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西北工业大学《概率论与数理统计》1-2 事件的关系和运算_图文

时间:2018-07-02

第二节

事件的和运算

一、随机事件间的运算 二、随机事件间的关系 三、运算定律
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一、随机事件间的运算
运算(有3种) 运算 符号 和
AU B

概率论

集合论

Venn图

事件A与B至少 A与B的并集 有一个发生



A? B AB 或AI B

事件A发生 而B不发生 事件A与B同 时发生

A与B的差集



A与B的交集

1.事件A与B的并(和事件)
" 二事件 A, B至少发生一个 "也是一个事件 ,

称为事件A与事件B的和事件. 记作A U B, 显然

A U B = { w | w ∈ A或w ∈ B }.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定, 因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并. B AU BA ?

2.事件A与B的差 由事件 A 发生而事件 B 不发生所组成的 事件称为事件 A 与 B 的差.记作 A- B 实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格” 与“直径合格”的差. 图示 A 与 B 的差 A–B B

?

3.事件A与B的交(积事件) " 二事件 A, B同时发生 "也是一个事件 , 称为 事件 A 与事件 B 的 积事件,记作 A I B,显然

A I B = { w | w ∈ A且w ∈ B }.
积事件也可记作

A ? B 或 AB .

实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是 “长度合格”与“直径合格”的交或积事件. 图示事件A与B 的积事件. A AB B ?

推广: ① A1 U A2 U L U An = U Ai :
i =1


n

A1 , A2 ,L , An中至少有一个发生 .
A1 U A2 U L U An L = U Ai :
i =1

A1 , A2 ,L , An ,L中至少有一个发生 .

② A1 I A2 I L I An = I Ai :
i =1

n

A1 , A2 ,L , An同时发生 .

A1 I A2 I L I An L = I Ai :
i =1



A1 , A2 ,L , An ,L同时发生 .

二、随机事件间的关系
关系(有4种)
关系 包含 等价 互斥 (互不 相容) 对立 (互逆) 符号 概率论 A发生则B 必发生 集合论 A是B的子集 A与B相等 Venn图

A? B A= B
AB = ?

A? B 且B ? A

事件A与B不 A与B不相交 能同时发生 A的余集 A的对立事件 ① A U A = ? ② AA = ?
A

A

1. 包含关系 若事件 A 发生, 必然导致 B 发生 , 则称 事件 B 包含事件 A, 记作 B ? A 或 A ? B . 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A. 2. 相等关系 如果事件B包含事件A, 同时事件A包含事件 B , 则 称事件A与事件B相等, 记作A=B.

? A B

3. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥) 若事件 A 的发生必然导致事件 B 不发生, B 发生也必然导致 A不发生, 则称事件 A与B互不 相容(或互斥), 即
A I B = AB = ? .

A

B

实例 1 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.

实例 2 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . “骰子出现1点” 互斥 “骰子出现2点”

注 1° 当 A∩B= ?时, 可将A∪B记为“直和” 形式 A+B,即
A U B = A + B ( 当A I B = ?时 ).
?

2° 任意事件A与不可能事件?为互斥.

4. 事件 A 的对立(或互逆)事件 设 A 表示“事件 A 发生”, 则“事件 A 不发生” 称为事件 A 的对立事件或逆事件.记作 A. 对立 实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点” B= A ? 若 A 与 B 互逆, 则有 A∪B= ? 且 AB= ?或 A+B = ?

图示 A 与 B 对立.

A

注 1? 互斥与互逆的关系 互逆 互斥 如:对于 ? = {1, 2,L , 10},

A = {2}, B = {5}. 显 然 , A与 B 互 斥 .

A U B = {2, 5} ≠ ? ,

∴ A与 B 不 互 逆 .

而 D = {1, 3, 5, 7, 9}与 G = {2,,,, 4 6 8 10}互 逆 .
2? 必然事件?与不可能事件?互逆.

三、运算定律
1.交换律 : (1) A U B = B U A.
(2) AB = BA.

2.结合律 : (1) ( A U B ) U C = A U ( B U C ).
(2) ( AB )C = A( BC ).

3.分配律 : (1) A I ( B U C ) = ( A I B ) U ( A I C ).
★(2) ( AB ) U C = ( A U C )( B U C ),

(3)A( B ? C ) = AB ? AC .

B

B

AB
A

=
AB U C
C A

(B U C)

( AUC)(BUC) (AUC)

C

4. 对偶律(De Morgan定理)

(1) A U B = A I B.
意义: “A, B至少有一发生”的对立事件 是“A, B均不发生.

(2) A I B = A U B.
意义:“A, B均发生”的对立事件是“A, B 至少有一个不发生”.

例1 证明: 对偶律 A U B = A I B 证 在集合关系证明中 , 要证明 A ? B , 需且只 需证明对A中的任意一元素ω,ω亦为B中的元素
即可 . 用符号可表示为 ?ω ∈ A ? ω ∈ B . 这里符号
“?”读作“对任意的”“ , ∈”读作“属于” “ , ?”

读作“推出”.现在给出证明:
?ω ∈ A I B ? ω不属于 A同时ω不属于 B

? ω不属于 A U B ? ω ∈ A U B ,

从而知

AI B ? AU B .

另一方面

? ω不属于A, 同时ω不属于B,
? ω属于 A, 同时ω属于 B , ? ω ∈ A I B.

