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2017年全国高中数学联赛江苏复赛试题 Word版含答案

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2017 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛 一、填空题(每题 8 分,满分 64 分,将答案填在答题纸上) ? ? 1.若数列 an 满足 a1 ? 1 2 , an?1 ? 2an 3an ? 2 , n ? N? ,则 a2017 的值为 . ? ?? ? 2.若函数 f ?x? ? x2 ?1 x2 ? ax ? b 对于任意 x ? R 都满足 f ?x? ? f ?4 ? x?,则 f ?x? 的最小值 是 . 3.在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D, E 分别是侧棱 BB1, CC1 上的点, EC ? BC ? 2BD ,则截面 ADE 与 底面 ABC所成的二面角的大小是 . 4.若 sin xsin 2xsin 3x ? cosxcos2xcos3x ?1,则 x ? . 5. 设 x, y 是实数,则 2 2x ? x4 ? 4 2 y4 y ? 9 的最大值是 . 6. 设 an ? 1? 2 ?? ? n, n ? N ?, Sm ? a1 ? a2 ?? ? am , m ? 1,2,3,? ,则 S1, S2 ,?, S2017 中能被 2 整除但不 能被 4 整除的数的个数是 . 7. 在直角平面坐标系 xOy 中, F1, F2 分别是双曲线 x2 ? y2 b2 ? 1?b ? 0? 的左、右焦点,过点 F1 作圆 x2 ? y2 ? 1的切线,与双曲线左、右两支分别交于点 A, B ,若 F2B ? AB ,则 b 的值是 . 8. 从正1680边形的顶点中任取若干个,顺次相连成多边形,其中正多边形的个数为 . 二、解答题 9.已知 x, y ? R ,且 x2 ? y2 ? 2, x ? y ,求 1 ?x ? y?2 ? 1 ?x ? y?2 的最小值. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : x2 ? y2 ? 1的上顶点为 A ,不经过点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 3 两点,且 AP? AQ ? 0. (1)直线 l 是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由. (2)过 P,Q 两点分别作椭圆的切线,两条切线交于点 B ,求 ?BPQ面积的取值范围. 11.设函数 fn?x? ?1? x? 1 x2 2! ?? ? 1 n! xn. (1)求证:当 x ? ?0,???, n ? N ? 时, ex ? fn ?x?; (2)设 x ? 0, n ? N ? ,若存在 y ? R 使得 ex ? fn ?x? ? ?n 1 ? 1?! x n?1e y ,求证: 0 ? y ? x. 2017 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准 加试 1. 已知圆 O 的内接五边形 ABCDE中 AD与 BE相交于点 F,CF 的延长线交圆 O 于点 P ,且 AB?CD ? BC? ED. 求证: OP ? AE. 2.设 x, y 是非负实数, a ? x ? y,b ? x ? 2 ? y ? 2 ,若 a, b 是两个不相邻的整数,求 a, b 的值, 3.平面上 2n 个点 ?n ? 1, n ? N ? ,无三点共线,任意两点间连线段,将其中任意 n2 ?1 条线段染成红色. 求证:三边都为红色的三角形至少有 n 个. 4.设 n 为正整数,1? 1 ? 1 ?? ? 1 ? an , 23 n bn ? ? 其中 an , bn 为互素的正整数,对素数 p ,令集合 S p ? n n ? N ?, p an , 证明:对每一个素数 p ? 5 ,集合 S p 中至少有三个元素. 1. 1 3026 1 5. 4 2. ?16 6.252 试卷答案 3. 450 4. k? , k ? Z 7.1? 3 8.3432 二、解答题 9.解:因为 x2 ? y2 ? 2 ,所以 ?x ? y?2 ? ?x ? y?2 ? 4 , ? ? 所以 1 ?x ? y?2 ? 1 ?x ? y?2 ? 1 4 ???? ?x 1 ? y ?2 ? 1 ?x ? y?2 ???? ?x ? y?2 ? ?x ? y?2 ? 1 ?1?1?2 ? 1. 4 当x? 2, y ? 0 时, ?x 1 ? y ?2 ? 1 ?x ? y?2 ? 1. 所以 ?x 1 ? y?2 ? 1 ?x ? y?2 的最小值为1. 10.解:(1) 因为 AP? AQ ? 0 ,所以 AP ? AQ. 直线 AP, AQ 与 x 轴平行时, P 或 Q 与 A 重合,不合题意. 设 PA: y ? kx?1,则 QA: y ? ? 1 x ?1. k ? ? 将 y ? kx?1代入 x2 ? 3y2 ? 3 ,得 1? 3k 2 x2 ? 6kx ? 0. 所以 xP ? ? 1 6k ? 3k 2 , yP ? 2 1? 3k 2 ?1. 同理 xQ ? k 6k 2? 3 , yQ ?1? k 6 2? 3 . ?? ??? ? ?? ?? 所以,直线l : y ? yP yQ ? yP ? x ? xP xQ ? xP ,即 l : 1? 3k 2 1? 3k 2 ?y ?1?? 2 yQ ?1 ? 2 ? 1? 3k 2 x ? 6k 1? 3k 2 xQ ? 6k , 化简得 l : y ? k 2 ?1 x ? 1 . 4k 2 直线 l 纵截距是常数 ? 1 ,故直线 l 过定点 ?? 0,? 1 ??. 2 ? 2? (2)由 (1) , AP ?

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