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2013高考数学复习易做易错题选6--数学数列部分错题精选

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2013 高考数学复习易做易错题选
数列部分
一、选择题:
1. (石庄中学) s n 是等差数列 n } 设 {a 的前 n 项和, 已知 s 6 =36, 则 n=( ) A 15 s n =324, s n ? 6 =144 (n>6),

B

16

C

17

D

18
36 ? 324 ? 144 6

正确答案:D 错因:学生不能运用数列的性质计算 a 1 +a n =

2. (石庄中学)已知 s n 是等差数列{a n }的前 n 项和,若 a 2 +a 4 +a 1 5 是一个确定的常数, 则数列{s n }中是常数的项是( A s7 B s8 C ) s 11 D s 13

正确答案: D 活应用。

错因: 学生对等差数列通项公式的逆向使用和等差数列的性质不能灵

3. (石庄中学)设{a n }是等差数列, n }为等比数列,其公比 q≠1, 且 b i >0(i=1、2、 {b 3 ?n) 若 a 1 =b 1 ,a 1 1 =b 1 1 则 ( A a 6 =b 6 正确答案 B B a 6 >b 6 ) C a <b 6 D a 6 >b 6 或 a <b 6

6

6

错因:学生不能灵活运用等差中项和等比中项的定义及基本不等式。
2 2

4. (石庄中学) 已知非常数数列 n } 满足 a i ? 1 -a i a i ? 1 +a i =0 且 a i ? 1 ≠a i ?1 , i=1、 3、 {a , 2、 ? n,对于给定的正整数 n,a 1 =a i ? 1 ,则 ? a i
i ?1 n ?1

等于( ) D 0

A

2

B

-1

C

1

正确答案:D

错因:学生看不懂题目,不能挖掘题目的隐含条件, n }的项具有 {a

周期性。 5. (石庄中学)某人为了观看 2008 年奥运会,从 2001 年起每年 5 月 10 日到银行存入 a 元 定期储蓄,若年利率为 p 且保持不变,并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定 期,到 2008 年将所有的存款和利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为( ) . A a(1+p)
7

B a(1+p)

8

C

a p

[(1 ? p ) ? (1 ? p )]
7

D

a p

[(1 ? p ) ? (1 ? p ) ]
8

正确答案:D

错因: 学生对存款利息的计算方法没掌握。

6. (搬中)一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项的和为 34,最后 5 项的和为 146,所有 项的和为 234,则它的第七项等于( ) A. 22 B. 21 C. 19 D. 18 解:设该数列有 n 项 且首项为 a 1 ,末项为 a n ,公差为 d 则依题意有
? ? 5 a 1 ? 10 d ? 34 ? ? 5 a n ? 10 d ? 146 ?a ? a n ? 1 ? n ? 234 ? 2
(1) ? ( 2 ) 可得 a 1 ? a n ? 36

(1) (2) ( 3)

代入(3)有 n ? 13 从而有 a1 ? a13 ? 36 又所求项 a 7 恰为该数列的中间项,
? a7 ? a 1 ? a 13 2 ? 36 2 ? 18

故选 D 说明:虽然依题意只能列出 3 个方程,而方程所涉及的未知数有 4 个,但将 a 1 ? a n 作 为一个整体,问题即可迎刃而解。在求 a 7 时,巧用等差中项的性质也值得关注。知识的灵 活应用,来源于对知识系统的深刻理解。 7. (搬中) x ?
ab 是 a , x , b 成等比数列的(



A. 充分不必要条件 C. 充要条件 解: x ?

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

ab , a 、 x 、 b 不一定等比

如a ? b ? x ? 0 若 a 、 x 、 b 成等比数列 则 x ? ? ab
?选 D

说明:此题易错选为 A 或 B 或 C,原因是等比数列 ? a n ? 中要求每一项及公比 q 都不为

零。 8.(磨中)已知 Sk 表示{an}的前 K 项和,Sn—Sn+1=an(n∈N+) ,则{an}一定是_______。 A、等差数列 B、等比数列 C、常数列 D、以上都不正确 正确答案:D 错误原因:忽略 an=0 这一特殊性 9.(磨中)已知数列—1,a1,a2,—4 成等差数列,—1,b1,b2,b3,—4 成等比数列,则
a 2 ? a1 b2



值为___________。 1 1 1 1 1 A、 B、— C、 或— D、 2 2 2 2 4 正确答案:A 错误原因:忽略 b2 为等比数列的第三项,b2 符号与—1、—4 同号 10.(磨中)等比数列{an}的公比为 q,则 q>1 是“对于任意 n∈N+”都有 an+1>an 的_______ 条件。 A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 正确答案:D 错误原因:忽略 a1 与 q 共同限制单调性这一特性 11. (城西中学)数列 ?a n ? 的前 n 项和为 s n =n +2n-1,
2

则 a1+a3+a5+??+a25=( ) A 350 B 351 C 337 D 338 正确答案:A 错因:不理解该数列从第二项起向后成等差数列。 12. (城西中学)在等差数列 {a n }中 a 10 ? 0 , a 11 ? 0 , 且 a 11 ?| a 10 | ,则在 Sn 中最大的负数为 ( ) A.S17 B.S18 C.S19 D.S20 答案:C 错因:等差数列求和公式应用以及数列性质分析错误。 13 . 城 西 中 学 ) 已 知 三 个 互 不 相 等 实 数 a,b,c 成 等 差 数 列 , 那 么 关 于 x 的 方 程 (
ax ? 2 bx ? c ? 0
2

