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高考数学 圆锥曲线与方程考点分析

时间:2016-04-25

圆锥曲线与方程考点分析 【复习点拨】
圆锥曲线部分内容多、难度大、综合性强,为了提高学生的复习效率和复习质量,首先应 抓住解析几何的特点即熟悉平面几何的性质,以坐标法为桥梁,用代数法来研究处理集合问 题,复习时应重点突破以下内容: 1. 深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义,能灵活运用定义解题; 2. 要熟练掌握各类圆锥曲线的标准方程、图象、几何性质,加强对基础知识的训练; 3. 要加强思想方法和能力的训练用类比的方法复习椭圆、 双曲线、 抛物线的定义和几何性质, 要掌握反映解析几何问题的基本方法; 4. 要掌握求曲线方程的一般方法;直线与圆锥曲线的位置关系的判定;求弦长、对称等问题 的解法;求有关参数范围的常用方法。

【题型预测】
圆锥曲线是解析几何的核心内容,是高中数学的重点,也是历年高考命题的热点 。客观题 重点考查圆锥曲线的定义及应用;圆锥曲线的标准方程;圆锥曲线的基本量(a、b、c、e、p 等)还有离心率等问题。解答题考查的热点是:求圆锥曲线的方程和轨迹方程;圆锥曲线的 的几何性质;直线与圆锥曲线的位置关系;范围、最值问题。许多试题虽以圆锥曲线形式出 现,但要解决它,还需要涉及到函数、不等式、方程、三角、向量、导数等有关知识的综合 应用。

【考点分析】
考点一、圆锥曲线的标准方程
求圆锥曲线的标准方程主要有两种方法,一是待定系数法,其步骤是: (1)定位,确定曲 线的焦点在哪个坐标轴上; (2)设方程,根据焦点的位置设出相应的曲线的方程; (3)定值, 根据题目条件确定相关的系数。另一种方法是定义法,根据题目的条件,判断是否满足圆锥 曲线的定义,若满足,求出相应的 a、b、c、p 即可求得方程。 例 1、已知双曲线的两个焦点为 F1 、F2 ,离心率为 2 ,且经过点(4,- 10 ) ,求双曲线的 标准方程 分析:由离心率为 2 ,可知双曲线为等轴双曲线,但焦点在 x 轴还是 y 轴不确定,故可用 x
2 2 -y =λ(λ≠0)来假设其标准方程,由点(4,- 10 )可求得方程

2 2 解析: (1)因为双曲线的离心率为 2 ,所以双曲线为等轴双曲线,可设其方程为 x -y =λ

(λ≠0) ,由双曲线过点(4,- 10 ) ,得 42 -(- 10 )2 =λ, 即λ=6。

x2 y 2 ? ? 1。 所以双曲线的标准方程为 6 6
点评:本题主要考查双曲线的标准方程、性质。求双曲线方程时,若焦点所在坐标轴不确 定,则标准方程的形式也不能确定,通常要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论,也可设满

足某条件的双曲线系的标准方程,用待定系数法求解,如等轴双曲线可设为 x -y =λ(λ≠ 0) 。渐进线为





x2 y 2 x y 的双曲线系可设为 ? ? ? (? ? 0) 。 ? ?0 a 2 b2 a b
x 2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ,点 M 的轨

例 2、点 M(x,y)在运动过程中,总满足关系式 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 迹是什么曲线?写出它的方程。

思路分析:如果将关系式整理,通过化简后的方程来指出曲线形状,则会比较复杂。这里观 察式子的特点发现两个根号实际上是两点间的距离公式,根据几何意义,可以用定义求解。 解:

x 2 ? ( y ? 1)2 ? x 2 ? ( y ? 1)2 ? 4

即为 ( x ? 0)2 ? ( y ? 1)2 ? ( x ? 0)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 设 F1 (0,1),F2 (0,-1),则|MF1 |+MF2 |=4,即动点 M 到两定点 F1 ,F2 的距离之和为定植 2a=4,且 2a>|F1 F2 |=2, 所以点 M 的轨迹是椭圆,且椭圆的焦点为 F1 (0,1),F2 (0,-1)。 所以 2c=2,c=12a=4,a=2 所以点 M 的轨迹方程为

y 2 x2 ? ?1 4 3

点评: (1)将代数式转化为几何意义,结合椭圆的定义解题,是本题快速突破的关键; (2) 本题还可以将所给的代数式整理,由化简后的方程指出轨迹。

考点二、圆锥曲线的离心率
求离心率 e 的值,要寻找 a、b、c 之间的另一等量关系;求 e 的取值范围,则要寻求 a、b、 c 之间的不等式关系,再由不等式求解,有时还要适当利用放缩法,体现了方程和不等式的数 学思想。 例 3、 (2004 年全国)双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b) ,且 a 2 b2
4c , 求双曲线的离心率 e 5

点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)的到直线 l 的距离之和 s ? 的取值范围。 分析:首先求出 s,将不等式 s ?

c 4c 转化为 a、b、c 的关系,将 b 用 a、c 表示,再由 e= 即 a 5

可化为 e 的关系式,进而求出 e 的范围。 解析:直线 l 的方程为

x y ? ? 1 ,即 bx+ay-ab=0,由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点 1, a b

