nbhkdz.com冰点文库

【高考复习方案】专题4-立体几何-2015年高三数学(理科)二轮复习-浙江省专用

时间:2015-03-14


专题四

立体几何

第10讲 第11讲 第12讲

空间几何体的三视图、表面积及体积 空间中的平行与垂直 空间向量与立体几何

核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

第10讲

空间几何体的三视图、 表面积及体积

返回目录

第10讲 空间几何体的三视图、表面积及体积

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 空间几何 体的三视图和直观 图 关键词:空间 几何体、三视图(正 视图、侧视图、俯 视图),如①②③.

1 . [2013· 湖南卷改编 ] 已知棱 长为 1 的正方体的俯视图是一个面 积为 1 的正方形,则该正方体的 正视图① 的 面 积 的 取 值 范 围 是 ________.
[答案] [1, 2]

[解析] 由题可知,该正方体的俯 视图恰好是正方形,则正视图面积的 最大值应是1? 1+1 = 2 ,最小值 为1,故面积的取值范围为[1, 2].
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

2.[2013· 四川卷改编] 一个几何体的 三视图② 如图101所 示,则该几何体为________.

图101

[答案] 圆台
[解析] 根据三视图可知该几何体为圆台.
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

3.[2014· 新课标全国卷Ⅰ改编] 这个几何体是_____________.

如图102所示,网格纸的各

小方格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的 三视图③ ,则

图102
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

核 心 知 识 聚 焦

[答案] 三棱柱
[解析] 从俯视图为矩形可以看出,此几何体不可能是三棱 锥或四棱锥,其直观图如图,是一个三棱柱.

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 空间几何 体的表面积和体积 关键词:空间 几何体、表面积、 体积,如④⑤.

4.[2014· 浙江卷改编] 某几何 体的三视图如图103所示,则此几 何体的 表面积 是__________.


图103
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

[答案] 138
核 心 知 识 聚 焦

[解析]该几何体的直观图如图所示,其表面积为2(4× 3+ 1 6× 3+6× 4)+2× 3+3?5-3× 3=138. 2?3?4+4×

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

5.[2013· 浙江卷] 若某几何体的三视图(单位:cm)如 图104所示,则 此几何体的体积 等于________cm3.


图104

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

核 心 知 识 聚 焦

[答案] 24
[解析]此几何体知直观图是一个直三棱柱挖去一个三 1 1 1 棱锥而得,如图所示,则体积为 2 ?3?4?5- 3 ? 2 ?3?4 ?3=24.

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 球与多


6.[2013· 天津卷] 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 , 9π 若球的体积为 2 ,则正方体的棱长为 ______.
[答案] 3
? ? ? ?
3 3a? ? 2 ? ?

面体 关键词: 球、多面体、多 面体的外接球、 多面体的内切 球、表面积、体 积,如⑥.

4 [解析] 设正方体的棱长为a,则 3 π 9 = π ,解之得a= 3. 2

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

—— 教师知识必备 ——
知识必备 空间几何体
在平行投影中,光线从几何体的前 面向后面正投影得到的投影图

正视图

三 正视图与侧视图高平齐; 在平行投影中,光线从几何体的左 视 侧视图 侧视图与俯视图宽相等; 面向右面正投影得到的投影图 空 图 俯视图与正视图长对正 间 在平行投影中,光线从几何体的上 俯视图 几 面向下面正投影得到的投影图 何 使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其 体 画法 他部分 直 观 图 面积 关系 水平放置的平面图形的面积为S,使用斜二测画法画出的直观 图的面积为S′,则S=2 2S′

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

—— 教师知识必备 ——
表面积 棱 柱 棱 锥 S全=S侧+2S底 表面 S全=S侧+S底 积即 空间 几何 S全=S侧+S上底+ 体暴 露在 S下底 外的 所有 面的 S全=2π r2+2 面积 π rh(r:底面 之和 半径,h:高或 母线长) V=S底?h高 1 V=3S底?h高 1 V=3(S′+ S′S+S)h (S′,S:上、 下底面积, h:高) V=π r2h(r: 底面半径, h:高) 1 V锥=3S· h 体积

空 间 几 何 体

表 面 积 和 体 积

棱 台

1 V台=3(S′+ S′S+S)h

圆 柱

V柱=S· h

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

—— 教师知识必备 ——
表面积 体积

空 间 几 何 体

表 面 积 和 体 积

S全=π r2+π rl 1 V=3π r2h(r: 1 (r:底面半 圆 表面 V锥=3S· h 锥 径,l:母线 积即 底面半径,h: 高) 长) 空间 几何 S全=π (r′2+r2 1 1 体暴 V= π (r′2+r′r V台= (S′+ S′S+S)h 3 3 +r′l+rl) 露在 +r2)h 圆 (r:下底半 外的 (r′,r:上、下 台 径,r′:上底 所有 底半径,h: 半径,l:母线 V柱=S· h 面的 高) 长) 面积 之和 S球=4π R2 4 球 V球=3π R3(R为球的半径) (R为球的半径)

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积
? 考点一 三视图与直观图

空间几何体——柱、锥、台、球,组合体的结构特征的应用

三视图

——1.根据三视图得出空间几何体;2.根据空间 几何体得出三视图

考 点 考 向 探 究

直观图

——1.由直观图判断空间几何体;2.根据已知条 件画出空间几何体的直观图帮助解题

题型:选择、填空 分值:5分 热点:三视图及相关计算

难度:中等

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

例1 已知四棱锥PABCD的三视图如图105所示, 则围成四棱锥PABCD的五个面中面积的最大值是( ) A.3 B.6 C.8 D.10

考 点 考 向 探 究
图105
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

考 点 考 向 探 究

[答案] C [解析] 四棱锥P?ABCD的直观图如图所示,其中侧面PCD ⊥底面ABCD,且顶点P在平面ABCD内的射影为CD的中点E, 取AB的中点F,连接PF,FE,PE.易知PE= 5 ,EF=2,所以 PF=3.显然四棱锥的四个侧面中△PAB的面积最大,其面积为 1 2=8,故四棱锥PABCD的五个面 2 ?4?3=6,又底面积为4× 中面积的最大值为8.

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

考 点 考 向 探 究

[小结]根据三视图判断空间几何体的形状,基本方 法是根据三视图的画法进行逆向思维,借助已知的空间 几何体的结构特点,结合题目要求进行肯定或否定的判 断.要特别注意三视图中“眼见为实、不见为虚”的画 法规则.