A,一定有两个不相等的实数根 B,一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D,一定有实数根 正确答案:D 错因:不注意a=0的情况。 14. (城西中学)从集合{1,2,3,?,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数 列,这样的等比数列个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8

正确答案:D 错因:误认为公比一定为整数。

15. (城西中学)若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” ,设 ?a n ? 是公比 为 q 的无穷等比数列,下列四组量中,一定能成为数列 ?a n ? “基本量”的是( ) (1) s 1 , s 2 , (2) a 2 , s 3 (3) a 1 , a n , (4) q , a n A.(1) (3) 正确答案(B) 错因:题意理解不清 sn 16. (城西中学)已知等差数列{an,}的前 n 项和为 sn,且 S2=10,S5=55,则过点 P(n, ), n Sn+2 Q(n+2, )(n∈N+*)的直线的斜率为 n+2 A、4 B、3 C、2 D、1 B .(1) (4) C.(2) (3) D.(2) (4)

正确答案: D 错因:不注意对和式进行化简。 1 17. (城西中学)在 和 n ? 1 之间插入 n 个正数,使这 n+2 个正数成等比数列,则插入的 n n 个正数之积为._______. 正确答案: (
n ?1 n
n

)2

错因:无法探求问题实质,致使找不到解题的切入点。 18. (城西中学)数列 { a n } 满足 a n ?1 ? {
2 a n ,0 ? a n ? 2 a n ? 1, 1 2
3 7

1 2

? an ? 1

,若 a 1 ?

6 7

,则 a 2004 的值为

( A.

) 6

B.

5

C.

D.

1 7

7 7 正确答案:C 错因:缺研究性学习能力

19. 一中) ( 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ?

1 2

n ( 5 n ? 1) , ? N ? , n a a ?, 现从前 m 项: 1 , 2 ,

a m 中抽出一项(不是 a 1 ,也不是 a m ) ,余下各项的算术平均数为 37,则抽出的是

A.第 6 项 B.第 8 项 C.第 12 项 D.第 15 项 正确答案:B 20. (一中)某种细菌 M 在细菌 N 的作用下完成培养过程,假设一个细菌 M 与一个细菌 N 可繁殖为 2 个细菌 M 与 0 个细菌 N ,今有 1 个细菌 M 和 512 个细菌 N ,则细菌 M 最

多可繁殖的个数为 A.511 B.512 正确答案:C

C.513

D.514
1 2

21. (一中)等比数列 ? a n ? 中, a1 ? 512 ,公比 q ? ?
? n ? a1 a 2 ...a n ,则 ? 1 ? 2 ... ? n 中最大的是(

,用 ? n 表示它前 n 项的积:



A

? 11

B

? 10

C

?9

D

?8

正确答案:C 22. (一中)已知 f ( x ) ?
1? x 2?x

,对于 x ? N ,定义 f1 ( x ) ? f ( x ) , f n ?1 ( x ) ? f ( f n ( x )) 假 ) D
x x ?1

设 f13 ( x ) ? f 31 ( x ) ,那么 f16 ( x ) 解析式是( A
x ?1

x 正确答案:B

B

x ?1 x

C

x x ?1

23. (一中)如图①,②,③,??是由花盆摆成的图案,





③ .

根据图中花盆摆放的规律,猜想第 n 个图形中花盆的盆数 a n = 正确答案: 3 n ? 3 n ? 1
2

24 . 一 中 ) { a n } 是 实 数 构 成 的 等 比 数 列 , Sn 是 其 前 n 项 和 , 则 数 列 { S n } 中 ( ( ) B、必有一项为 0 D、或无一项为 0,或无穷多项为 0

A、任一项均不为 0 C、至多有有限项为 0 正确答案:D

25. (蒲中) x ? ab 是 a,x,b 成等比数列的(



A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 答案:D 点评:易错选 A 或 B。 26. (蒲中)数列 1,1+2,1+2+4,?,1+2+4+?+2n 各项和为( ) n+1 n A、2 -2-n B、2 -n-1 n+2 C、2 -n-3 D、2n+2-n-2

答案:C 点评:误把 1+2+4+?+2n 当成通项,而忽略特值法排除,错选 A。 27. (蒲中)已知数列{an}的通项公式为 an=6n-4,数列{bn}的通项公式为 bn=2n,则在数列 {an}的前 100 项中与数列{bn}中各项中相同的项有( ) A、50 项 B、34 项 C、6 项 D、5 项 点评:列出两个数列中的项,找规律。 28. (江安中学)已知数列 { a n } 中,若 2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? N , n ≥2),则下列各不等式
*

中一定成立的是( A. B. C. D.
a 2 a 4 ≤ a3
2

) 。

a2 a4 ? a3

2

a 2 a 4 ≥ a3

2

a2 a4 ? a3

2

正解:A 由 于 2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? N , n ≥ 2) , ? { a n } 为 等 差 数 列 。
*

a 2 a 4 ? ( a 1 ? d )( a 1 ? 3 d ) ? a 1 ? 4 a 1 d ? 3 da
2

2

而 a 3 ? ( a1 ? 2 d ) ? a1 ? 4 a1 d ? 4 d
2 2 2

2

? a 2 a 4 ? a 3 ? ? d ≤0 ? a 2 a 4 ≤ a 3
2 2

2

误解:判断不出等差数列,判断后,是否选用作差法。 29. (江安中学)某工厂第一年年产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b,这 两年的平均增长率为 x,则( ) 。 a?b E. x ? 2 a?b F. x ≤ 2 a?b G. x > 2 a?b H. x ≥ 2 正解:B 设平均增长率为 x ,
A (1 ? x ) ? A (1 ? a )(1 ? b ) ? (1 ? x ) ? (1 ? a )(1 ? b )
2 2

2 2 1 ? ab ? a ? b ? 1 ab a?b ? ? ? 误解: 2A 2 2 2 30. (江安中学) 计算机是将信息转换成二进制进行处理的, 二进制即 “逢二进一” 如 , (1101) A (1 ? a )(1 ? b ) ? A

?x?

