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全国通用2018高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教师用书文

时间:2017-08-19


第四节

数列求和

———————————————————————————————— [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前 n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列 的几种常见的求和方法.

1.公式法 (1)等差数列的前 n 项和公式:

n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ d;
2 2 (2)等比数列的前 n 项和公式:

na1,q=1, ? ? Sn=?a1-anq a1?1-qn? = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q n? a1?1-qn? ,q≠1 1-q
2.分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. 3.裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差, 在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和. (2)裂项时常用的三种变形: ① ② ③ 1 1 1 = - ; n?n+1? n n+1 1 ? 1 1? 1 - = ? ?; ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? 1

n+ n+1

= n+1- n.

4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, 这个数列 的前 n 项和可用错位相减法求解. 5.倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常 数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解. 6.并项求和法
1

一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1) f(n)类 型,可采用两项合并求解. 例如,Sn=100 -99 +98 -97 +?+2 -1
2 2 2 2 2 2

n

=(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5 050.

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于 1,则其前 n 项和 Sn= (2)当 n≥2 时, 1 ? 1 1? 1 - = ? ?.( n -1 2?n-1 n+1?
2 3

a1-an+1 .( 1-q

)

)

(3)求 Sn=a+2a +3a +?+na 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相 减法求得.( ) ).

2

n

(4)如果数列{an}是周期为 k(k 为大于 1 的正整数)的周期数列,那么 Skm=mSk.( [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(教材改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= A.1 C. B 1 6 [∵an= 1 B. D. 1 1 = - , 5 6 1 30 1 ,则 S5 等于( n?n+1? )

n?n+1? n n+1

1 1 1 1 5 ∴S5=a1+a2+?+a5=1- + - +?- = .] 2 2 3 6 6 3. (2016·广东中山华侨中学 3 月模拟)已知等比数列{an}中, a2·a8=4a5, 等差数列{bn} 中,b4+b6=a5,则数列{bn}的前 9 项和 S9 等于( A.9 C.36 B
2 5

)

B.18 D.72

[∵a2·a8=4a5,即 a =4a5,∴a5=4,

∴a5=b4+b6=2b5=4,∴b5=2, ∴S9=9b5=18,故选 B.] 4. 若数列{an}的通项公式为 an=2 +2n-1, 则数列{an}的前 n 项和 Sn=__________.【导 学号:31222188】 2
n+1 n

-2+n
-1

2

2?1-2 ? n?1+2n-1? n+1 2 [Sn= + =2 -2+n .] 1-2 2
-2 -3 -n

n

5.3·2 +4·2 +5·2 +?+(n+2)·2 =__________.
2

4-

n+4
2
n

1 1 1 1 [设 S=3× +4× 2+5× 3+?+(n+2)× n, 2 2 2 2

1 1 1 1 1 则 S=3× 2+4× 3+5× 4+?+(n+2)× n+1. 2 2 2 2 2 1 ? n+2 1 1 ?1 1 两式相减得 S=3× +? 2+ 3+?+ n?- n+1 . 2? 2 2 2 ?2 2 1 ? n+2 ?1 1 ∴S=3+? + 2+?+ n-1?- n 2 ? 2 ?2 2 1? ?1?n-1? 1-? ? ? ? 2? ?2? ? n+2 n+4 =3+ - n =4- n .] 1 2 2 1- 2

分组转化求和

(2016·北京高考)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3=9,a1 =b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和.

b3 9 [解] (1)设等比数列{bn}的公比为 q,则 q= = =3, b2 3
所以 b1= =1,b4=b3q=27,所以 bn=3 设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27,所以 1+13d=27,即 d=2. 所以 an=2n-1(n=1,2,3,?).5 分 (2)由(1)知 an=2n-1,bn=3 因此 cn=an+bn=2n-1+3 从而数列{cn}的前 n 项和
n-1 n-1

b2 q

n-1

(n=1,2,3,?).2 分

.

