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2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 4.3.2简单几何体的体积 课件(12张)_图文

时间:2019-05-10

第四章 定积分的应用 3.2 简单几何体的体积

复习回顾
一个平面图形绕平面内的一条定直线旋 转一周所形成的几何体叫旋转体,这条定直 线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、 球冠都是旋转体。
旋转体的体积
计算由区间[a、b]上的连续曲线 y ? f (x) 、 两直线x=a与x=b及x轴所围成的曲边梯形 绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积。

由微元法,取x为积分变量,其变化范围为区间 [a,b]。在区间[a,b]的任意一个小区间[x,x+dx]上,相 应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f(x)为底 面半径,以dx为高 的扁圆柱体的体积近似代替,
从而得到体积元素 dV ? ? [ f (x)]2 dx
所以,所求旋转 体的体积
? V ? ? b [ f (x)]2 dx a

类似地可得,由区间[c,d]上的连续曲线 x ? ?( y) ,
两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋 转一周所成的旋转体的体积为
? V ? ? d [?( y)]2 dy c

例:

求由椭圆

x2 a2

?

y2 b2

?1

所围图形分别绕

x 轴和y轴旋转所成的旋转体的体积. 解 利用图形的对称性,只需考虑第一象限内

的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积,

所求体积为该体积的2倍。
(一) 绕x轴:选取积分变量为 x ?[0, a], 任取一个子区间 [x, x + dx] ? [0, a],

在子区间[x , x + dx] 上旋转体的微元为:

dV1= ?y2 dx,

? ? 于是

V

?

2V1 ?

2

a 0

?y 2dx

?

2

a 0

?b2 (1 ?

x2 a2

)dx

y

2?b2
a2

(a2x

?

x3 3

)

a

?

4 3

?ab2.

0

O

x x+dx x

(二)绕y轴:选积分变量 y ?[0, b],任取

子区间 [y , y + dy] ? [0, b].

在子区间 [y , y + dy]上体积的微元为

dV1 ? ?x2dy

? ? 则

V

?

2V1

?

2?

b 0

x2dy

?

2?a2 b2

b
(
0

b2 ? y2 )2dy ? 4 ?a2b. 3

y

y +dy

yx

O

xx

练习
1、求 y = x2 与 y2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所

成的旋转体体积. 解 选积分变量 x ? [0, 1] (两曲线的交点为

(0, 0) 和 (1, 1)) , 任取子区间[x, x + dx] ? [0, 1],

其上的体积的微元为

y

y2 = x2

dV ? ?( y12 ? y22 )dx,

y12 ? x (1, 1)

? V

?

?

1 0

(

y12

?

y22 )dx

? ? ? 1( x ? x4 )dx ? 3 ?.

0

10

O

x x+dx

x

练习

2. 曲线 y ? ex , y ? e?x 与直线 x ?1 所成的图形
的面积为 ( D)

(A) 2

(B) 2 ? e

(C) 2 ? 2 e

(D) e ? 1 ? 2 e

3. 将第一象限内由x轴和曲线 y2 ? 6x 与直线 x ? 6

所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

等于 ( C)

(A) 54? (B) 72? (C) 108? (D) 144?

课堂小结: 求体积的过程就是对定积分概念的进一步 理解过程,总结求旋转体体积公式步骤如 下:
1.先求出 y ? f ?x? 的表达式;

? 2.代入公式 V ?

b
?

f

2

? x?dx ,

a

即可求旋转体体积的值。

微积分的创立,使得: 过去少数大数学家 潜心研究的需要特殊方法才能解决的 许多问题, 今天一个接受过微积分基本训练的 学生就能轻易解决。

拓 展 眼
界 利用祖暅原理获得球的体积
祖暅原理,又名等幂等积定理, 内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体, 被平行于这两个平行平面的任何平面所截, 如果截得两个截面的面积总相等, 那么这两个几何体的体积相等。


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