(1 ? a )(1 ? b ) ? 1 ≤

1? a ?1? b

?1 ?

a?b

2

表示二进制数,将它转换成十进制形式,是 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 0 ? 2 ? 1 ? 2 ? 13 ,那么二
3 2 1 0

进制数 (11 ... 1) 2 转换成十进制形式是( ? ? ?? ?
16 个



I. 217-2 J. 216-2 K. 216-1 L. 215-1 正解:C
(11 ... 1) 2 = 2 ? ? ?? ?
16 个
15

?2

14

? ... ? 2 ?
0

1? 2

16

1? 2

?2

16

?1

误解:①没有弄清题意;② (11 ... 1) 2 = 2 ? ? ?? ?
16 个

16

?2

15

? ... ? 2 ? 2
1

17

?2

31. (江安中学)在数列{ a n }中, a 1 ? ? 2 , 2 a n ?1 ? 2 a n ? 3 ,则 a n 等于( M. N. O. P.
27 2 10 13 19 3 2

) 。

正解:C。由 2 2 a n ?1 ? 2 a n ? 3 得 a n ?1 ? a n ? ∵
a1 ? ? 2, d ? 3 2 , a 11 ? 13

,∴{ a n }是等差数列

误解:A、B、D 被式子 2 a n ?1 ? 2 a n ? 3 的表面所迷惑,未发现{ a n }是等差数列这 个本质特征,而只由表面的递推关系得到,从而计算繁琐,导致有误。 32. (江安中学)已知等比数列{ a n }的首项为 a 1 ,公比为 q,且有 lim (
n? ?

a1 1? q

?q )?
n

1 2

,则

首项 a 1 的取值范围是( Q. R. S. T.

) 。
1 2

0 ? a 1 ? 1且 a 1 ?

0 ? a 1 ? 3或 a 1 ? ? 3
0 ? a1 ? 1 2 1 2 或 a1 ? 3 a1 2 ? 1) ? 1 2

0 ? a 1 ? 1且 a 1 ?

正解:D。

① q ? 1 时, lim (
n? ?

,? a1 ? 3 ;

② q ? 1 且 q ? 0 时 lim (
n? ?

a1 1? q

)?

1 2

? a1 ?

1? q 2

? ? 1 ? q ? 1 且 q ? 0 ,? 0 ? a1 ? 1且 a1 ?

1 2

。? 选 D 。

误解:①没有考虑 q ? 1 ,忽略了 a1 ? 3 ; ②对 q ,只讨论了 0 ? q ? 1 或 ? 1 ? q ? 0 ,或 ? 1 ? q ? 1 ,而得到了错误解答。 33 .( 江 安 中 学 ) 在 ? ABC
cos 2 B ? cos B ? cos( A ? C ) ? 1 ,则(

中 , a , b , c 为 ? A, ? B , ? C 的 对 边 , 且 ) 。

U. V.

a , b , c 成等差数列 a , c , b 成等差数列

W. a , c , b 成等比数列 X.
a , b , c 成等比数列

正解:D。
? B ? ? ? (A ? C) ? c o sB ? ? c o s A ? C ) (

即 cos 2 B ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 1
2 sin A sin c ? 1 ? cos 2 B , 2 sin A sin C ? 2 sin B
2

? sin B ? sin A sin C ? b ? ac
2 2

注意:切入点是将 cos B 恒等变形,若找不准,将事倍功半。 34. (丁中)x= ab 是 a、x、b 成等比数列的( A.充分非必要条件 C.充要条件 错解:C 或 A B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

2 错因:①误认为 x= ab 与 x ? ab 。②忽视 x, ab 为零的情况。

正解:D 35. (丁中)若 a , b , c , d 成等比数列,则下列三个数:① a ? b , b ? c , c ? d ② ab , bc , cd A、3 B、2 ③ a ? b , b ? c , c ? d ,必成等比数列的个数为( C、1 D、0 )

错解: A. 错因:没有考虑公比 q ? 1 和 q ? ? 1 的情形,将①③也错认为是正确的. 正解: C. 36. (丁中) 已知 { a n } 是递增数列, 且对任意 n ? N 都有 a n ? n ? ? n 恒成立, 则实数 ? 的
*

2

取值范围 7 ? A、( ? , ? ) 2 错解:C

(D)
? B、( 0, ? ) ? C、( ? 2, ? ) ? D、( ? 3, ? )

错因:从二次函数的角度思考,用 ? 正解:D。

?
2

?1

37. (丁中)等比数列 { a n } 中,若 a 3 ? ? 9 , a 7 ? ? 1 ,则 a 5 的值 (A)是 3 或-3 错解:A (B) 是 3 (C) 是-3 (D)不存在

错因:直接 a 3 ? ? 9 , a 5 , a 7 ? ? 1 成等比数列, a 5 ? ( ? 9 )( ? 1) ,忽视这三项要同号。
2

正解:C 38. (薛中)数列 { a n } 的前 n 项和 s n ? n ? 2 n ? 1, 则 a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? ? ? a 25 ?
2

.