.7 分

Sn=1+3+?+(2n-1)+1+3+?+3n-1


n?1+2n-1? 1-3n
2 +

3 -1 2 =n + .12 分 1-3 2

n

[规律方法] 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an =bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,则可采用分组求和法求{an}的前 n 项和.
3

(2)通项公式为 an=?

?bn,n为奇数, ? ?cn,n为偶数 ?

的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差

数列,可采用分组求和法求和. 易错警示:注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论. [变式训练 1] (2016·浙江高考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4,

an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通项公式 an; (2)求数列{|an-n-2|}的前 n 项和. [解] (1)由题意得?
?a1+a2=4, ? ? ?a2=2a1+1,

则?

?a1=1, ? ? ?a2=3.

2分

又当 n≥2 时,由 an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得 an+1=3an, 所以数列{an}的通项公式为 an=3 (2)设 bn=|3
n-1
*

n-1

,n∈N .5 分

*

-n-2|,n∈N ,则 b1=2,b2=1.
n-1

当 n≥3 时,由于 3

>n+2,故 bn=3

n-1

-n-2,n≥3.8 分

设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 T1=2,T2=3, 9?1-3 ? ?n+7??n-2? 3 -n -5n+11 当 n≥3 时,Tn=3+ - = , 1-3 2 2 2, n=1, ? ? n 2 所以 Tn=?3 -n -5n+11 * , n≥2,n∈N . ? 2 ?
n-2 n
2

12 分

裂项相消法求和

(2016·重庆南开二诊)若 An 和 Bn 分别表示数列{an}和{bn}的前 n 项的和,对任 意正整数 n,an=2(n+1),3An-Bn=4n. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)记 cn= 2

An+Bn

,求{cn}的前 n 项和 Sn.

[解] (1)由于 an=2(n+1),∴{an}为等差数列,且 a1=4.2 分 ∴An=

n?a1+an? n?4+2n+2?
2 =
2

2

=n +3n,
2

2

∴Bn=3An-4n=3(n +3n)-4n=3n +5n, 当 n=1 时,b1=B1=8, 当 n≥2 时, bn=Bn-Bn-1=3n +5n-[3(n-1) +5(n-1)]=6n+2.由于 b1=8 适合上式, ∴bn=6n+2.5 分
2 2

4

(2)由(1)知 cn=

2 2 = 2 An+Bn 4n +8n

1 ? 1?1 = ? - ?,7 分 4?n n+2? 1??1 1? ?1 1? ?1 1? ∴Sn= ?? - ?+? - ?+? - ?+ 4??1 3? ?2 4? ?3 5?

?1-1?+?+? 1 - 1 ?+?1- 1 ?? ?4 6? ?n-1 n+1? ?n n+2?? ? ? ? ? ? ??
1 1 ? 1? 1 - = ? 1+ - 2 n+1 n+2? 4? ? 1 ? 3 1? 1 + = - ? ?.12 分 8 4?n+1 n+2? [规律方法] 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项, 使这些裂开的 项出现有规律的相互抵捎,要注意消去了哪些项,保留了哪些项,从而达到求和的目的. 2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几 项. [变式训练 2] (2017·石家庄一模)已知等差数列{an}中,2a2+a3+a5=20,且前 10 项 和 S10=100. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= 1

anan+1

,求数列{bn}的前 n 项和.

2a2+a3+a5=4a1+8d=20, ? ? [解] (1)由已知得? 10×9 10a1+ d=10a1+45d=100, ? 2 ? 解得?
?a1=1, ? ? ?d=2,

3分

所以数列{an}的通项公式为 an=1+2(n-1)=2n-1.5 分 1 ? 1 1? 1 - (2)bn= = ? ?,8 分 ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? 1 1 ? 1? 1 1 1 - 所以 Tn= ?1- + - +?+ 2n-1 2n+1? 2? 3 3 5 ? 1 ? 1? n = ? 1- = .12 分 ? 2 n + 1 2? ? 2n+1 错位相减法求和

(2016·山东高考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且

5

an=bn+bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式; ?an+1? (2)令 cn= n ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. ?bn+2? [解] (1)由题意知当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6n+5. 当 n=1 时,a1=S1=11,符合上式. 所以 an=6n+5.2 分 设数列{bn}的公差为 d. 由?
?a1=b1+b2, ? ? ?a2=b2+b3, ?b1=4, ? ?d=3. ? ?11=2b1+d, ? 即? ? ?17=2b1+3d,
n+1

解得?