0 ) 到 直 线 l 的 距 离 d1 =

b(a ? 1) a 2 ? b2
=

, 同 理 得 到 点 ( -1 , 0 ) 的 到 直 线 l 的 距 离

d2 =

b(a ? 1) a 2 ? b2

,s=d1 +d2 =

2ab a 2 ? b2

2ab 4c 2ab 4c 2 2 ,由 s ? ,得 ,即 5a c ? a ? 2c2 . 于是 ? c 5 c 5

得 5a e ? 1 ? 2e ,即 4e -25e +25 ? 0, 解不等式得
2
2 4 2

5 ? e 2 ? 5 ,由于 e>1>0,所以 e 的取值范 4

围是

5 ?e? 5 2

点评:求双曲线的离心率或离心率的取值范围的常用方法有两种:一种是直接建立 e 的关系 式求 e 或 e 的范围;另一种是建立 a、b、c 的齐次关系式,将 b 用 a、c 表示,令两边同除以 a 或 a 化为 e 的关系式,进而求解,有时也可借助于圆锥曲线的统一定义求界
2

考点三、圆锥曲线的最值问题
最值问题常见的解法有两种:代数法和几何法,若题目的条件和结论能明显体现集合特征 及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法;若题目的条件和结论难体现一种明确 的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配 方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法,这种方法是代数法。这类问题往往是代 数、几何多方面知识的渗透,函数与方程、转化与化归、分类讨论等多种思想的交叉运用, 考查学生观察、分析、综合、创新等多方面的综合思维能力。 例 4、设 P 是抛物线 y2 =4x 上的一动点,求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之 和的最小值。 分析:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,由此对所 求距离实转化。 解析:如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线为 x=-1,由抛物线 的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离,于 是,问题转化为:在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离 与点 P 到焦点 F 的距离之和最小。显然,连结 AF 交曲线于 P 点,
2 故最小值为 2 ? 1 ,即 5 。

y

A O x-1

P F x

点评:与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关。由于抛物线的定义在 应用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度。本题主要考查利用定义把抛物线上 的点到准线的距离转化为到焦点的距离,从而构造出“两点间线段最短” ,使问题获解。

考点四、直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系有 3 种,相交、相切、相离,即判断直线与圆锥曲线有无公共 点或有几个公共点的问题,实际上是研究他们的方程组成的方程组是否有解问题。通过消元 最终转化为讨论一个一元二次方程实数解的个数问题,涉及弦长的问题中,应熟练地利用根 与系数的关系设而不求计算弦长(即运用弦长公式) ,涉及垂直关系往往也是利用根与系数的 关系,设而不求简化运算。有关弦的中点的问题,常用“点差法” “设而不求”整体来求,但 在求直线方程中,一定要代入原方程进行检验。
2 例 5、 (2006 全国)已知抛物线 x =4y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点。且 AF ? ? FB

( ? >0) ,过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M。 (1)证明: FM ? AB 为定值; (2)设 ? ABM 的面积为 S,写出 S=f( ? )的表达式,并求 S 的最小值。 分析: (1)设出 A、B 的坐标,将交点 M 的坐标用 A、B 的坐标表示,求出数量积。 (2)将面 积表示成 ? 的函数,然后根据不等式求最值。 解析: (1)由已知条件,得 F(0,1), ? >0,设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ), 由 AF ? ? FB ,即得(-x1 ,1-y1 )

= ? (x2 ,y2 -1),所以 ? 所以 y1 = ? ,y2 =

?? x1 ? ?x2 2 2 又因为 x1 =4y1 ,x2 =4y2 , ?1 ? y1 ? ? ( y2 ? 1)

1 ,x1 x2 =- ? x2 2 =-4 ? y2 =-4 ? 1 2 ’ 1 抛物线方程为 y= x , 求导得 y = x, 4 2
所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 y= 即 y=

1 1 x1 (x-x1 )+y1 ,y= x2 (x-x2 )+y2 , 2 2

1 1 1 1 x1 x- x1 2 ,y= x2 x- x2 2 . 2 4 2 4

x1 ? x2 x1 x2 x ? x2 , )=( 1 ,-1) 2 2 4 x ? x2 1 1 1 所以 FM ? AB =( 1 ,-2)·(x2 -x1 ,y2 -y1 )= (x2 2 -x1 2 )-2( x2 2 - x1 2 )=0, 2 2 4 4
解出两条切线的 交点 M 的坐标为( 所以 FM ? AB 为定值,其值为 0。 (2)由(1)知在 ? ABM 中,FM ? AB ,因而 S=

1 |AB||FM| 2

|FM|=

( 1

x1 ? x2 2 ) ? (?2) 2 = 2
1

1 2 1 2 1 x1 ? x2 ? x1 x2 ? 4 = 4 4 2

1 y1 ? y2 ? ? (?4) ? 4 = 2

??

?

?2= ? ?

?
A 、 B 到 抛 物 线 准 线 y=-1 的 距 离 , 所 以

因 为 |AF| 、 |BF| 分 别 等 于 |AB|=|AF|+|BF|=y1 +y2 +2= ? ?

1

?

+2=(

??

1

?

)2

于是 S=

1 1 1 2 |AB||FM|= ( ? ? ), 2 2 ?



??

1

?

? 2 知 S ? 4,且当 ? =1 时,S 取得最小值 4。

点评:纵观近年高考解析几何试题,与向量联系或借助向量进行求解的比比皆是,向量的坐 标表示与解析几何中点的坐标恰到好处的融为一体,使解析几何与向量有机的结合在一起, 不仅增加了难度还增加了灵活性。有些很难运算下去的式子,借助向量很快就可以得出结论。 向量与其他知识的交汇内容是高考的重点考查内容。本题融向量的线性运算、数量积运算、 导数的几何意义、基本不等式求最值、抛物线的几何性质于一体,考查了运用所学知识与方 法分析、解决问题的能力。

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