A、350 B、351 答案:A 错解:B 错因:首项不满足通项。 39. (薛中)在等差数列 { a n } 中, 最小正数是( A、S17 答案:C 错解:D 错因:
a 11 a 10

C、337

D、338

a 11 a 10

? ? 1 ,若它的前 n 项和 Sn 有最大值,那么 { S n } 中的

) B、S18

C、S19

D、S20

? ? 1 化简时没有考虑 a10 的正负。

40. (薛中)若 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且 0 ? log m ( ab ) ? 1 ,则 m 的取值 范围是( ) B、 (1,8 ) C、 (8 , ?? ) D、 ( 0 ,1) ? (8, ?? )

A、 (1, ?? )

答案:C 错解:B 错因:对数函数的性质不熟。

3 n ?1 3 n ?1 41. (薛中)已知数列 { a n } 的通项公式为 a n ? ( ) [( ) ? 1] ,则关于 an 的最大,最小 4 4 项,叙述正确的是( ) A、最大项为 a1,最小项为 a3 B、最大项为 a1,最小项不存在 C、最大项不存在,最小项为 a3 D、最大项为 a1,最小项为 a4 答案:A 错解:C 3 n ?1 ?1 错因:没有考虑到 n ? N ? 时, 0 ? ( ) 4

42. (案中)等比数列 A、16 B、±16 正确答案: (B)

?a n ?中,已知
C、32

a 1 ? 1, 公比 q ? 2 , 则 a 2 和 a 8 的等比中项为(



D、±32

错误原因:审题不清易选(A) ,误认为是 a 5 ,实质为± a 5 。 43. 案中) ( 已知 ?a n A、67 正确答案:A 错误原因:认为 ?a n

? 的前 n 项之和 S n
B、65

? n ? 4 n ? 1, 则 a 1 ? a 2 ? ? a n 的值为 (
2



C、61

D、55

? 为等差数列,实质为 a n

? ? 2 ( n ? 1) ?? ? 2 n ? 5( n ? 2 )

二填空题:
1. (如中)在等比数列 ? a n ? 中,若 a 3 ? ? 9, a 7 ? ? 1, 则 a 5 的值为____________ [错解] 3 或 ? 3 [错解分析] 没有意识到所给条件隐含公比为正 [正解] ? 3 2. (如中)实数项等比数列 ? a n ? 的前 n 项的和为 S n ,若
1
S 10 S5 ? 31 32

,则公比 q 等于________-

[错解]

8 [错解分析]用前 n 项的和公式求解本题,计算量大,出错,应活用性质 1 [正解] ? 2

3. (如中)从集合 ?1, 2, 3, 4, ? ? ?, 20? 中任取三个不同的数,使这三个数成等差数列,这样的 等差数列最多有_________ [错解]90 个 [错解分析]没有考虑公差为负的情况,思考欠全面

[正解]180 个 4. (如中)设数列 ? a n ? , ?bn ? ? bn ? 0 ? , n ? N 满足 a n ?
?

lg b1 ? lg b2 ? ? ? ? ? lg bn n

,则 ? a n ? 为

等差数列是 ? b n ? 为等比数列的____________条件 [错解]充分 [错解分析] 对数运算不清,判别方法没寻求到或半途而废 [正解]充要 5. (如中)若数列 ? a n ? 是等差数列,其前 n 项的和为 S n ,则 bn ?
?

Sn n

, n ? N , ? bn ? 也是等
?

差数列,类比以上性质,等比数列 ? c n ? , c n ? 0, n ? N ,则 d n =__________,? d n ? 也是等比 数列 [错解]
Sn n
Sn n

[错解分析] 没有对 [正解] n c1c 2 ? ? ? c n

仔细分析,其为算术平均数,

6. (如中)已知数列 ? a n ? 中, a1 ? 3, a 2 ? 6, a n ? 2 ? a n ?1 ? a n , 则 a 2003 等于______________ [错解] 6 或 3 或 ? 3 [错解分析] 盲目下结论,没能归纳出该数列项的特点 [正解] ? 6 7 . 如 中 ) 已 知 数 列 ? a n ? 中 , an ? n ? ? n ( ? 是 与 n 无 关 的 实 数 常 数 ) 且 满 足 ( ,
2

a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? ?a n ? a n ?1 ? ? ? ? ,则实数 ? 的取值范围是___________

[错解] ? ?? , ? 3 ? [错解分析]审题不清,若能结合函数分析会较好 [正解] ? ? 3, ?? ? 8. (如中)一种产品的年产量第一年为 a 件,第二年比第一年增长 p 1 ﹪,第三年比第二年
, , 增长 p 2 ﹪, p 1 ? 0 p 2 ?0 p 1 ?p 2 ?2 且 p, 若年平均增长 x ﹪, 则有 x ___ p (填 ? 或 ? 或 = )

[错解] ? [错解分析]实际问题的处理较生疏,基本不等式的使用不娴熟 [正解] ? 9. (城西中学)给定 a n ? log
n ?1

?n ? 2 ??n ? N ? ? ,定义使 a1 ? a 2 ? ? ? a k 为整数的 k ?k ? N ? ?