所以 bn=3n+1.5 分
n+1

?6n+6? n+1 (2)由(1)知 cn= .7 分 n =3(n+1)·2 ?3n+3? 又 Tn=c1+c2+?+cn, 得 Tn=3×[2×2 +3×2 +?+(n+1)×2 2Tn=3×[2×2 +3×2 +?+(n+1)×2
2 3 4 3 4 2 3

n+1

],

n+2

],9 分
n+1

两式作差,得-Tn=3×[2×2 +2 +2 +?+2

-(n+1)×2

n+2

]

? 4?1-2 ?-?n+1?×2n+2? =3×?4+ ? 1-2 ? ?
=-3n·2
n+2

n


n+2

所以 Tn=3n·2

.12 分

[规律方法] 1.如果数列{an}是等差数列, {bn}是等比数列, 求数列{an·bn}的前 n 项和 时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比,若{bn}的公比为 参数,应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况讨论. 2.在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,即公比 q 的同 次幂项相减,转化为等比数列求和. [变式训练 3] (2016·广东肇庆第三次模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3= 6,S5=15. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2an [解] (1)设等差数列{an}的公差为 d,首项为 a1. ∵S3=6,S5=15,

an

6

1 3a + ×3×?3-1?d=6, ? ? 2 ∴? 1 5a + ×5×?5-1?d=15, ? ? 2
1 1

即?

?a1+d=2, ? ? ?a1+2d=3,

解得?

?a1=1, ? ?d=1. ?

3分

∴{an}的通项公式为 an =a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.5 分 (2)由(1)得 bn= = n,6 分 2an 2

an

n

1 2 3 n-1 n ∴Tn= + 2+ 3+?+ n-1 + n,① 2 2 2 2 2 1 ①式两边同乘 , 得 2 1 1 2 3 n-1 n Tn= 2+ 3+ 4+?+ n + n+1,② 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ①-②得 Tn= + 2+ 3+?+ n- n+1 2 2 2 2 2 2 1? 1? ?1- n? 2? 2 ? n 1 n = - n+1=1- n- n+1,10 分 1 2 2 2 1- 2 1 n ∴Tn=2- n-1- n.12 分 2 2

7

[思想与方法] 解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路: (1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通 项分解或错位相减来完成. (2)不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和. [易错与防范] 1.直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数(字母)时, 应对其公比是否为 1 进行讨论. 2.利用裂项相消法求和的注意事项: (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项. (2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差与系数之积与原通项 相等.如:若{an}是等差数列, 则

? ? ? ? anan+1 d?an an+1? anan+2 2d?an an+2?

1

1 ? 1 ? 1? 1 1 1 ?1 - - = , = . 课时分层训练(三十一) 数列求和 A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟)

一、选择题 1 1 1 1 1 1.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 )

8

【导学号:31222189】 A.n +1- C.n +1- A
2 2

1 n 2 1 2
n-1

1 2 B.2n -n+1- n 2 1 2 D.n -n+1- n 2

1 [该数列的通项公式为 an=(2n-1)+ n, 2

1? ?1 1 则 Sn=[1+3+5+?+(2n-1)]+? + 2+?+ n? 2? ?2 2 1 2 =n +1- n.] 2 2. (2016·安徽江南十校 3 月联考)在数列{an}中, an+1-an=2, Sn 为{an}的前 n 项和. 若

S10=50,则数列{an+an+1}的前 10 项和为(
A.100 C.120 C

) B.110 D.130

[{an+an+1}的前 10 项和为 a1+a2+a2+a3+?+a10+a11=2(a1+a2+?+a10)+a11-

a1=2S10+10×2=120.故选 C.]
3. (2016·湖北七校 2 月联考)中国古代数学著作 《算法统宗》 中有这样一个问题: “三 百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请 公仔细算相还.”其意思为:有一个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天 走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地,请问第二天走了( A.192 里 C.48 里 B.96 里 D.24 里 )

B

1 [由题意, 知每天所走路程形成以 a1 为首项, 公比为 的等比数列, 则 2

a1?1- 6? 2

? ?

