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第4届国际物理奥林匹克竞赛试题及解答

时间:2011-09-18


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第4届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
苏联的 (1970 年于苏联的莫斯科) 197 年于苏联 莫斯科)
【题1】如图 4.1(a)、 b) ( ,在质量 M=1kg 的木板上有质量 m=0.1kg 的小雪橇。雪橇上 的马达牵引着一根绳子,使雪橇以速度 v0=0.1m/s 运动。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板 与雪橇之间的摩擦系数 μ=0.02。把住木板,起动马达。当雪橇达到速度 v0 时,放开木板。 在此瞬间,雪橇与木板端面的距离 L=0.5m。绳子拴在(a)远处的桩子, (b)木板的端面 上。 试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时到达木板端面?
m L
m L M

?
M

?

图 4.1(a) 图 4.1(b) 解: (a)在第一种情形中(如图 4.1(a)) ,雪橇处于匀速运动状态。 雪橇与木板以不同的速度运动。这样引起的最大摩擦力为? mg,它作用在木板上,产生 的加速度 a =

?mg
M

,直至木板达到雪橇的速度 v0 为止。加速时间为

t0 =

v0 v 0 M =5.1s = a ?mg

在这段时间内,雪橇的位移为

S0 =

2 v0 v2M = 0 =0.255m 2a 2?mg

因此,雪橇离木板右端点的距离为 0.5m-0.255m=0.245m 雪橇不能达到木板的一端,因为这段时间以后,木板与雪橇以相同的速度 v0 一起运动。在 木板加速期间,马达必须用力? mg 牵引绳子,但以后马达不能施加力的作用,它只是卷绳 子。 (b)在第二种情形中(如图 4.1(b),木板与桌面之间无摩擦。木板与雪橇形成一个 ) 孤立系统,可以用动量守恒定律。当我们放开木板时,雪橇的动量为 mv0,释放后的木板具 有速度 v2,它由下式决定: mv0=M v2+m(v0+v2) 此式表明 v2=0,所以木板保持不动,雪橇以同一速度继续前进。 雪橇达到木板右端的时间为

t=

L 0 .5 = =5 s v 0 0 .1

【 题 2 】 NaCl 的 晶 体 点 阵 由 边 长 为 5.6×10-8cm 的立方晶胞组成,它是面心
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5.6

10-8cm

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立方点阵。钠原子量约为 23,氯原子量为 35.5,NaCl 密度为 2.22g/cm3。试计算氢原子的质 量(如图 4.2) 。 解:我们先求出一个晶胞的 Na 离子数。在立方晶胞中心有一个离子,在立方晶胞的每一边 也有一个离子,但后者仅有四分之一是属于这个晶胞的。 故钠离子数为:

1+

12 =4 4

氯离子也是这个数。密度可以表示为晶 图 4.2 胞的质量与体积之比,故若用 m 表示氢原子的质量,则密度可表示为:

ρ=

4 × 23m + 4 × 35.5m = 2.22 (5.6 × 10 ?8 ) 3

解上式可求得氢原子的质量为 m=1.66×10-24g=1.66×10-27kg

【题3】半径 r=10cm 的金属球置于半径 R=20cm 的薄金属空心球内,两球同心。内球靠 一根长导线经过外球的开孔接地。若外球带电量 Q=10-8C,求外 R 球电势(如图 4.3) 。 解:这里有两个电容,并联连接。其一由外球和内球组成,另一 r 由地与外球组成。由电容相加便可算出电势。 导体球相对远处地球的电容为

R ,其中 k=9×109 N m2/C2,R k


为导体球半径。在空心球情形,如果内球接地 ,电容为:

1 1 1 = k( ? ) , Ca r R
所以:

图 4.3

Ca =

1 Rr ? k R?r

两个电容并联总电容为:

C=

R 1 Rr 1 R2 + ? = ? k k R?r k R?r

把 R=0.2m,r=0.1m,k=9×109 N m2/C2 代入上式得: C=44.4×10-12F=44.4 pF 故外球相对与地球的电势为:

U=


Q =225V C

(注: Ca 是内外球组成的球形电容器的电容,与内球是否接地无关。 ) 【题4】在半径 r=2m、孔径 d=0.5m 的 凹面镜的焦点位置上,放一块圆形屏幕, 使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射 后都能达到该圆形屏幕。试求圆形屏幕的
P

α α
h 2α F

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χ

α

O

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直径。如果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到仅由原来的 1/8,问有多少部分的光能达到 在同样位置的屏幕上? 解:我们只有采用较精确形式的反射定律,通过利用某些数学近似来求解本题。 按照教科书中通常的理论推导,半径 PO=R 的凹面镜的焦点位于距离 R 的中点 F 处。 我们用 h 表示凹面镜孔径之半。在 P 点的入射光线与半径的夹角为α,反射后与轴交于 F1 点。OP F1 是等腰三角形。 图4.4 则:

OF1 =

R 2 cos α R R R ? = (sec α ? 1) 2 cos α 2 2

故实际焦点与理论距离的偏差为

FF1 = OF1 ? OF =

我们把圆形屏放在点 F 处,要求出屏幕的最小半径值 x。在直角三角形 P F F1 中,应用通常 的小角近似,得:

x = F1 F tan 2α ≈ F1 F sin 2α = F1 F
对于小角度:

2h R 2h = (sec α ? 1) = h(sec α ? 1) R 2 R

cos α ≈ 1 ?

α2
2

,故 sec α =

1 α2 ≈ 1+ cos α 2

h h3 将 α ≈ 代入,得焦“斑”的半径为 x = R 2R 2
将数值:h=50/2=25cm;R=200cm,代入 即得: x=0.195cm=1.95mm 再看问题的第二部分。如果圆形屏的半径为 x,则入射到凹面镜的光束半径为

h = 3 2R 2 x
如果我们用半径 kx 的屏代替半径为 x 的屏,则入射光束的半径为:

hk = 3 2 R 2 kx
入射光的量正比于 hk ,因此
2

hk2 = ( 2 R 2 kx ) 2 = h 2 3 k 2
本题情形是 k =

1 1 ,由此得出,落在圆形屏幕上光的量将是前者的 8 4

【实验题】桌上有三个装在支架上的透镜,一块有几何图形的屏,一支杆和一把卷尺。仅用 所给的工具,以不同的方法测定透镜的焦距。 解答: 有几种可能的方法。 在凸透镜情形, 我们用目视观查虚像的消失, 并测定透镜的距离。 我们注视着实像,借助于视差把杆放在实像的位置上,测量物距和像距,从而计算出焦距。 再看凹透镜情形。 我们把凹透镜与一个强会聚的凸透镜密接在一起, 并用上述方法之一 测量系统的焦距,然后算出凹透的焦距。
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