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重庆市万州分水中学高中数学《1.3.3函数的最大(小)值与导数》导学案 新人教A版选修2-2

时间:2013-11-07


重庆市万州分水中学高中数学《1.3.3 函数的最大(小)值与导数》 导学案 新人教 A 版选修 2-2
学习目标 ⒈理解函数的最大值和最小值的概念; ⒉掌 握 用 导 数 求 函 数 最 值 的 方 法 和步骤. 学习过程 一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:若 x 0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x 0 的两侧 f (x) 的导数异号,则 x 0 是 f (x) 的极值点,

f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?(x) 在 x 0 两侧 满足“左正右负” 则 x 0 是 f (x) 的 , 点, f ( x0 ) 是极 值;如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足“左负右正” ,则 x 0 是 f (x) 的 点, f ( x0 ) 是
极 值 复习 2: 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ?cx(a ? 0) 在 x ? ?1 时取得极 值, f (1) ? ?1 , 且 (1) 求 试 常数 a、b、c 的值; (2)试判断 x ? ?1 时函数有极大值还是极小值,并说明理由.

二、新课导学 学习探究 探究任务一: 函数的最大(小)值 问题:观察在闭区间 ?a, b ? 上的函数 f (x) 的图象,你能找 出它的极大(小)值吗?最大 值,最小值呢?

在图 2 中,在闭区间 ?a, b ? 上的极大值是 ,极小 值是 ;最大值是 ,最小 值是 . 新知:一般地,在闭区间 ?a, b ? 上连续的函数 f (x) 在 ?a, b ? 上必有最大值与最小值. 试试:

图1 图2 在图 1 中,在闭区间 ?a, b ? 上 的 最 大 值 是

,最小值是



上图的极大值点 ,为极小值点为 ; 最大值为 ,最小值为 . 反思: 1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得 出的. 2.函数 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上连续,是 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的
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条件 3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个, 可能一个没有. 典型例题
1 例 1 求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大值与最小值. 3

小结:求最值的步骤 (1)求 f ( x) 的极值; (2)比较极值与区间端点值,其中最大的值为最大值,最小的值为 最小值.

x 2 ? ax ? b , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、b ,使 f (x) 同时满足 x 下列两个条件: (1) f (x) 在 (0,1) 上是减函 数,在 [1, ??) 上是增函数; (2) f (x) 的最小值是
例2 已知 f ( x) ? log 3 1; 若存在,求出 a、b ,若不存在,说明理由.

6 2 3 函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? b 在区间 [?1,1] 上的最大值为 1, 最小值为 ? , ? a ? 1, 2 3 2 求函数的解析式.

变式: 设

小结:本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法,从逆向思维出发, 实现 由已知向未知的转化,转化过程中通过列表,直观形象,最终落脚在比较极值点与端点 值大小上,从而解决问题. 动手试试 练 1. 求函数 f ( x) ? 3x ? x3 , x ? [1, 2] 的最值.

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练 2. 已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? a 在 [?2, 2] 上有最小值 ?37 .(1)求实数 a 的值; (2)求 f ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值.

三、总结提升 学习小结 设函数 f (x) 在 ?a, b ? 上连续, (a, b) 内可导, 在 则求 f (x) 在 ?a, b ? 上的最大值与最小值的步骤 如下: ⑴求 f (x) 在 (a, b) 内的极值; ⑵将 f (x) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最值.

知识拓展 利用导数法求最值,实质是在比较某些函数值来得到最值,因些我们可以在导数法求极 值的思路的基础上进行变通.令 f ?( x) ? 0 得到方程的根 x1 , x2 ,? ,直接求得函数值,然后去 与端点的函数值比较就可 以了,省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合,也 可以求最值. 学习评价

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 在区间 [0,3] 上的最大值、最小值分别为 M 、N,则 M ? N 的值为 ( ) A.2 B.4 C.18 D.20 3 2 2. 函数 f ( x) ? x ? 3x( x ? 1) ( ) A.有最大值但无最小值
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B.有最大值也有最小值 C.无最大值也无最小值 D.无最大值但有最小值 3. 已知函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间 [a, 2] 上的最大值为
3 1 1 1 3 B. C. ? D. 或 ? 2 2 2 2 2 4. 函数 y ? x ? 2 x 在 [0, 4] 上的最大值为 15 ,则 a 等于( 4



A. ?

5. 已知 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? m ( m 为常数)在 [?2, 2] 上有最大值,那么此函数在 [?2, 2] 上的最 小值是

课后作业 1. a 为常数,求 函数 f ( x) ? ? x3 ? 3ax(0 ? x ? 1) 的最大值.

2. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? a , (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上 的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

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