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

变式题 已知棱锥的正视图与俯视图如图106所 示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧视 图可能为( )

考 点 考 向 探 究

正视图 俯视图 图106

A

B
图107

C

D

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

[答案] B

[解析] 该三棱锥的直观图如图所示,其中PC⊥底 面ABC,底面为边长为2的正三角形,高为2,故其侧视 图为选项B中的图形.
考 点 考 向 探 究

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

? 考点二 空间几何体

空间几何体的表面积与体积

表面积和体积——1.根据三视图计算空间几何体的表面积和

考 点 考 向 探 究

体积;2.一般的空间几何体的表面积和体 积的计算 题型:选择、填空 分值:5分 难度:中等 热点:根据空间几何体的三视图计算表面积和体积

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

例2 (1)已知某几何体的三视图如图108所示,则该几何 体的体积为( ) 8 2 10 2 A.2 2 B. 3 C.3 2 D. 3

考 点 考 向 探 究

图108

图109

(2)某几何体的三视图如图109所示,其中俯视图是半 圆,则该几何体的表面积为( ) 3 3 5 A.2π B.π+ 3 C.2π+ 3 D.2π+ 3
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

考 点 考 向 探 究

[答案] (1)D (2)C [解析] (1)该几何体的直观图是三棱柱ABCA1B1C1切 割掉两个三棱锥DABC,D1A1B1C1后剩下的部分.三 角形ABC中,AB边上的高为1,AB=2 2 ,CD=1,所 1 1 2 以V三棱锥D= × × 2 2 × 1× 1 = ABC 3 2 3 .又AA1=4,三棱柱 1 ABCA1B1C1的体积为 2 × 2 2× 1× 4=4 2 ,故所求的几何 2 10 2 体的体积为4 2-2× 3 = 3 .

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

(2)由三视图可知,该几何体为半个圆锥,其底面半圆的半 1 1 1 2 径为1,高为 3 ,故所求表面积为 2 × 2× 3 + 2 ×π×1 + 2 ×π×2= 3 3+ π. 2
考 点 考 向 探 究

[小结]高考中求体积和表面积的试题往往与空间几何 体的三视图结合.根据空间几何体的三视图还原空间几何 体,弄清楚空间几何体的结构再进行计算.体积的计算需 要空间几何体的底面积和高,多面体表面积的计算需要把 各个面的结构弄清楚,分别计算各个面的面积,求和得表 面积.在计算面积时要注意是求表面积(全面积),还是侧 面积.
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

变式题 (1)某几何体的三视图如图1010所示,则该几 何体的体积是( ) 2 11 A. π+6 B. π 3 6 11 2 C. π D. +6π 3 3
考 点 考 向 探 究
图1010
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

(2)某几何体的三视图如图1011所示,则该几何体的 表面积为________.

考 点 考 向 探 究
图1011
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

[答案] (1)B

(2)12π+4 5

考 点 考 向 探 究

[解析] (1)由三视图知,该几何体为半个圆锥和半个圆柱 的组合体,圆柱的底面半径是1,高是3,圆锥的底面半径是 1 1 1 11 2 2 1,高是2.故该几何体的体积为π×1 × 3× 2× 2+3π×1 × 2= 6 π. (2)该几何体为一个圆柱和一个三棱柱的组合体,S圆柱= 1 2 2×π×2 +1×4π=12π,S三棱柱=2× × 2× 2+2× 2× 5 +2× 2=8+ 2 4 5 ,所以该几何体的表面积为12π+8+4 5 -2× 2× 2=12π +4 5.

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

? 考点三

多面体与球

球的表面积和体积——计算球的表面积和体积

考 点 考 向 探 究

球与多面体

——多面体外接球、内切球的相关计算

题型:选择、填空 分值:5分 难度:中等 热点:多面体外接球的表面积和体积的计算

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

已知A,B,C,D四点在球O的表面上,且AB= 4 BC=2,AC=2 2 .若四面体ABCD的体积的最大值为 3 ,则 球O的表面积为( ) 16π A. 3 B.8π C.9π D.12π

例3

[答案] C
考 点 考 向 探 究

[解析] ∵△ABC满足AB=BC=2,AC=2 2 ,即AC2 =AB2+BC2,∴∠ABC=90° ,∴△ABC截球所得的圆的 1 半径为2AC= 2. 设四面体ABCD中△ABC所在面上的高为h. 1 1 1 2 则V四面体ABCD= · S · h= × × 2× 2× h= h. 3 △ ABC 3 2 3
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

4 又四面体 ABCD 的体积的最大值为3.此时 h=2. 设球 O 的半径为 R,球心 O 到△ABC 截球所得的面的距离为 d. 4 当 D 到△ABC 所在平面的距离最远时, V 四面体 ABCD 取得最大值3, 此时 h=d+R.
考 点 考 向 探 究

又∵d= R2-r2= R2-2. ∴2= R2-2+R. 3 解得 R=2. 故所求球 O 的表面积为
?3?2 4π?2? =9π. ? ?

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

考 点 考 向 探 究

[小结] 球中内接一个多面体是高考的一个重要命题 点.如果一个多面体内接于一个球,那么它的各个面上 的多边形都是圆的内接多边形,球心到各个顶点的距离 都等于球的半径.

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

考 点 考 向 探 究

变式题 某几何体的三视图如图 1012 所示,则该几 何体的表面积为( ) 1+ 5 A.2+ π 2 1+2 5 B.2+ 2 π C.2+(1+ 5)π 2+ 5 D.2+ π 2

图 1012
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

[答案] A
[解析] 由几何体的三视图可知,该几何体为半个圆锥,
考 点 考 向 探 究

其底面半径是1,高是2,所以母线长为 5 ,所以其表面积为 1+ 5 1 1 1 2 2× 2=2+ 2 π. 2π×1 +2π× 5+2×

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

—— 教师备用例题 ——
例 1 【配例 1 使用】[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 一个四面体的顶 点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0), (0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )

[答案] A [解析] 在空间直角坐标系Oxyz中画出 三棱锥,由已知可知三棱锥OABC为题中 所描述的四面体,而其在zOx平面上的投 影为正方形EBDO,故选A.
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

例2 【配例2使用】某三棱锥的三视图如图所示,则该 三棱锥的表面积是( )

A.28+6 5 C.56+12 5

B.30+6 5 D.60+12 5
返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

[答案] B
[解析] 由三视图可知该几何体为三棱锥,该三棱锥的直观 1 1 1 1 图如图所示,其表面积 S=2?4?5+2?5?4+2?4?5+2? 2 5?6=30+6 5.

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

例3 【配例3使用】已知球的直径SC=4,A,B是该球 球面上的两点, AB= 3 ,∠ASC=∠BSC=30°,则三棱锥 S ?ABC的体积为( ) A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1

[答案] C
[解析]设球心为O.因为A,B在该球球面上,所以△ASC和 △BSC均为直角三角形,且∠SAC和∠SBC都为90°.又∠ASC= ∠BSC=30°,所以AC=BC=2,SB=SA=2 3. 又由题意可知,C在平面SAB内的投影在△SAB之外,且在 ∠BSA的平分线上,设为P.则PA⊥AS,PB⊥BS,SP⊥AB.

返回目录

第10讲

空间几何体的三视图、表面积及体积

PB=

AB SB·2 SB
2

?1 ? -?2AB?2 ? ?



2 5 = . ? 3?2 5 ? (2 3)2-? ? 2 ? ? ?

