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安徽省长丰县高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和(2)教案新人教A版必修5

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2.3.2 项目 2.3.2 课题 等差数列的前 n 项和(二) 内容 等差数列的前 n 项和(二 修改与创新 (共 1 课时) 一、知识与技能 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式; 2.了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题; 3.会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值 二、过程与方法 1.经历公式应用的过程,形成认识问题、解决问题的一般思路和方 教学 目标 法; 2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想,促进学生的思维水 平的发展 三、情感态度与价值观 通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生 活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现 问题,并数学地解决问题 教学 教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 重、 教学难点 灵活应用求和公式解决问题 难点 教学 多媒体课件 准备 导入新课 教学过 程 师 首先回忆一下上一节课所学主要内容 生 我们上一节课学习了等差数列的前 n 项和的两个公式: (1) S n ? n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ;(2) S n ? na1 ? 2 2 师 对,我们上一节课学习了等差数列的前 n 项和的公式,了解等差数列 的一些性质.学会了求和问题的一些方法,本节课我们继续围绕等差数列 1 的前 n 项和的公式的内容来进一步学习与探究 推进新课 [合作探究] 师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前 n 项和的公式的函数 表示,请同学们将求和公式写成关于 n 的函数形式 生 我将等差数列{an}的前 n 项和的公式 S n ? na1 ? 得到: S n ? n(n ? 1)d 整理、 变形 2 d 2 d n ? (a1 ? ) n 2 2 师 很好!我们能否说(*)式是关于 n 的二次函数呢 生 1 能,(*)式就是关于 n 的二次函数 生 2 不能,(*)式不一定是关于 n 的二次函数 师 为什么 生 2 若等差数列的公差为 0, 即 d=0 时, (*)式实际是关于 n 的一次函数! 只有当 d≠0 时,(*)式才是关于 n 的二次函数 师 说得很好!等差数列{an}的前 n 项和的公式可以是关于 n 的一次函数或 二次函数.我来问一下:这函数有什么特征 生 它一定不含常数项,即常数项为 生 它的二次项系数是公差的一半 师 对的, 等差数列{an}的前 n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数. 问:若一数列的前 n 项和为 n 的一次函数或二次函数,则这数列一定是 等差数列吗 生 不一定,还要求不含常数项才能确保是等差数列 师 说的在理.同学们能画出 (*) 式表示的函数图象或描述一下它的图象 特征吗 生当 d=0 时,(*)式是关于 n 的一次函数,所以它的图象是位于一条直线 上的离散的点列,当 d≠0 时,(*)式是 n 的二次函数,它的图象是在二 次函数 y ? d 2 d x ? (a1 ? ) x 的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为 2 2 (n,Sn)(n=1,2,3, 2 师 说得很精辟 [例题剖析] 【例】 (课本第 51 页例 分析:等差数列{an}的前 n 项和公式可以写成 S n ? 以 Sn 可以看成函数 y ? d 2 d n ? (a1 ? )n ,所 2 2 d 2 d x ? (a1 ? ) x (x∈N *)当 x=n 时的函数值.另 2 2 一方面,容易知道 Sn 关于 n 的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利 用二次函数来求 n 的值.(解答见课本第 52 页 师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢?请同学们说出这个 数列的首项和公差. 生 它的首项为 5,公差为 ? 5 7 师 对,它的首项为正数,公差小于零,因而这个数列是个单调递减数列, 当这数列的项出现负数时,则它的前 n 项的和一定会开始减小,在这样 的情况下,同学们是否会产生新的解题思路呢? 生 老师,我有一种解法:先求出它的通项,求得结果是 5 40 n? 7 7 5 40 我令 a n ? n ? ≤0,得到了 n≥8,这样我就可以知道 a8=0,而 a9< 7 7 an=a1+(n-1)d= ? 0.从而便可以发现 S7=S8,从第 9 项和 Sn 开始减小,由于 a8=0 对数列的和 不产生影响,所以就可以说这个等差数列的前 7 项或 8 项的和最大 师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研 究数列的和的变化情况 [方法引导] 师 受刚才这位同学的新解法的启发,我们大家一起来归纳一下这种解法 的规律: ①当等差数列{an}的首项大于零,公差小于零时,它的前 n 项的和有怎样 的最值?可通过什么来求达到最值时的 n 的值 生 Sn 有最大值,可通过 ? ?a n ? 0 求得 n 的值 ?a n ?1 ? 0 师 ②当等差数列{an}的首项不大于零,公差大于零时,它的前 n 项的和 3 有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的 n 的值 生 Sn 有最小值,可以通过 ? [教师精讲] 好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法,我们求等差数列的前 n 项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种: (1)利用 an 取值的正负情况来研究数列的和的变化情况; (2)利用 Sn:由 S n ? 值 课堂练习 请同学们做下面的一道练习: 已知:an=1 024+lg2 (lg2=0.3 01 0)n∈ .问多少项之和为最大?前多少 项之和的绝对值最小?(让一位学生上黑板去板演 解:1° ? 1-n * ?a n ? 0 求得 n 的值 ?a n ?1 ? 0 d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数求得 Sn 取最值时 n 的 2 2 ?a n ? 1024 ? (1 ? n) lg 2 ? 0 ?a n ?1 ? 1024 ? n lg 2<0 ?

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