12分) 已知椭圆

列,首项 b1 =2,公比为 q (q>0) 且满足 b2 , b3 ? 4q , b4 为等差数列。 (I)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; ( II )设 cn ?

x2 y 2 c 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 椭圆的的一个顶点和 ? 2 a b a 2 ,

两个焦点构成的三角形的面积为 4, (I)求椭圆 C 的方程; ( II )已知直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 交于 A, B 两点,若点 M(

? n-5? ,又知建 5 座球场时,每平方米的平均建 f ?n ? ? a?1 ? ? (其中 n ? N ) 20 ? ?
筑费用为 400 元. (I)为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地 费用之和) ,公司应建几座网球场? ( II )若球场每平方米的综合费用不超过 820 元,最多建几座网球场?

3 ? an ? 3? bn ? 记数列 n ? 3n ?cn ? 的前 n 项和为 Tn,,求 Tn。 4 ,

11 , 4

???? ???? 0) ,求证 MA ? MB 为定值.

20. (本小题满分12分) 如图,已知三棱锥 ABC ? A1B1C1 的侧棱与地面垂 AA 1 ? AB ? AC ? 2 ,

AB ? AC , M、N 分别是 CC1,BC 的中点,点 P 在线段 A1B1 上,且

A1P ? ? A1B1 ,
(I)证明:无论 ? 取何值,总有 AM ? PN . ( II )当 ? ?

?

?

1 时,求平面 PNM 与平面 ABC 所成二面角的余弦值. 2

2013—2014 学年上期期末考试

y ? f ( n) ?

2880 144 ? 20(n ? ) ? 300 ? 20 ? 2 144 ? 300 ? 780 (元). n n

(Ⅱ)∵ cn ?

3 ? an ? 3? bn ? n ? 3n 4

高二数学(理科)

参考答案

当且仅当 n =12 时 等号成立.所以当建成 12 座球场时,每平方米的综合费
[来源 :www.shulihua.net]

∴ Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? n ? 3n …………①

用最省.……………8 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分, 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 A 5 D 6 C 7 A 8 C 9 B 10 C 11 B 12 A
t] [ 来 源 :www.shulihua.ne

(II )由题意得 20 ( n ?

144 ) ? 300 ? 820 ,即 n2 ? 26n ? 144 ? 0 , n

3?Tn ?

1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 33 ? ?? n ? 3n?1 …………………②

由①- ②得: ?2 ? Tn ? 3 ? 32 ? 33 ? ?? 3n ? n ? 3n?1

解 得: 8 ? n ? 18 .所以最多建 18 个网球场.…………………12 分 20.解:以 A 为 坐标原点,分别以 AB, AC, AA1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐 标系,则 A1(0,0,2) ,B1(2,0,2) , M(0,2,1) ,N(1,1,0) ,

3(3n ? 1) (1 ? 2n) ? 3n ?1 ? 3 n ?1 ? ? n?3 ? 3 ?1 2
(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 ∴ Tn ? ………………………12 分 4
22.解(Ⅰ)因为

二、填空题:本大 题共 4 小题,每小题 5 分 13. 9; 14.

3 3 ; 2

15. ②;

16. 5 5.

???? ???? ? A1P ? ? A1B1 ? ?(2,0,0) ? (?,0,0),

[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: p 为真: ? ? a ? 4 ? 0,?2 ? a ? 2 ;
2

??? ? A P ? AA 1? A 1P ? (?,0,2) , PN ? (1 ? ?,1, ?2).
(Ⅰ)∵ AM ? (0,2,1) ,∴ AM ? PN ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 . ∴无论 ? 取何值, AM ? PN . (II ) ? ? ………………………5 分

x2 y 2 c 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b2 ? c 2 , ? , 2 a b a 2

q 为真: 0 ? a ?1 ? 4,?1 ? a ? 5. ………………4 分
因为 p ? q 为真 命题, ? p 为真,所以 p 假 q 真,

x2 y2 1 ? b ? 2c ? 4 .解得 a 2 ? 8, b 2 ? 4 ,则椭圆方程为 ? ? 1 .…4 分 2 8 4
(Ⅱ) 把 直 线

y ? k ( x ? 1)

