3 2 3× 2

4 4 所以 PC= 4-5= . 5 1 1 1 故所求体积 V=3· V△ABS· PC=3× 2× 3× 4 = 3. 5

(2 3)

2

? -? ? ?

2 3? ? × 2? ?

返回目录

核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

第11讲 空间中的平行与垂直

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 平面的 性质 关键词:平 面、平面性质的 公理,如①.

1 . [2013· 安徽卷改编 ] 下列关于平面 的命题中,不是 公理 的是___________. ①平行于同一个平面的两个平面相互 平行;②过不在同一条直线上的三点,有 且只有一个平面;③如果一条直线上的两 点在一个平面内,那么这条直线上所有的 点都在此平面内;④如果两个不重合的平 面有一个公共点,那么它们有且只有一条 过该点的公共直线.


[答案] ①
[解析] ①②③都是公理,都是平面的三个基本性质.
返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 空间的平 行关系 关键词:线线 平行、线面平行、 面面平行,判定定 理、性质定理,如 ②③.

2.[2013· 广东卷改编] l为直 线,α,β是两个不同的平面.若l⊥ α,l⊥β,则 平面α,β 的位置关系 是______________.
[答案] 平行
[解析] 垂直于同一条直线的两个 平面相互平行.


返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

3. [2014· 江苏卷改编] 在三棱锥PABC中,D,E分别为 棱PC,AC的中点,F为棱AB上除点A外的动点,则 直线PA与平面DEF 的位置关系是__________.


[答案] 平行
[解析] 如图所示,根据中位线定理可得PA∥DE.又PA?平 面DEF,DE?平面DEF,所以PA∥平面DEF.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 空间的垂 直关系 关键词: 线线 垂直、线面垂直、 面面垂直, 判定定 理、性质定理,如 ④⑤.

4. [2014· 辽宁卷改编] 已知 m,n 为两 条不同的直线,α 为平面.若 m⊥α,n? α , 则 直线m,n _____________.
[答案] 垂直
[解析] 根据直线与平面垂直的定义.


的 位 置 关 系 是

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

5. [2012· 浙江卷改编] m,n是两条不同的直线,α,β是 两个不同的平面.若m⊥α,m∥n,n∥β ,则 平面α,β⑤ 的 位置关系是______________.

[答案] 垂直
[解析] ∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α.又n∥β,∴α⊥β.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 折叠问题 关键词:平面 图形、折叠、空间 位置关系,如⑥.

6.如图 111①所示,△ABC 为等边三 角形,AD=AE,F 为 BC 的中点,AF 与 DE 相交于点 G ,将△ ABF 折起,如图 111②所示,则 DE与平面BCF的关系⑥ 是 ____________.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

核 心 知 识 聚 焦

[答案] 平行
[解析]因为 DG∥BF,且 BF?平面 DGE,所以 BF∥平面 DGE.又因为 EG∥CF, 且 CF?平面 DGE, 所以 CF∥平面 DGE, 又 BF∩CF=F, 所以平面 GDF∥平面 BCF, 所以 DE∥平面 BCF.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

—— 教师知识必备 ——
知识必备 空间点、直线、平面之间的位置关系
公理 1 基 本 公 空间点、 理 直线、 平 面之间 的位置 关系 位 置 关 系 公理 2 公理 3 公理 4 线线 点线面 线面 面面 A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α ?l?α A,B,C 不共线?A,B,C 确定平面 α P∈α, 且 P∈β ?α∩β =l, 且 P∈l a∥c,b∥c?a∥b 直线称为异面直线 A∈l,B?l;A∈α,B?α l∥α,l∩α=A,l?α 分别对应线面无公共点、有一个公共点、有 无数个公共点 α∥β,α∩β=l 分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共 点 用途 判断直线在平面内 确定平面 确定两平面的交线 两直线平行

共面和异面:共面为相交或平行,不同在任何一个平面内的两条

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

—— 教师知识必备 ——
判定定理 平 行 空间 关 点、直 系 线、平 面之间 的位置 垂 关系 直 关 系 线面 a?α ,b?α ,a∥b?a∥α 线线平行?线面平行 性质定理 a∥α,a?β ,α∩β=b?a∥b 线面平行?线线平行 α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b 线面平行?面面平行 线面 线线垂直?线面垂直 l⊥β,l?α ?α ⊥β 线面垂直?面面垂直 面面平行?线线平行

面面

?a∥b 线面垂直?线线平行 α⊥β,α∩β=l,a?α ,a⊥l? a⊥β 面面垂直?线面垂直

面面

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

—— 教师知识必备 ——
定义 线 把两异面直线平移到同一平 线 面时,两相交直线所成的角 角 空间 点、直 线 空 面 线、平 间 面之间 角 角 的位置 关系 二 在二面角的棱上一点向两个 特殊情况 两直线平行时角为 0 π 所成角为 2 时两直线垂直 线面平行或线在平面 内时线面角为 0 π 线面垂直时线面角为 2 两个半平面重合时为 0 两个半平面成为一个平面 时为π
? ?

范围
? π? ?0, ? 2? ?

平面的一条斜线与其在 该平面上的射影所成的角

? π? ?0, ? 2? ?

面 半平面内作垂直棱的垂线, π 角 这两条射线所成角 当二面角为 2 时称两个平 面垂直

0,π ? ?

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

—— 教师知识必备 ——

点面距 空间 点、直 线、平 面之间 的位置 关系 面面距 空间 距离 线面距

从平面外一点作平面的垂线,该点与垂 足之间的距离

线面距和面 直线与平面平行时,直线上任一点到平 面距转化为 面的距离 点面距

两个平面平行时,一个平面内任一点到 另一个平面的距离

注:大写字母表示点、小写字母表示直线、希腊字母表示平面.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直
? 考点一 空间点、线、面的位置关系 平面的性质 ——平面性质的应用

空间两直线的 位置关系 ——异面直线的判断、异面直线所成角的求解

考 点 考 向 探 究

空间点、线、面 的位置关系——空间点、线、面位置关系的判断 题型:选择、填空 分值:5分 难度:中等 热点:空间点、直线、平面位置关系的判断

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

例1 设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的 平面,下列说法正确的是( ) A.若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n B.若m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n C.若m⊥α,n?β,m⊥n,则α⊥β D.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β
考 点 考 向 探 究

[答案] B
[解析] 直线 m,n 也可能异面或相交,故选项 A 中的说法 不正确;m⊥α,α⊥β?m∥β 或 m?β,又 n⊥β,所以 m⊥n, 故选项 B 中的说法正确;当 α∥β 时,也符合已知条件,故选 项 C 中的说法不正确;如果 m∥n,则 α,β 也可能相交,故选 项 D 中的说法不正确.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

考 点 考 向 探 究

[小结] 空间点、线、面位置关系的判断依据是四个 公理、平行关系和垂直关系的判定定理和性质定理.在 解答该类试题时可以利用正方体、三棱锥等几何模型进 行分析判断,也可以借助周围的实物(如教室的墙面、墙 面之间的交线,手中的书本)进行分析判断.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

变式题 已知m,n为异面直线,m⊥平面α, n⊥平面 β.若直线l满足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则( ) A.α∥β,且l∥α B.α⊥β,且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l
考 点 考 向 探 究

[答案] D

[解析] 因为m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平 面β,所以α与β相交,且交线垂直于直线m,n.又直线l满 足l⊥m,l⊥n,l?α ,l?β ,所以交线平行于l.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

? 考点二 空间的平行关系 线线平行——线线平行的判断和应用

线面平行——线面平行的证明,性质定理的应用

考 点 考 向 探 究

面面平行——面面平行的证明,性质定理的应用 题型:解答 分值:占有分值5分左右 难度:中等 热点:线面平行关系的证明,通常为选择题或解答题的 一部分
返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

例 2 在四棱锥 OABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点, 证明: 直线 MN∥平面 OCD.