叫做“企盼数” ,则在区间(1,62)内的所有企盼数的和是___________. 正确答案:52

错因:大部分学生难以读懂题意,也就难以建立解题数学模型。 10. (蒲中)数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1,则 an=____________ 答案:an= ?
?2 ?2n ? 1
n ?1 n?2

点评:误填 2n-1,忽略“an=Sn-Sn-1”成立的条件: “n≥2” 。 2 11. (蒲中)已知{an}为递增数列,且对于任意正整数 n,an=-n +λ n 恒成立,则λ 的取值 范围是____________ 答案:λ >3 点评:利用二次函数单调性讨论较繁,且易错,利用 an+1>an 恒成立较方便。 12. (江安中学)关于数列有下列四个判断: 1) 2) 3) 若 a , b , c , d 成等比数列,则 a ? b , b ? c , c ? d 也成等比数列; 若数列{ a n }既是等差数列也是等比数列,则{ a n }为常数列; 数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 S n ? a ? 1( a ? R ) ,则{ a n }为等差或等
n

比数列; 4) 数 列 { an } 为 等 差 数 列 , 且 公 差 不 为 零 , 则 数 列 { an } 中 不 会 有
a m ? a n ( m ? n ) ,其中正确判断的序号是______(注:把你认为正确判

断的序号都填上) 正解:(2)(4). 误 解 : (1)(3) 。 对 于 (1)a 、 b 、 c 、 d 成 等 比 数 列 。 ? b ? ac
2

c ? bd
2

bc ? ad ? ?b ? c ? ? ?a ? b ?( c ? d )
2

? a ? b, b ? c, c ? d 也 成 等 比 数 列 , 这 时 误 解 。 因 为 特 列 : a ? ? 1, b ? 1, c ? ? 1, d ? 1 时, a , b , c , d 成等比数列,但 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 ,

c ? d ? 0 ,即 0 ,0 , 0 不成等比。

对于(3)可证当 a ? 1 时,为等差数列, a ? 1 时为等比数列。 a ? 0 等差也不是等比数列,故(3)是错的。

时既不是

13. (江安中学)关于 x 的方程 x ? (3 n ? 2 ) x ? 3 n ? 74 ? 0 ( n ? Z ) 的所有实根之和为
2 2

_____。 正解:168 ? 方程有实根,
? ? ? ( 3 n ? 2 ) ? 4 ( 3 n ? 74 ) ≥0
2 2

解得: 2 ? 104 ≤n≤ 2 ? 104
? x1 ? x 2 ? 3 n ? 2
? 所有实根之和为 3[( ? 8 ) ? ( ? 7 ) ? ... ? 12 ] ? 2 ? 21 ? 168

误解:没能根据条件具体确定 n 的取值,只得出一个关于 n 的多项式结果。 14. (江安中学)有四个命题: 1) 一个等差数列{ a n }中,若存在 a k ?1 ? a k ? 0 ( k ? N ) ,则对于任意自然 数 n ? k ,都有 a n ? 0 ; 2) 一个等比数列{ a n }中,若存在 a k ? 0 , a k ?1 ? 0 ( k ? N ) ,则对于任意
n ? k ,都有 a n ? 0 ;

3)

一个等差数列{ a n }中,若存在 a k ? 0 , a k ?1 ? 0 ( k ? N ) ,则对于任意
n ? k ,都有 a n ? 0 ;

4)

一个等比数列{ a n }中,若存在自然数 k ,使 a k ? a k ?1 ? 0 ,则对于任意
n ? k ,都有 a n ? a n ?1 ? 0 ,其中正确命题的序号是_____。

正解:由等差数列和等比数列的性质得①②④。 误解: “对于等比数列,若 q ? 0 ,各项同号(同正或同负) ,若 q ? 0 ,各项正, 负相间” ,学生对此性质把握不清,故认为②④错。 15. (丁中)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a ? R , a ? 0 ),则数列{an}_______________ A.一定是等差数列 C.或者是等差数列或者是等比数列 错解:B 错因:通项 a n ? a n ?1 ( a ? 1) 中忽视 a ? 1 的情况。 正解:C 16. (丁中)设等差数列 { a n } 中, a 1 ? ? 3 ,且从第 5 项开始是正数,则公差的范围是
3 ( , 1] 4

B.一定是等比数列 D.既非等差数列又非等比数列

3 ( ? 错解: , ? ) 4

错因:忽视 a 4 ? 0 ,即第 4 项可为 0。

3 ( 1] 正解: , 4

17. (丁中)方程 ?x ? mx ?
2

16 3

?? · x ? nx ?
2

16 3

? ? 0 的四个实数根组成一个首项为 32 的等比

数列,则 m ? n ? 正解:
7 18

.
2

错 因 : 设 方 程 x ? mx ?
x1 x 2 ? x 3 x 4 ? 16 3

16 3

? 0 的 解 为 x1 , x 2 ; 方 程 x ? nx ?
2

16 3

? 0 的 解 为 x3 , x4 , 则

,不能依据等比数列的性质准确搞清 x1 , x 2 , x 3 , x 4 的排列顺序.

18. (丁中)等差数列{an}中, a1=25, S17= S 8 ,则该数列的前__________项之和最大,其最大 值为_______。 错解:12 错因:忽视 a 13 ? 0 正解:12 或 13 ,
325 2

19. (薛中)若 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ,则数列 {
2n n ?1 n

1 an

} 的前 n 项和 Sn=



答案: 错解:

n ?1 错因:裂项求和时系数 2 丢掉。

20. (薛中)已知数列 { a n } 是非零等差数列,又 a1,a3,a9 组成一个等比数列的前三项,则
a1 ? a 3 ? a 9 a 2 ? a 4 ? a 10

的值是
13 16



答案:1 或 错解:
13

16 错因:忘考虑公差为零的情况。

21 . (薛中 )对 任意 正整数 n, a ? n ? ? n 满足 数列 是递 增数 列, 则 ? 的 取值 范围
n 2



。 答案:由 a n ?1 ? a n 得 ? ? 3 错解: ? ? ? 2

错因:利用二次函数的对称轴,忽视其与 ? ?
2

3 2

的关系。

22. (案中)数列 ?a n ? 的前 n 项之和为 S n ? 2 n ? 3 n ,若将此数列按如下规律编组: a 1 ) ( 、 ( a 2 , a 3 )、 a 4 , a 5 , a 6 ) ( 、??,则第 n 组的 n 个数之和为 正确答案: 2 n ? 3 n
3



错误原因:未能明确第 n 组各项的构成规律,尤其是首项和最后一项,从而找不到合适的解 n ? n ? 1? n ? n ? 1? ?S 法,应转化为: S 2 2
? 1 ? 23. (案中)若 an=1+2+3+?+n,则数列 ? ? 的前 n 项之和 S n = ? an ?