?a ? ?2或a ? 2, 所以? ? 2 ? a ? 5. 则 a 的取值范围是 ?2,5? .……10 分 ?1 ? a ? 5,
18.解: (Ⅰ)由

a?c b?a ? 整理得 (a ? c)c ? (b ? a)(a ? b) , a?b c
2 2

1 时, P(1,0,2), PN ? (0,1,?2) , PM ? (?1,2,?1) . 2 ? 而面 ABC的法向量 n ? ? 0,0,1? ,设平面 PMN 的法向量为 n1 ? ( x, y,1) ,

2 ( k2 ?

x 12 ? )

k2 4 ? x

2

k ? 2

? 8

0 ,

[来源:www.shulihua.net]

a2 ? c2 ? b2 ac 1 ?? ?? , 即 ac ? c ? b ? a , ∴ cos B ? 2ac 2ac 2
2

[来源:www.shulihua.net]

?? ???? ? ? ?n1 ? PM ? ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 则 ? ?? ??? ? n1 ? (3,2,1) , ? n ? PN ? y ? 2 ? 0, ? ? 1

2k 2 ? 14k 2 ? 8 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 解得 x1, 2 ? , 2k 2 ? 1
x1 ? x2 ? 4k 2 2k 2 ? 8 , x x ? , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ? (Ⅱ) ∵B ?

2? ,∴最长边为 b ? 14 , ∵ sin A ? 2 sin C , ∴ a ? 2c , 3 1 2 2 2 ∴ c 为最小边,由余弦定理得 ( 14 ) ? 4c ? c ? 2 ? 2c ? c ? (? ) ,解 2
∴c ?

2? . 3

…………………6 分

?? ?? ? n1.n 14 设 ? 为平面 PNM 与平面 ABC 所成锐二面角,? cos a ? ?? ?? . ? ? 14 n1 . n
所以平面 PNM 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值是 21.解(Ⅰ)当 n=1 时, a1 ? S1 ? 5 .
2 当 n≥2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? 4n ? ? n ? 1? ? 4 ? n ? 1? ? 2n ? 3 , 2

???? ???? MA ? MB =

14 . ………12 分 14

得c ? 2,
2

11 11 11 121 , y1 ) ? ( x2 ? , y2 ) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 4 4 4 16 11 121 2 2 2 = (k ? 1) x1 x 2 ? ( ? k )( x1 ? x 2 ) ? k ? 4 16 ( x1 ?
= (k ? 1)
2

2 ,即最小边长为 2 . …………… …………12 分

19. 解 : (Ⅰ) 设 建 成 n 个 球 场 , 则 每 平 方 米 的 购 地 费 用 为

验证 n ? 1 时也成立.∴数列 ?an ? 的通项公式为: an ? 2n ? 3



2k 2 ? 8 11 2 4k 2 121 ?( ?k ) 2 ? k2 ? 2 4 16 2k ? 1 2k ? 1

288? 104 2880 ? , 1000n n
由 题 意 知 n ? 5, f (n) ? 400 , 则 f (5) ? a(1 ?

∵ b2 , b3 ? 4q, b4 成等差数列, b1 ? 2. 所以 2(b3 ? 4q) ? b2 ? b4 ,即

? 16k 2 ? 8 121 7 ? ?? , = 2 16 16 2k ? 1
???? ???? 7 所以 MA ? MB 为定值 ? .………………………12 分

5?5 ) ? 400 , 所 以 20

q2 ? 2q ? 3 ? 0 ,
因为 q ? 0,? q ? 3. ∴ ?

16

a ? 400 .
所以 f (n) ? 400 (1 ?

n?5 ) ? 20 n ? 300 ,从而每平方米的综合费用为 20

?q ? 3 ∴数列 ?bn ? 的通项公式为: b ? 2 , ?1

bn ? 2 ? 3n?1 ………6 分


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