1?

?

1 1- 2

=378,

解得 a1=192,则 a2=96,即第二天走了 96 里.故选 B.] 4.(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列 5,6,1,-5,?,该数列的特点是从第 二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 16 项之和 S16 等于( A.5 C.7 C B.6 D.16 )

[根据题意这个数列的前 8 项分别为 5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第 7 项起,

数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为 6,前 6 项和为 5+6+1+(-5)+(-6) +(-1)=0. 又因为 16=2×6+4,所以这个数列的前 16 项之和 S16=2×0+7=7.故选 C.]

9

5. 已知函数 f(x)=x 的图象过点(4,2), 令 an= 的前 n 项和为 Sn,则 S2 017=( A. 2 016-1 C. 2 018-1 C

a

1 , n∈N*, 记数列{an} f?n+1?+f?n?

) 【导学号:31222190】 B. 2 017-1 D. 2 018+1

1 1 a [由 f(4)=2 得 4 =2,解得 a= ,则 f(x)=x . 2 2 1

∴an=

f?n+1?+f?n?



1

n+1+ n

= n+1- n,

S2 017= a1+a2+ a3+?+ a2 017= ( 2 - 1)+( 3 - 2) +( 4 - 3)+?+( 2 018 -
2 017)= 2 018-1.] 二、填空题 6.设数列{an }的前 n 项和为 Sn,且 an=sin


2

,n∈N ,则 S2 016=__________. 【导学号:31222191】

*

0

[an=sin


2

,n∈N ,显然每连续四项的和为 0.

*

S2 016=S4×504=0.]
7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 数列”的通项公式为 2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=__________. 2
n +1 n

-2 [∵an+1-an=2 ,

n

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =2
n-1

+2

n-2

2-2 2 n n +?+2 +2+2= +2=2 -2+2=2 . 1-2

n

2-2 n+1 ∴Sn= =2 -2.] 1-2 8.(2017·广州综合测试(二))设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=12,Sn=kn -1(n
?1? * ∈N ),则数列? ?的前 n 项和为__________. ?Sn?
2

n+1

n
2n+1

[令 n=1 得 a1=S1=k-1,令 n=2 得 S2=4k-1=a1+a2=k-1+12,解得 k=

1 2 4,所以 Sn=4n -1, =

? ? Sn 4n2-1 ?2n+1??2n-1? 2?2n-1 2n+1?
= = -

1

1

1? 1

1 ?

?1? ,则数列? ?的前 ?Sn?

1 ? 1? 1 ? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 n - n 项和为 ? - ?+ ? - ?+?+ ? .] ?= ?1- ?= 2?1 3? 2?3 5? 2?2n-1 2n+1? 2? 2n+1? 2n+1 三、解答题

10

9.(2017·成都二诊)已知数列{an}中,a1=1,又数列? 列. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. [解] (1)∵数列? ∴ 2

? 2 ? ?(n∈N*)是公差为 1 的等差数 ?nan?

? 2 ? ?是首项为 2,公差为 1 的等差数列, ?nan?

nan

=2+(n-1)=n+1,3 分 2 2 .5 分 1 ? ?1 =2? - ?, ?n n+1?

解得 an=

n?n+1?

(2)∵an=

n?n+1?

1 ?? ?? 1? ?1 1? ?1 ∴Sn=2??1- ?+? - ?+?+? - ?? ?? 2? ?2 3? ?n n+1?? =2?1-

? ?

1 ? 2n = .12 分 n+1? ? n+1

10.(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=[an],求数列{bn}的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9] =0,[2.6]=2. [解] (1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
? ?2a1+5d=4, 由题意有? ?a1+5d=3, ?

a1=1, ? ? 解得? 2 d= . ? ? 5
2n+3 .5 分 5

3分

所以{an}的通项公式为 an= (2)由(1)知,bn=?