正确答案: S n ?

2n n ?1
1 2 n ( n ? 1), 另有部分学生对数列的 裂项求和意识性

错误原因:未能将 an 先求和得 a n ? 不强。 24. 案中) ( 若数列 ?a n

? 为等差数列且 b n

?

a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n n

, 则数列 ?b n ?也是等差数列



类比上述性质,相应地若数列 ?c n ?是等比数列,且

c n >0, d n ?

,则有

?d n ?也是等比数列(以上
正确答案: d n ?
n

n ? N)

c1 c 2 ? ? ? c n

错误原因:类比意识不强

三、解答题:
1. (如中)设数列的前 n 项和为 S n ? n 2 ? 2 n ? 4( n ? N ? ) ,求这个数列的通项公公式
? a n ? S n ? S n ?1 , ? an ? 2n ? 1 ? n ? N
?

[错解]

?

[错解分析]此题错在没有分析 n ? 1 的情况,以偏概全.误认为任何情况下都有
a n ? S n ? S n ?1 ? n ? N
?

?

[正解]

n ? 1时 , a1 ? S1 ? 7, n ? 2时 , a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n ? 1

? 7 ? n ? 1? 因此数列的通项公式是 a n ? ? ?2n ? 1? n ? 2 ?

2. (如中)已知一个等比数列 ? a n ? 前四项之积为 数列的公比. [错解]? 四个数成等比数列,可设其分别为
a q
3

1 16

,第二、三项的和为 2 ,求这个等比

,

a q

, aq , aq ,

3

1 ? 4 ? a ? 16 ? 则有 ? ,解得 q ? a ? ? aq ? 2 ?q ?

2 ?1或q ? ? 2 ?1 ,

故原数列的公比为 q 2 ? 3 ? 2 2 或 q 2 ? 3 ? 2 2 [错解分析]按上述设法,等比数列公比 q ? 0 ,各项一定同号,而原题中无此条件
2

[正解]设四个数分别为 a , aq , aq , aq ,
1 ? 4 6 ? a q ? 16 , 则? ? aq ? aq 2 ? 2 ?
? ?1 ? q ? ? 64 q
4 2

2

3

由 q ? 0 时,可得 q 2 ? 6 q ? 1 ? 0,? q ? 3 ? 2 2 ; 当 q ? 0 时,可得 q 2 ? 10 q ? 1 ? 0,? q ? ? 5 ? 4 6 3. (石庄中学) 已知正项数{an}满足 a1= a (0<a<1) ,且 a n ?1 ?
an 1 ? an

,求证:

(I) a n ?

an 1 ? ( n ? 1) a



(II)

? k ? 1 ?1.
k ?1

n

ak

解析:(I) 将条件 a n ?1 ?

an 1 ? an 1 a1

变形,得

1 a n ?1

?

1 an 1 a4

? 1.

于是,有

1 a2

?

?1,

1 a3

?

1 a2

?1,

?

1 a3

? 1 ,??

1 an

?

1 a n ?1

? 1.

将这 n-1 个不等式叠加,得

1 an

?

1 a

? n ? 1 ,故 a n ?

an 1 ? ( n ? 1) a

.

(II) 注意到 0<a<1,于是由(I)得 a n ?

an 1 ? ( n ? 1) a

=

1 1 a ? n ?1

?

1 n



从而,有 ?

n

ak k ?1

?

k ?1

? k ( k ? 1) ? ? k ?
?
k ?1 k ?1

n

1

n

?1

?

1 ? ?1. ? ?1? k ? 1? n ?1 1

4. (搬中) 已知数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n 满足 log 2 ( S n ? 1) ? n ? 1 ,求数列 ? a n ? 的通项公 式。 解:? log 2 ( S n ? 1) ? n ? 1
? Sn ? 1 ? 2
n ?1

,Sn ? 2

n ?1

?1

当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 3 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2
? ? a n ? 的通项公式为
n

? 3 ( n ? 1) an ? ? n ?2 ( n ? 2 )

说明:此题易忽略 n ? 1 的情况。 a n ? S n ? S n ?1 应满足条件 n ? 2 。 5. (搬中)等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , S 3 ? S 6 ? 2 S 9 ,求公比 q 。 解:若 q ? 1 则 S 3 ? 3a 1 , S 9 ? 9 a 1 , S 6 ? 6 a 1
? 9 a1 ? 2 ? 9 a1 ? a1 ? 0

? 矛盾

?q ?1 ? a 1 (1 ? q )
3

1? q
3 6

?
3

a 1 (1 ? q )
6

1? q

? 2?

a 1 (1 ? q )
9

1? q

? q ( 2 q ? q ? 1) ? 0 ?q ? 0 ? 2q ? q ? 1 ? 0
6 3

? ( 2 q ? 1)( q ? 1) ? 0
3 3

?q ?1 ? 2q ? 1 ? 0
3

?q ?