考 点 考 向 探 究

证明:方法一:取OB中点E,连接ME,NE,如图(1) 所示. ∵ME∥AB,AB∥CD,∴ ME∥CD,又ME?平面OCD. ∴ME∥平面OCD. 又∵ NE∥OC,NE?平面OCD,∴NE∥平面OCD, 又ME∩NE=E, ∴平面MNE∥平面OCD. 又MN?平面MNF,∴ MN∥平面OCD.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

方法二:取OD的中点F,连接MF,CF,如图(2)所 1 1 示.则MF AD.又底面ABCD是平行四边形,∴NC AD, 2 2 ∴MF NC,∴四边形MNCF是平行四边形,∴MN∥FC.又 MN 平面OCD,FC ? 平面OCD,∴MN∥平面OCD.
考 点 考 向 探 究

(1)

(2)

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

考 点 考 向 探 究

[小结]平行问题中的重点是直线与平面的平行,但要落 实到线线平行上,根据题目已知的中点再找相关的中点,利 用三角形的中位线定理证明线线平行, 是解决平行问题的重 要技巧.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

考 点 考 向 探 究

变式题 (1)对于空间的两条直线m,n和一个平面α,下 列命题中为真命题的是( ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,n?α,则m∥n C.若m∥α,n⊥α,则m∥n D. 若m⊥α,n⊥α ,则m∥n (2)如图112所示,四边形ABCD是矩形,四边形BEFC 是直角梯形,BE∥CF,求证:AE∥平面DCF.

图112
返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

[答案] (1)D
[解析]对于 A 选项,m,n 也可能相交或异面;对于 B 选项, m,n 也可能是异面直线;对于 C 选项,m,n 不可能平行,对于 D 选项,根据直线和平面垂直的性质定理可知其正确. (2)证明: 方法一: 因为 AB∥CD, AB 平面 DCF, 所以 AB∥ 平面 DCF,又 BE∥CF,BE 平面 DCF,所以 BE∥平面 DCF. AB∩BE=B,所以平面 ABE∥平面 DCF.又 AE ? 平面 ABE, 所以 AE∥平面 DCF. 方法二: 过点 E 作 EG∥BC 交 CF 于点 G, 连接 DG.又 BE∥CF, 所以四边形 BEGC 为平行四边形,所以 EG BC. 又四边形 ABCD 为矩形,所以 AD BC, 所以 AD EG, 所以四边形 AEGD 为平行四边形,所以 AE∥DG.又 DG ? 平 面 DCF,AE 平面 DCF,所以 AE∥平面 DCF.
返回目录

考 点 考 向 探 究

第11讲

空间中的平行与垂直

? 考点三

空间的垂直关系

线线垂直——线线垂直的证明,线线垂直的应用

线面垂直——线面垂直的证明,性质定理的应用

考 点 考 向 探 究

面面垂直——面面垂直的证明,性质定理的应用 题型:解答 分值:占有分值5分左右 难度:中等 热点:线面垂直关系的证明,通常为一个解答题的一部分

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

例3 若四面体的两组对棱互相垂直,则另一组对棱也 互相垂直.
解: 已知: 如图所示, 四面体 ABCD 中, AB⊥CD, BC⊥DA. 求证:AC⊥BD. 证明:过点 A 作 AO⊥平面 BCD,垂足为点 O,连接 BO, DO,CO 并延长,分别交 CD,BC,BD 于点 E,F,G.∵AO⊥ 平面 BCD,CD ? 平面 BCD,∴AO⊥CD.又 AB⊥CD,AB∩AO = A ,∴CD⊥平面 AOB. 又 BE ? 平面 AOB,∴CD⊥BE.同理可证 DF⊥BC, ∴点 O 为三角形 BCD 的垂心, ∴CG⊥BD.又 AO⊥BD,AO∩CG=O, ∴BD⊥平面 AOC.又 AC ? 平面 AOC, ∴AC⊥BD.

考 点 考 向 探 究

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

考 点 考 向 探 究

[小结]空间直线的垂直一般是通过线面垂直得到 的,即证明两条直线中的一条垂直于另一条所在的平 面.本题是一道经典的通过线线垂直证明线面垂直,然 后再通过线面垂直证明线线垂直的题目,体现了线线、 线面垂直关系的相互转化.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

变式题 如图113所示,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB, AD=AC=DE=2AB=2,且F是CD的中点,AF= 3.

考 点 考 向 探 究

图113

(1)求证:AF∥平面BCE; (2)求证:平面BCE⊥平面CDE.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直
证明:(1)取 CE 中点 P,连接 FP,BP. 1 因为 F 为 CD 的中点,所以 FP∥DE,且 FP=2DE. 1 又 AB∥DE,且 AB=2DE, 所以 AB∥FP,且 AB=FP, 所以四边形 ABPF 为平行四边形,所以 AF∥BP. 又因为 AF?平面 BCE, BP?平面 BCE, 所以 AF∥平面 BCE.

考 点 考 向 探 究

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

考 点 考 向 探 究

(2)因为AC=AD,F为CD的中点,所以AF⊥CD. 因为AB⊥平面ACD,DE∥AB,所以DE⊥平面ACD, 又AF?平面ACD,所以DE⊥AF. 又CD∩DE=D,所以AF⊥平面CDE. 又BP∥AF, 所以BP⊥平面CDE. 又因为BP?平面BCE,所以平面BCE⊥平面CDE.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

? 考点四 平面图形

空间中的动态问题(含折叠、轨迹等) ——矩形、三角形、梯形等

折叠为空间

考 点 考 向 探 究

图形

——折叠后判断空间线面位置关系和相关计算 难度:中等

题型:选择、填空、解答 分值:占有分值5分左右 热点:折叠后的位置关系的判断和证明

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

?