?2n+3?. ? ? 5 ?

2n+3 当 n=1,2,3 时,1≤ <2,bn=1; 5 2n+3 当 n=4,5 时,2≤ <3,bn=2;8 分 5 2n+3 当 n=6,7,8 时,3≤ <4,bn=3; 5 2n+3 当 n=9,10 时,4≤ <5,bn=4. 5 所以数列{bn}的前 10 项和为 1×3+2×2+3×3+4×2=24.12 分
11

B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1. 已知等比数列{an}的各项都为正数, 且当 n≥3 时, a4a2n-4=10 , 则数列 lg a1,2lg a2,2 lg
2n 2

a3,23lg a4,?,2n-1lg an,?的前 n 项和 Sn 等于(

) 【导学号:31222192】

A.n·2

n

B.(n-1)·2
n

n-1

-1

C.(n-1)·2 +1 C

D.2 +1

n

[∵等比数列{an}的各项都为正数,且当 n≥3 时,

2n n a4a2n-4=102n,∴a2 n=10 ,即 an=10 ,

∴2

n-1

lg an=2

n-1

lg 10 =n·2
2

n

n-1


n-1

∴Sn=1+2×2+3×2 +?+n·2
2 3

,①
n

2Sn=1×2+2×2 +3×2 +?+n·2 ,② ∴①-②得-Sn=1+2+2 +?+2 -1)·2 +1.] 2 .(2017·合肥二次质检) 已知数列 {an}的前 n 项和为 Sn ,若 Sn= 2an- 2 ,则 Sn = __________.
n n
2

n-1

-n·2 =2 -1-n·2 =(1-n)·2 -1, ∴Sn=(n

n

n

n

n

n·2n(n∈N*) [由 Sn=2an-2n 得当 n=1 时,S1=a1=2;当 n≥2 时,Sn=2(Sn-Sn-1)-
2, 即 n- n-1=1, 所以数列? n?是首项为 1, 公差为 1 的等差数列, 则 n=n, Sn=n·2 (n≥2), 2 2 2 ?2 ? 当 n=1 时,也符合上式,所以 Sn=n·2 (n∈N ).] 3. (2017·广州综合测试(二))设 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 已知 a1=3, an+1=2Sn+3(n ∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解] (1)当 n≥2 时,由 an+1=2Sn+3 得 an=2Sn-1+3, 两式相减,得 an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an, ∴an+1=3an,∴
*

n

Sn Sn-1

?Sn?

Sn

n

n

*

an+1 =3. an a2 a1

当 n=1 时,a1=3,a2=2S1+3=2a1+3=9,则 =3.3 分 ∴数列{an}是以 a1=3 为首项,公比为 3 的等比数列. ∴an=3×3
n-1

=3 .5 分
n

n

(2)法一:由(1)得 bn=(2n-1)an=(2n-1)·3 ,7 分 ∴Tn=1×3+3×3 +5×3 +?+(2n-1)·3 ,① 3Tn=1×3 +3×3 +5×3 +?+(2n-1)·3
2 3 4 2 3

n

n+1

,②
12

①-②得-2Tn=1×3+2×3 +2×3 +?+2×3 -(2n-1)·3 =3+2×(3 +3 +?+3 )-(2n-1)·3 3 ?1-3 ? n+1 =3+2× -(2n-1)·3 1-3 =-6-(2n-2)·3 ∴Tn=(n-1)·3
n+1 n+1
2 2 3

2

3

n

n+1

n

n+1

n-1

.10 分

+3.12 分
n

法二:由(1)得 bn=(2n-1)an=(2n-1)·3 .7 分 ∵(2n-1)·3 =(n-1)·3 ∴Tn=b1+b2+b3+?+bn =(0+3)+(3 +0)+(2×3 -3 )+?+[(n-1)·3 =(n-1)·3
n+1
3 4 3

n

n+1

-(n-2)·3 ,

n

n+1

-(n-2)·3 ]

n

+3.12 分

13


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