?3 4 2

说明:此题易忽略 q ? 1 的情况,在等比数列求和时要分公比 q ? 1和 q ? 1 两种情况进 行讨论。 6. (搬中)求和 1 ? 2 x ? 3 x ?? ? nx
2 n ?1



解:若 x ? 0 则 Sn ? 1 若x ?1 则Sn ? 若x ? 0 且x ?1 令 S n ? 1 ? 2 x ? 3 x ?? ? nx
2 2 3 n ?1

n ( n ? 1) 2

则 xS n ? x ? 2 x ? 3 x ?? ? ( n ? 1) x 两式相减得
(1 ? x ) S n ? 1 ? x ? x ? ? ? x
2 n ?1

n ?1

? nx

n

? nx

n

? Sn ?

1? x

n 2

(1 ? x )

?

nx

n

1? x

说明: 此题易忽略前两种情况。 数列求和时, 若含有字母, 一定要考虑相应的特殊情况。 7.(磨中)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2—16n—6,求数列{|an|}的前 n 项和 Sn’ 正确答案:Sn’= —n2+16n+6 n≤8 时 2 n —16n+134 n>8 时 错误原因:运用或推导公式时,只考虑一般情况,忽视特殊情况,导致错解。 8.(磨中) 已知函数 f(x)= —Sin2x—aSinx+b+1 的最大值为 0,最小值—4 ,若实数 a>0, 求 a、b 的值。 正确答案:a=2 b= —2 错误原因:忽略对区间的讨论。 9.(磨中)数列{an}的前 n 项和 Sn=n2—7n—8 求数列通项公式 正确答案:an= —14 n=1 2n—8 n≥2 错误原因: n≥2 时,an=Sn—Sn—1 但 n=1 时,不能用此式求出 a1 1 1 1 10.(磨中)求和(x+ )2+(x2+ 2 )2+??(xn+ n )2 x x x 2 正确答案:当 x =1 时 Sn=4n

当 x2≠1 时 Sn=

(x

2n

? 1)( x x
2n 2

2n?2

? 1)

( x ? 1)

+2n

错误原因:应用等比数列求和时未考虑公比 q 是否为 1 11. (城西中学) 学校餐厅每天供应 1000 名学生用餐, 每星期一有 A、 两样特色菜可供选择 B (每 个学生都将从二者中选一) 调查资料表明, , 凡是在本周星期一选 A 菜的, 下周星期一会有 20% 改选 B,而选 B 菜的,下周星期一则有 30%改选 A,若用 A n 、B n 分别表示在第 n 个星期一选 A、 B 菜的人数。 (1)试以 A n 表示 A n ?1 ; (2)若 A 1 =200,求{A n }的通项公式; (3)问第 n 个星期 一时,选 A 与选 B 的人数相等? 正确答案: (1)由题可知, A n ?1 ? A n ? (1 ? 0 . 2 ) ? 0 .3 ? B n ,又 A n ? B n ? 1000 ; 所 以 整 理 得 : A n ?1 ?
A n ?1 ? x ? 1 2 1 2 A n ? 300 。 2 ) 若 A (
1

=200 , 且 A n ?1 ?

1 2

An ? 3 0 0 , 则 设

( A n ? x ) 则 x ? ? 600 , 1 2 ( A n ? 600 ) 即{A n -600}可以看成是首项为-400,公比为 1 2

∴ A n ?1 ? 600 ?

的等比数列。

1 n ?1 ? 600 ; ∴ A n ? ( ? 400 ) ? ( ) (3)∵ A n ? B n ,又 A n ? B n ? 1000 则 A n ? 500 , 由 2 1 n ?1 ( ? 400 ) ? ( ) ? 600 ? 500 得 n ? 3 。即第 3 个星期一时,选 A 与选 B 的人数相等。 2 错因:不会处理非等差非等比数列。 2 12. (城西中学)设二次函数 f(x)=x +x,当 x ? [n,n+1](n ? N +)时,f(x)的所有整数值的个 数为 g(n). (1) 求 g(n)的表达式;

(2)

设 an=

2 n ? 3n
3

2

g (n)

( n ? N +),Sn=a1-a2+a3-a4+?+(-1) an,求 Sn;
n-1

,Tn=b1+b2+?+bn, 若 Tn<L( L ? Z ),求 L 的最小值。 n 2 2 正确答案: (1)当 x ? [n,n+1](n ? N +)时,函数 f(x)=x +x 的值随 x 的增大而增大,则 f(x) (3) 设 bn= 的值域为 n ? n , n ? 3 n ? 2 (n ? N +) g ( n ) ? 2 n ? 3 (n ? N +)
2 2

g (n)

?

?

(2) a n ?

2 n ? 3n
3

2

g (n)

?n

2

① 当 n 为偶数时
s n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? ? ? a n ?1 ? a n ? (1 ? 2 ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? [( n ? 1) ? n ]
2 2 2 2 2 2

= ? [ 3 ? 7 ? ? ? ( 2 n ? 1)] ? ? ②当 n 为奇数时

3 ? ( 2 n ? 1) 2

?

n 2

??

n ( n ? 1) 2

s n ? ( a 1 ? a 2 ) ? ( a 3 ? a 4 ) ? ? ? ( a n ? 2 ? a n ?1 ) ? a n ? s n ?1 ? a n

=?

n ( n ? 1) 2
n ?1

?n ?
2

n ( n ? 1) 2

∴ s n ? ( ? 1) (3)由 b n ? ①×
1

n ( n ? 1) 2

g (n) 2
n

,得 T n ?

5 2 7

?

7 2
2

?

9
3

???