考向一

图形的折叠问题

例4 如图114所示,矩形ABCD中,E为边AB的中 点,将△ADE沿直线DE翻折到△A1DE的位置.若M为线 段A1C的中点,则在△ADE的翻折过程中,下列说法正确 的是________.(填序号)

考 点 考 向 探 究

图114

①BM是定值; ②点M在圆上运动; ③一定存在某个位置,使DE⊥A1C; ④MB∥平面A1DE.
返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直
[答案] ①②④

考 点 考 向 探 究

[解析]取 DC 中点 N,连接 MN,NB,则 MN∥A1D,NB∥DE. 又 A1D ? 平面 A1DE, DE ? 平面 A1DE, ∴MN∥平面 A1DE,NB∥ 平面 A1DE.又 MN∩NB=N,∴平面 MNB∥平面 A1DE.又 MB ? 平 面 MNB,∴MB∥平面 A1DE,故④正确.∠A1DE=∠MNB(为定 1 值), MN=2A1D(为定值), NB=DE(为定值), 根据余弦定理得 MB2 =MN2+NB2-2MN· NB· cos∠MNB, 所以 MB 是定值, 故①正确. 因 为 B 是定点,所以 M 在以 B 为圆心,MB 为半径的圆上,故②正 确.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

考 点 考 向 探 究

[小结] 折叠问题的关键是分清折叠前后线线位置关 系的“变”与“不变”.其中,折叠前后位于同一个平面上 的位置关系和数量关系都不变,折叠前后位于不同面上 的位置关系和部分数量关系会发生变化.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

变式题 如图115①所示,矩形ABCD中,AB=2,AD= 2 2 ,M,N分别为AD和BC的中点,对角线BD与MN交于O点, 沿MN把矩形ABNM折起到平面A1B1NM的位置,使平面A1B1NM与 平面MNCD所成角为60° ,如图115②所示. (1)求证:B1O⊥DO; (2)求A1O与平面B1OD所成角的正弦值.
考 点 考 向 探 究

① 图115



返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

解:(1)证明:M 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点,所 以 AM ⊥ MN,MD⊥MN ,折叠后垂直关系不变,所以 ∠A1MD 是平面 A1B1NM 与平面 MNCD 所成的角,所以 ∠A1MD=60°.
考 点 考 向 探 究

又 A1M=DM,所以△MA1D 是正三角形,所以 A1D
2 = 2.所以 B1D= A1B2 + A D = 6.在矩形 AB 中,AB= 1 1

2,AD=2 2,所以 BD=2 3.所以 BO=OD= 3,所以 B1O2+OD2=B1D2, 所以△B1OD 是直角三角形, 所以 B1O ⊥DO.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

(2)设E,F分别是B1D,CD的中点,连接OE,EF, OF,则EF⊥CD,OF⊥CD.又EF∩OF=F,所以CD⊥ 平面OEF.因为OE?平面OEF,所以OE⊥CD.又B1O= OD,所以OE⊥B1D.又B1D∩CD=D,所以OE⊥平面 A1B1CD.∵OE?平面B1OD,所以平面B1OD⊥平面
考 点 考 向 探 究

A1B1CD.过点A1作A1H⊥B1D于点H.由面面垂直的性质定 理,可得A1H⊥平面B1OD.连接OH,则∠A1OH为A1O与 平面B1OD所成的角.A1H是Rt△A1B1D斜边B1D上的高, 2 3 A1H 2 所以A1H= ,A1O= 3,所以sin ∠A1OH= = . 3 A1O 3

返回目录

第11讲
?

空间中的平行与垂直
考向二 动点的轨迹问题

考 点 考 向 探 究

例5 [2014· 浙江卷] 如图116,某人在垂直于水平地 面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的 距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了 准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大 小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ 的 最大值是________.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)

图11-6
返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直
[答案] 5 9 3

考 点 考 向 探 究

[解析] 由勾股定理得BC=20 m.如图,过P点作PD⊥BC于D,连 PD 接AD, 则由点A观察点P的仰角θ=∠PAD,tan θ= AD .设PD=x,则DC = 3 x,BD=20- 3 x,在Rt△ ABD中,AD= 152+(20- 3x)2 = 625-40 3x+3x2, x 所以tan θ= 625-40 3x+3x2 1 = 625 40 3 x 2 - x +3 1 5 3 = ≤ ,故tan θ的最大 ?1 20 3?2 27 9 ? 625? ? x - 625 ? +25 ? ? 5 3 值为 9 .

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

变式题 (1)如图117所示,空间直角坐标系Oxyz中, 正三角形ABC的顶点A,B分别在xOy平面和z轴上移动.若 AB=2,则点C到原点O的最远距离为( )

考 点 考 向 探 究

图117

A. 3-1 C. 3+1

B.2 D.3

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

(2)如图118所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1, 1 线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=2,则下列结论中错误 的是( )

考 点 考 向 探 究

图118

A.AC⊥BF B.EF∥平面ABCD C.三棱锥AABEF的体积为定值 D.△ AEF的面积与△BEF的面积相等
返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直
[答案] (1)C (2)D

[解析](1)过O作AB的垂线,垂足为M,连接OM,CM, OC.因为正三角形ABC的边AB=2,所以CM= 3.因为OM+ MC≥OC,当且仅当O,M,C三点共线时等号成立,且三 角形OAB为等腰三角形时,OM最大,所以当O,A,B,C 共面,且OA=OB时,OC最大,且最大值为 3+1.
考 点 考 向 探 究

(2)易证AC⊥平面D1DBB1,从而AC⊥BE,故A正确; 由B1D1∥平面ABCD,可知EF∥平面ABCD,故B正确;因 1 1 1 为AO为三棱锥ABEF的高,S△ BEF= 2 ×2 × 1= 4 ,所以三棱锥 1 1 2 2 ABEF的体积为3× 4× 2 = 24 ,为定值,故C正确.故选D.
返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

—— 教师备用例题 ——
例 1 【配例 2、例 3 使用】如图所示,四棱锥 PABCD 的 底面 ABCD 是正方形,PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的 中点.

(1)证明:PA∥平面 BDE; (2)证明:平面 BDE⊥平面 PBC.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

证明:(1)连接 AC 交 BD 于 O 点,连接 EO. ∵ 底面 ABCD 是正方形,∴ O 为 AC 的中点. 又 E 为 PC 的中点,∴ OE∥PA. ∵ OE?平面 BDE,PA?平面 BDE, ∴ PA∥平面 BDE. (2)∵ PD=DC,E 是 PC 的中点, ∴ DE⊥PC. ∵ PD⊥底面 ABCD,∴ PD⊥AD. 又∵AD⊥CD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面 PCD. ∴AD⊥DE.又 AD∥BC,∴BC⊥DE. 又 BC∩PC=C,∴DE⊥平面 PBC. 又 DE?平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 PBC.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

例2 【配例 2、 例 3 使用】 如图所示, 四棱锥 EABCD 中, EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD. (1)求证:AB⊥ED. (2)线段 EA 上是否存在点 F, 使 DF∥ 平面 BCE?若存在, EF 求出EA的值;若不存在,说明理由.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

解: (1)证明:取 AB 的中点为 O,连接 EO,DO. 因为 EA=EB,所以 EO⊥AB. 因为 AB∥CD,AB=2CD, 所以 BO∥CD,BO=CD. 又 AB⊥BC, 所以四边形 OBCD 为矩形, 所以 AB⊥DO. 因为 EO∩DO = O ,所以 AB⊥平面 EOD. 又 ED?平面 EOD,所以 AB⊥ED.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

EF 1 (2)存在,且EA=2,即 F 为 EA 中点时,有 DF∥平面 BCE. 证明如下:取 EB 的中点为 G,连接 CG,FG. 1 又 F 为 EA 的中点,所以 FG∥AB,FG=2AB. 1 因为 AB∥CD,CD=2AB,所以 FG∥CD,FG=CD, 所以四边形 CDFG 是平行四边形,所以 DF∥CG. 因为 DF?平面 BCE,CG?平面 BCE, 所以 DF∥平面 BCE.