?ω ∈ A U B ? ω不属于 A U B ,

从而得知
A U B ? A I B.

因而

A U B = A I B.

推广:

UA =IA.
i =1 i i =1 i

n

n

IA =UA.
i =1 i i =1 i

n

n

5. 其它一些性质

若 A ? B,则 A U B = B,AB = A.
特别地,

A U ? = A, A U ? = ?. A ?= ?, A? = A.

例2 设A,B,C为三个事件,试用这三个事 件的运算关系表示下列事件:
(1) A发生,而 B, C都不发生 .

ABC , 或 AB U C ; 可表示为:
(2) A, B都发生, C 不发生;

ABC , 或 AB ? C ;
(3) 三个事件同时都发生;

ABC ;

(4) A, B, C中恰有一个发生 .
可表示为: ABC + ABC + ABC ;

(5) A, B, C中恰有两个发生 .
可表示为:

ABC + ABC + ABC ,

或 AB U BC U AC ? ABC ;
(6) 三个事件至少有一个发生;

A U B U C.

例3 设 A,B为随机事件,证明: (1) A-B=A-AB,
( 2) A U B = A + B A = A B + AB + AB .



(1) A ? AB = A AB

( A ? B = AB )

= A( A U B )

= AA U AB = ? U AB

= AB = A ? B.

( 2) A + BA = A U BA = ( A U B )( A U A )

= ( A U B )? = A U B .

AB + AB + AB
= A( B + B) + AB = A? + BA

= A + BA = A U B .

内容小结
概率论与集合论之间的对应关系 概率论 ? 样本空间,必然事件 不可能事件 ? w 基本事件 随机事件 A A的对立事件 A A ? B A发生必然导致B发生 A = B 事件A与事件B相等
记号

集合论 空间(全集) 空集 元素 子集 A的补集 A是B的子集 A集合与B集合相等

A U B 事件A与事件B的和 A集合与B集合的并集 AB

事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集

A ? B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集

A与B 两集合中没有 AB = ? 事件A与B互不相容 相同的元素

备用题
例2-1 设A, B, C 表示三个随机事件, 试将下列 事件用A, B, C 表示出来. (1) A 发生 , B, C 不发生;
AB C 或 A ? B ? C 或 A ? ( B U C );

(2) A, B都发生, C 不发生;

ABC 或 AB ? C ;
(3) 三个事件都发生;

ABC ;

(4) 三个事件至少有一个发生;

A U B U C;
(5) 三个事件都不发生;

A B C;
(6) 不多于一个事件发生;

ABC + ABC + ABC + ABC ;
(7) 三个事件至少有两个发生;
ABC + ABC + ABC + ABC ;

(8) 不多于两个事件发生;
ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC ,

或 ABC ;

(9) A, B 至少有一个发生, C 不发生; ( A U B) C; (10) A, B, C 中恰好有两个发生.

ABC + ABC + ABC .

例 2-2 从一只黑箱中依次取2只球, 箱中装有2只白 球(标号1, 2), 2只黑球(标号3, 4), 若以事件 A表示 第一次取黑球, 以事件B表示第二次取黑球, 试表示
A, B , AB , A ? B , A.

解 可能的结果是:

(1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 3) , (2 , 4) (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 3) , (2 , 4)

A = {( 3,1), ( 3,2), ( 3,4), (4,1), (4,2), (4,3)}. B = {(1,3), (1,4), ( 2,3), ( 2,4), ( 3,4), (4,3)}.
AB = {( 3,4), (4,3)}. A ? B = {( 3,1), ( 3,2), (4,1), (4,2)}. A = {(1,2), (1,3)(1,4), ( 2,1), ( 2,3), ( 2,4)}.

例 3-1 运用事件运算公式证明等式
AB U ( A ? B ) U A = ?.

证明 于是

A ? B = AB, AB U ( A ? B ) U A

= AB U A B U A = AU A

= ?.

例 3-2 下列命题是否正确?

(1) AB = AB
A,B至少有 一个不发生

r
A,B均不发生

(2) A + ( B ? A) = B
解 不正确.

r

A ∪B B -A

一般地, A + ( B ? A) = A U B ≠ B .

特别地,

若 A ? B,则 A U B = B,
从而

A + ( B ? A) = A U B = B.

(3) B( A ? C ) = BA ? BC .
解 正确. BA ? BC = BA BC
= BA( B U C )



= BAC = B( A ? C ).

= BAB U BAC =? U BAC

例 3-3 在计算机系学生中任选一名学生,设事件 A=“选出的学生是男生”;

B=“选出的学生是三年级学生”; C=“选出的学生是运动员”.
(1)叙述事件 ABC的含义 .

(2)在什么条件下, ABC=C成立?
( 3)什么时候关系 C ? B成立 ?

解 (1 ) AB C 的含义是“选出的学生是三年级 的男生,但他不是运动员”.

(2) Q ABC ? C , ∴ ABC = C的充要条件是: 又 Q ABC ? AB, ∴ ABC = C的充要条件是: C ? AB.
C ? ABC .

C ? AB 即“计算系学生中的运动员都是

三年级的男生”.
( 3 ) 什么时候关系 C ? B 成立?

解 当运动员都是三年级的学生时,C是B 的子事件,即 C ? B 成立 .


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