2n ? 1 2 2n ? 3
n ?1

?

2n ? 3 2
n



1 5 ? 得: T n ? 2 ? 3 ? ? ? ② n n ?1 2 2 2 2 2 2 2n ? 7 ①-②得 T n ? 7 ? n 2 2n ? 7 则由 T n ? 7 ? ﹤L( L ? Z ),L 的最小值为 7。 n 2 错因:1、①中整数解的问题 2、②运算的技巧 3、运算的能力

2 2n ? 1

12. (薛中)已知数列 { a n } 中,a1=8, a4=2 且满足 a n ? 2 ? 2 a n ?1 ? a n ? 0 ( n ? N *) (1)求数 列 {a n } 的 通项公式(2)设 S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ,求 Sn (3)设 b n ?
1 n (12 ? a n ) , Tn ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ( n ? N *) ,是否存在最大的整数 m,使得

对任意 n ? N *, 均有 Tn ? 答案:(1) a n ? ? 2 n ? 10

m 32

成立?若存在,求出 m,若不存在,请说明理由。

(2)Sn=

? n ? 9n
2

1? n ? 5 n?6

n ? 9 n ? 40
2

(3)由(1)可得 b n ?
则 T n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ?

1 2 n ( n ? 1)

?

1 1 1 ( ? ) 2 n n ?1

) 由 Tn 为 2 3 n n ?1 2 n ?1 1 m 关 于 n 的 增 函 数 , 故 (T n ) min ? T1 ? , 于 是 欲 使 Tn ? 对 n ? N * 恒成立,则 4 32 m 1 ? 则 m ? 8 ? 存在最大的整数 m=7 满足题意。 32 4 2 2

1

[(1 ?

1

)?(

1

?

1

) ? ??? ? (

1

?

1

)] ?

1

(1 ?

1

错因:对(2)中 a n 表达式不知进行分类讨论;对(3)忽视讨论 Tn 的单调性。

13. (蒲中)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn—1=0(n≥2) 1= ,a (1)求证: ?
? 1 ? (2)求 an 的表达式。 ? 成等差数列; ?Sn ?

1 2



解: (1)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,又 an+2SnSn-1=0,∴Sn-Sn-1+SnSn-1=0 若 Sn=0,则 a1=S1=0 与 a1=
1 2

矛盾,∴Sn≠0,∴

1 Sn

?

1 S n ?1

? 2 ,又

1 S1

?2

∴ ?

? 1 ? ? 成等差数列。 ?Sn ?
1 Sn ? 2n , S n ?

(2)由(1)知:

1 2n
1 2 n ( n ? 1)

当 n≥2 时,an=-2SnSn-1=-

,当 n=1 时,a1=

1 2

?1 ?2 ? ∴ an ? ? 1 ?? ? 2 n ( n ? 1) ?

n ?1

n?2

点评:本题易错点忽视公式 an=Sn -Sn - 1 成立的条件“n≥2” ,导致(2)的结果
an ? ? 1 2 n ( n ? 1)
n ?1

14. (江安中学)设 a 0 为常数,且 a n ? 3 1) 2) 证明对任意 n ≥ 1, a n ?

? 2 a n ?1 ( n ? N ? )
[ 3 ? ( ? 1)
n n ?1

1 5

? 2 ] ? ( ? 1) 2 a 0 ;
n n n

假设对任意 n≥1 有 a n ? a n ?1 ,求 a 0 的取值范围
n n ?1

证明:①设 a n ? ? ? 3 ? ? 2 ( a n ?1 ? ? ? 3 用 an ? 3
? {a n ?
n ?1

)

? 2 a n ?1 代入,解出: ? ?

1 5
3 5 3 5 )( ? 2 )
n ?1

3

n

5
n

} 是公比为-2,首项为 a 1 ?

的等比数列。

? an ?

3

5

?

(1 ? 2 a 0 ?

(n ? N ? )





an ?

3 ? ( ? 1)
n

n ?1

?2

n

5

? ( ? 1) ? 2 a 0
n n

②若 a n ? a n ?1 ( n ? N ? ) 成立,特别取 n ? 1, 2 有
a1 ? a 0 ? 1 ? 3a 0 ? 0, a 2 ? a1 ? 6 a 6 ? 0, ? 0 ? a 0 ?
1 3

下面证明 0 ? a 0 ? 由 a n 通项公式

1 3

时,对任意 n ? N ? ,有 a n ? a n ?1 ? 0

5 ( a n ? a n ?1 ) ? 2 ? 3

n ?1

? ( ? 1)

n ?1

?3?2

n ?1

? ( ? 1) ? 5 ? 3 ? 2
n

n ?1

a0 ,

i) 当 n ? 2 k ? 1, k ? 1, 2 ,... 时,
5 ( a n ? a n ?1 ) ? 2 ? 3
n ?1

? 3?2

n ?1

? 5?3?2

n ?1

a0 ? 2 ? 2

n ?1

? 3?2

n ?1

?5?2

n ?1

?0

ii) 当 n ? 2 k , k ? 1, 2 ,... 时,
5 ( a n ? a n ?1 ) ? 2 ? 3
n ?1

? 3?2

n ?1

≥0

1 故 a 0 的取值范围为 ( 0 , ) 3

误解:①对于等比数列: { a n ?

3

n

5

} 先构造出 a n ? ? ? 3 ? ? 2 ( a n ?1 ? ? ? 3
n

n ?1

)求

? ?

1 5

,难度较大,若用数学归纳法证明同学容易想到。

②通过对 n 为奇数或为偶数的讨论找出 a 0 的取值范围有难度。


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