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

例3 【配例4使用】如图①所示,在边长为4的菱形 ABCD中,∠DAB=60° ,点E,F分别在边CD,CB上,点E与 点C,D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿EF将△CEF折至 △PEF的位置,如图②所示,使平面PEF⊥平面ABFED. (1)求证:BD⊥平面POA; (2)当PB取得最小值时,求四棱锥PBDEF的体积.





返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直
解: (1)证明:∵菱形ABCD对角线互相垂直, ∴ BD⊥AC,∴ BD⊥AO. ∵ EF⊥AC,∴CE=CF,∴ PO⊥EF. ∵ 平面PEF⊥平面ABFED,平面PEF∩平面ABFED=EF, 且PO?平面PEF,∴ PO⊥平面ABFED. 又∵ BD?平面ABFED,∴ PO⊥BD. 又∵ AO∩PO=O, ∴ BD⊥平面POA. (2)设AO∩BD=H,

返回目录

第11讲

空间中的平行与垂直

由 ∠DAB=60°易知△BDC 为等边三角形, ∴ BD=4,HB=2,HC=2 3. 设 PO=x,则 OH=2 3-x,OA=4 3-x. 连接 PH,OB.由 OH⊥BD,得 OB2=??2 3-x??2+22. 又由(1)知 PO⊥平面 BFED, ∴PO⊥OB. ∴ PB= OB2+OP2= 此时 PO= 3=OH,
? 1 1 ? 3 ? 3 2 2? ∴ V 四棱锥 P ? 3=3. BDEF= ?S 梯形 BDEF?PO= ?? 3 3 ? 4 ?4 - 4 ?2 ? ?
? ? ? ? ?

2 3-x??2+22+x2= 2??x- 3??2+10,

?

?

?

当 x= 3时,PB 取得最小值 10,

返回目录

核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

第12讲 空间向量与立体几何

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 空间向量 关键词:空间 向量、线性运算、 基本定理、坐标运 算、数量积及其应 用,如①.

1.[2014· 广东卷改编] 向量a =(1,0,-1),b=(1,-1,0)的 夹角 是______.
[答案] 60°
[解析] 因为 cos〈a,b〉= a· b = |a||b|


1 ,所以向量 a=(1,0,-1),b=(1, 2 -1,0)的夹角是 60° .

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 空间向量 与空间线面位置关 系 关键词:位置 关系、空间向量、 位置关系与向量运 算的对应关系,如 ②.

2. [2014· 天津卷改编] 在四棱 锥PABCD中,PA⊥平面ABCD, AD⊥AB,AB∥CD,AD=DC=AP =2AB,点E为棱PC的中点,则 异面直线② BE与DC的位置关系是 ________.
[答案] 垂直

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=1,则 → B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,1,1),故 BE → =(2,0,0),所以 BE → ? DC → =0,所以BE⊥ =(0,1,1), DC DC.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 空间向量 与空间角 关键词:方向 向量、法向量、异 面直线所成的角、 线面角、面面角, 如③④⑤.

3. [2014· 新课标全国卷Ⅱ改编] 直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BCA= 90° ,M,N 分别是棱 A1B1,A1C1 的 中 点 , BC = CA = CC1 , 则 BM与AN所成角的余弦值 ____________.




30 [答案] 10

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系.设 BC=CA=
核 心 知 识 聚 焦

CC1=2,则 A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2, → =(-1,0,-2),BM → =(1,-1,-2),所以 cos 2),所以AN → ?BM → -1+4 AN 3 30 → → 〈AN,BM〉=? ?? ?= = = 10 . ? → ?? → ? 5 ? 6 30 ?AN??BM?

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

4. [2014· 四川卷改编] 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, 点 O 为 线 段 BD 的 中 点 . 设 点 P 在 线 段 CC1 上 , 直线OP与平面A1BD所成角的④ 正 弦 值 的 取 值 范 围 是 ________.
? [答案] ? ? ?

6 ? ? , 1 ? 3 ?

[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱 长为2,显然n=(1,1,1)为平面A1BD的一个法向量.设 → =(1,1,z),所以直线OP P(2,2,z),其中0≤z≤2,则 OP →| 2+z |n· OP 与平面A1BD所成角的正弦值为 → = 2= 3· 2+z |n||OP|
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

核 心 知 识 聚 焦

2+z = 2 3· (2+z) -4(2+z)+6

3?

1 .令 4 6 1- + 2+z (2+z)2

1 1 1 1 =t,则4≤t≤2,此时函数 f(t)=6t2-4t+1,当 t=3时取得最 2+z 1 1 1 小值; 当 t=2时取得最大值. 所以3≤f(t)≤2, 所以 1≤ 3· f(t) 6 6 1 ≤ ,所以 ≤ ≤1. 故直线 2 3 3? f(t) OP 与平面 A1BD 所成角的正弦值的取值范 ? 6 ? ? 围是? ,1? ?. ? 3 ?
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

5. [2013· 江苏卷改编] 在直三棱柱A1B1C1?ABC中, AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点,则 平面ADC1与平面ABB1A1所成角⑤ 的正弦值为__________.

5 [答案] 3

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

核 心 知 识 聚 焦

[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0), → =(1,1,0),AC →1=(0,2, D(1,1,0),C1(0,2,4),所以AD 4).设平面ADC1的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则 → =0, ? ?n1· AD ?x1+y1=0, ? 即? 令y1= ? → 2 y + 4 z = 0 , 1 AC1=0, ? 1 ?n1· -2,则x1=2,z1=1,故n1=(2,-2, 1).又由题意易知,平面ABB1A1的一个法 向量为n2=(D,1,0),所以cos〈n1, n1· n2 2 n2〉= =- 3 ,所以平面ADC1与平 |n1||n2| 5 面ABB1A1所成角的正弦值为 . 3

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

—— 教师知识必备 ——
知识必备
重 要 概 念

空间向量与立体几何
共面 向量 空间 基底 共线 定理 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平 面内 空间任何三个不共面的向量a,b,c都可叫作空间的一 个基底 a,b(b≠0共线?存在唯一实数λ,使a=λ b p与a,b(a,b不共线)共面?存在唯一的实数对x,y, 使p=xa+yb a,b,c不共面,对于空间任意向量p,存在唯一的有 序数组{x,y,z},使p=xa+yb+zc

空 间 向 空 量 间 与 向 立 量 体 几 何

基 本 定 理

共面 定理 基本 定理

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

—— 教师知识必备 ——
线 所在直线与已知直线l平行或者重合的非零向量a叫作直线l的 方向向量 面 方向向量 标 立 志 空 体 间 几 位 向 何 置 量 中 关 与 的 系 立 向 体 量 几 方 何 空 法 间 角 法向量 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 线线角θ 线面角θ 二面角θ 所在直线与已知平面α垂直的非零向量n叫作平面α的法向量 方向向量共线 判定定理;直线的方向向量与平面的法向量垂直 判定定理;两个平面的法向量平行 两直线的方向向量垂直 判定定理;直线的方向向量与平面的法向量平行 判定定理;两个平面的法向量垂直
? 两直线方向向量为a,b, cos θ =? ?cos 〈a,b〉?

