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2017年全国高中数学联赛江苏复赛试题 Word版含答案

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2017 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛 一、填空题(每题 8 分,满分 64 分,将答案填在答题纸上) 1.若数列 ?a n ?满足 a1 ? 2 an 1 , an ?1 ? , n ? N ? ,则 a2017 的值为 2 3an ? 2 . 2.若函数 f ? x ? ? x ? 1 x ? ax ? b 对于任意 x ? R 都满足 f ?x ? ? f ?4 ? x ? ,则 f ?x ? 的最小值 2 2 ? ?? ? 是 . 3.在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, E 分别是侧棱 BB1 , CC1 上的点, EC ? BC ? 2BD ,则截面 ADE 与 底面 ABC 所成的二面角的大小是 . 4.若 sin x sin 2x sin 3x ? cos x cos2x cos3x ? 1 ,则 x ? 5. 设 x, y 是实数,则 . . 2x ? 2 y 的最大值是 2x4 ? 4 y 4 ? 9 . 2 ? 6. 设 an ? 1 ? 2 ? ? ? n, n ? N , S m ? a1 ? a2 ? ? ? am , m ? 1,2,3,? ,则 S1 , S 2 ,? , S 2017 中能被 2 整除但不 能被 4 整除的数的个数是 7. 在直角平面坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是双曲线 x ? y2 ? 1?b ? 0? 的左、右焦点,过点 F1 作圆 b2 . x 2 ? y 2 ? 1 的切线,与双曲线左、右两支分别交于点 A, B ,若 F2 B ? AB ,则 b 的值是 8. 从正 1680 边形的顶点中任取若干个,顺次相连成多边形,其中正多边形的个数为 二、解答题 9.已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 2, x ? y ,求 2 2 . 1 1 ? 的最小值. 2 ?x ? y ? ?x ? y ?2 10.在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C : 两点,且 AP ? AQ ? 0. x2 ? y 2 ? 1 的上顶点为 A , 不经过点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于 P, Q 3 (1)直线 l 是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由. (2)过 P, Q 两点分别作椭圆的切线,两条切线交于点 B ,求 ?BPQ 面积的取值范围. 11.设函数 f n ?x ? ? 1 ? x ? 1 2 1 x ?? ? xn. 2! n! ? x (1)求证:当 x ? ?0,?? ?, n ? N 时, e ? f n ? x ? ; (2)设 x ? 0, n ? N ,若存在 y ? R 使得 e ? f n ? x ? ? ? x 1 x n ?1e y ,求证: 0 ? y ? x. ?n ? 1?! 2017 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准 加试 1. 已知圆 O 的内接五边形 ABCDE 中 AD 与 BE 相交于点 F , CF 的延长线交圆 O 于点 P ,且 AB? CD ? BC ? ED. 求证: OP ? AE. 2.设 x, y 是非负实数, a ? x ? y , b ? x ? 2 ? y ? 2 ,若 a , b 是两个不相邻的整数,求 a , b 的值, 3.平面上 2n 个点 ?n ? 1, n ? N ? ,无三点共线,任意两点间连线段,将其中任意 n 2 ? 1 条线段染成红色. 求证:三边都为红色的三角形至少有 n 个.

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