直线的方向向量为a,平面的法向量为n,sin θ =
? ?

cos 〈a,n〉? ?

两平面的法向量分别为n1和n2,则|cos θ |=
? ?

±cos 〈n1,n2〉? ?
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

—— 教师知识必备 ——

空 间 向 量 与 立 体 几 何

立 体 几 何 中 的 向 量 方 法

点线距

直线的方向向量为a,直 线上任一点为N,点M到
? →? ? 直线的距离d=? ?MN?sin

两平行线的距离转化为 点线距

→ ,a〉 〈MN 空间 距离 点面距 平面α的法向量为n,平面 α内任一点为N,点M到平
? →? ? 面α的距离d=? ?MN? ? ? ?

→ ,n〉? ?= cos 〈MN ?
? ? ?

线面距、面面距转化为 点面距

→ ?n? ? MN ? ? ? ?n?

注:与平面向量平行的向量知识一般不再列入.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何
? 考点一 利用向量证明平行与垂直 空间向量 ——空间向量基本知识的运用

直线的方向向量、 平面的法向量 ——方向向量、法向量在解题中的应用

考 点 考 向 探 究

空间线面 位置关系 ——应用空间向量证明空间线面位置关系

题型:解答 分值:占有分值6分左右 难度:中等 热点:应用空间向量证明空间位置关系,通常作为解答题的 一部分
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

例1 如图121所示,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱 长都为2,D为CC1中点.求证:AB1⊥平面A1BD.

考 点 考 向 探 究

图121

证明:方法一:由直线和平面垂直的定义,我们只要能证明直 线AB1垂直于平面A1BD内的任意一条直线即可. 设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m,
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

→ 1+μBD →. 由共面向量定理,则存在实数λ,μ,使m=λBA → 1=a,BC → =b,BA → =c,显然它们不共面, 令BB
? ? ? ? ? ?a?=?b?=?c?=2, 并且? ? ? ? ? ? ?

考 点 考 向 探 究

a· b=a· c=0,b· c=2,以它们为基底, 1 → → → 1=a-c, 则BA1=a+c,BD=2a+b,AB ? 1 ? → → ? m=λBA1+μBD= λ+2μ?a+μb+λc, ? ? ?? ? ? 1 ? ? → AB1?m=??a-c?????λ +2μ?a+μb+λc?= ? ?? ? ? 1 ? 4?λ +2μ?-2μ -4λ =0. ? ? →1⊥m,故AB1⊥平面A1B1D. 故AB
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何
方法二:取 BC 中点 O,连接 AO. ∵△ABC 为正三角形,∴AO⊥BC. ∵在正三棱柱 ABCA1B1C1 中, 平面 ABC⊥平面 BCC1B1, 且平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC, ∴AO⊥平面 BCC1B1. 如图所示, 取 B1C1 的中点 O1, 以O为

考 点 考 向 探 究

→ ,OO → 1,OA → 的方向为 x,y,z 轴 原点,OB 的正方向建立空间直角坐标系,则 B(1,0, 0),D(-1,1,0),A1(0,2, 3),A(0,0, → 1=???-1,2, 3???,BD → =???-2,1,0???. 3),B1(1,2,0),BA

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z), → 1=0, ? ? BA ?n· ?-x+2y+ 3z=0, → → ∵n⊥BA1,n⊥BD,∴? 即? → =0, ? ?-2x+y=0, ? BD ?n· 令x=1,则y=2,z=- 3,故n=??1,2,- 3??为平面A1BD
考 点 考 向 探 究
? ?

的一个法向量, → 1=???1,2,- 3???,即AB → 1=n,∴AB → 1∥n, 而AB →1与平面A1BD所成的角和n与平面A1BD所成的角相等, 故AB 故AB1⊥平面A1BD.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

[小结]当所给的问题有明显的或者容易找到的交于 一点的相互垂直的三条直线时,可考虑用空间向量法(如 在长方体以及一些特殊的几何体中)解题.
四棱锥PABCD的底面是平行四边形,面 1 PAB⊥面ABCD,PA=PB=AB= AD,∠BAD=60° ,E,F分 2 别为AD,PC的中点. (1)求证:EF∥面PAB; (2)求证:EF⊥PBD. 变式题

考 点 考 向 探 究

图12?2
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

考 点 考 向 探 究

证明:(1)在△ABD中,AD=2AB,∠BAD=60°,由 余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos 60°=AD2- AB2, ∴∠ABD=90°, ∴BD⊥AB. ∵面PAB⊥面ABCD,面PAB∩面ABCD=AB, BD⊥AB, ∴DB⊥面PAB.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

考 点 考 向 探 究

如图,建立空间直角坐标系,设AB=2,则 ? ? ? ? ? ? A ??2,0,0?? ,D ??0,2 3,0?? ,P ??1,0, 3?? , ? 1 ? 3 3 ? ? ? ? → ? ? - 2 , 2 3 , 0 C? ,EF= 2 ? ,E(1, 3 ,0),F ?- , 3, 2? ? 2 ? ? ? ?- 3,0,1?. ? ? ? ? ∵平面PAB的一个法向量n=??0,1,0??, → ?n=0,∴EF∥面PAB. EF
? ? ? ? → → ? ? ? ?, 0 , 2 3 , 0 1 , 0 , 3 (2)由(1)知BD=? ?,BP=? ?

→ ?BD → =0,EF → ?BP → =0, ∵EF ∴EF⊥BD,EF⊥BP,又BD∩BP=B,∴EF⊥面PBD.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

? 考点二

利用向量求空间角

空间角——异面直线所成的角、线面角、二面角的概念

考 点 考 向 探 究

用空间向量 求解空间角——利用空间向量求解空间角的三角函数值 题型:解答 分值:占有分值10分左右 难度:中等 热点:应用空间向量求解空间角的三角函数值,通常作为解答 题的一部分

返回目录

第12讲
?

空间向量与立体几何
考向一 异面直线所成角

例2 如图123所示,已知平面ABCD⊥平面ADEF,其 中ABCD为矩形,ADEF为梯形,且AF∥DE,AF⊥FE,AF =AD=2DE=2. (1)求异面直线EF与BC所成角的大小; 1 (2)若二面角ABFD的平面角的余弦值为3,求AB的长.
考 点 考 向 探 究
图12?3
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

解:(1)延长AD,FE交于点Q. 因为ABCD是矩形,所以BC∥AD, 所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角. 在△AFQ中,由DE∥AF,AF⊥FE,AF=2,DE=1, 易求得∠AQF=30° .
考 点 考 向 探 究

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

(2)方法一:设AB=x,取AF的中点G,由题意得DG⊥AF. 因为平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF= AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF,所以AB⊥DG. 又AB∩AF=A,所以DG⊥平面ABF. 过点G作GH⊥BF,垂足为H,连接DH,
考 点 考 向 探 究

则∠DHG即为二面角ABFD的平面角. AB GH 在直角三角形BAF中,由BF=sin∠AFB= FG , 1 GH 得 x = 2 , x +4 所以GH= x . 2 x +4
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何
x 在Rt△DGH中,DG= 3,GH= 2 , x +4 所以DH=2 x2+3 , x2+4 1 2 x = ,解得 x = 15, 2 3 5 2 x +3

GH 所以cos∠DHG=DH=
考 点 考 向 探 究

2 即AB=5 15. 方法二:设AB=x,以F为原点, AF,FE所在的直线分别为x轴、y轴建立 空间直角坐标系Fxyz,则F(0,0,0),

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

A(-2,0,0),E(0, 3 ,0),D(-1, 3 ,0),B(-2,0,x),所 → =(1,- 3,0),BF → =(2,0,-x).因为EF⊥平面ABF,所 以DF 以平面ABF的法向量可取n=(0,1,0). 设n1=(x1,y1,z1)为平面BFD的一个法向量,则有
? ?2x1-z1x=0, ? 令x1= ? ?x1- 3y1=0, ? 所以n1=? ? ? ?

2 3 3,则y1=1,z1= x ,

考 点 考 向 探 究

2 3? ? 3,1, x ?. 1 2 = ,解得x= 15, 5 12 3 4+ x2 1

|n1?n| 因为|cos〈n1,n〉|= = |n1||n| 2 所以AB= 15. 5

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何
? 考向二 直线与平面所成角

考 点 考 向 探 究

例3 如图124所示,C是以AB为直径的圆O上异于 A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC =4,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC 的交线为l. (1)求证:l⊥平面PAC. (2)直线l上是否存在点Q,使直 线PQ与平面AEF和直线EF所成的角 互余?若存在,求出AQ的值;若不 存在,请说明理由.
图12?4

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

解:(1)证明:∵E,F分别为PC,PB的中点, ∴BC∥EF. 又EF?平面EFA,BC?平面EFA,∴BC∥平面EFA. 又BC?平面ABC,平面EFA∩平面ABC=l.
考 点 考 向 探 究

∴BC∥l, 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, BC⊥AC, ∴BC⊥平面PAC, ∴l⊥平面PAC.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何
→ 所在的直线为x轴,CB → 所在的直线为 (2)以C为坐标原点,CA

y轴,过C且垂直平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0,
?1 F? ?2,2, ?

3 ) ,E

?1 ? ?2,0, ?

3? ? , 2? ?

3? ? , 2? ?

考 点 考 向 探 究

? 3 → =? ∴AE ?-2,0, ?

3? ? → ,EF=(0,2,0). 2? ? 设Q(2,y,0),平面AEF的一个法向量为m=(x1,y1,z1), 3 ? 3 → ? ? AE ? m = 0 , ? -2x1+ 2 z1=0, ? ? 则 即 → ? ? m=0, ?EF· ?2y=0. 令z1= 3,则x1=1,∴m=(1,0, 3).
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

→ =(1,y,- 3), 又PQ → ?EF →| | PQ |y| → ,EF → 〉|= ∴|cos〈PQ = 2, → |?|EF →| 4+y |PQ → ?m| | PQ 1 → |cos〈PQ,m〉|= = 2, → 4+y |PQ|· |m| |y| 1 依题意得 = ,解得y=± 1, 4+y2 4+y2 ∴l上存在点Q,使直线l与平面AEF和直线EF所成的角互 余,此时AQ=1.

考 点 考 向 探 究

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

变式题 如图125所示,平行四边形ABCD中, ∠DAB=60° ,AB=2,AD=4,将△CBD沿BD折起到△EBD 的位置,使平面EBD⊥平面ABD. (1)求证:AB⊥DE; (2)若点F为BE的中点,求直线AF与平面ADE所成角的正 弦值.

考 点 考 向 探 究
图125
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

解: (1)证明:在△ABD中,由余弦定理,得BD2= 1 2 2 2 AB +AD -2AB?ADcos∠DAB,即BD =4+16-16? 2 =12,所以BD=2 3,所以BD2+AB2=AD2,所以 △ABD和△EBD均为直角三角形,所以ED⊥DB.又DB是 平面EBD和平面ABD的交线,且平面EBD⊥平面ABD,
考 点 考 向 探 究

ED?平面EBD, 所以ED⊥平面ABD. 又AB?平面ABD,所以AB⊥DE. (2)由(1)知∠ABD=∠CDB=90°,以D为坐标原 点,DB,DC,DE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2

3

,0,0),

C(0,2,0),E(0,0,2),A(2 3 ,-2,0),F( 3 ,0, → =(2 3 ,-2,0), DE → =(0,0,2), AF →= 1),所以 DA (- 3,2,1). 设平面ADE的一个法向量为n=(x,y,z),则有
考 点 考 向 探 究

→ =0, ? ? DA ?n· ?2 3x-2y=0, ? 即? → =0, ? ?2z=0. ? DE ?n· 令x=1,则y= 3.又z=0,所以n=(1, 3,0). 设直线AF与平面ADE所成的角为α,则有sin
? ? → ? ? n · AF 3 6 ? ? ?= → =8. ?= ?cos 〈n,AF〉? ? ?? ?n?? → ? 2? 8 ? ??AF? ? ? ?

α =

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何
? 考向三 平面与平面所成的角

考 点 考 向 探 究

如图126所示,PA⊥平面ABCD,△ABC为等边 1 三角形,PA=AB=2AD,AC⊥CD,M为AC中点. (1)证明:BM∥平面PCD; 6 (2)若PD与平面PAC所成角的正切值为 2 ,求二面角 C?PD?M的正切值.

例4

图12?6
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

解:(1)证明:因为M为等边三角形ABC的边AC的中点, 所以BM⊥AC. 又CD⊥AC,且A,B,C,D四点共面,所以BM∥CD. 又因为BM?平面PCD,CD?平面PCD,所以BM∥平面PCD. (2)因为CD⊥AC,CD⊥PA,
考 点 考 向 探 究

AC∩PA=A, 所以CD⊥平面PAC,故∠CPD 即为PD与平面PAC所成的角. 不妨设PA=AB=1,则PC= 2. 6 CD 又tan∠CPD= PC = 2 ,所以 CD= 3.
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

方法一:在Rt△PAC中,过点M作ME⊥PC于点E,再在Rt △PCD中作EF⊥PD于点F.因为ME⊥PC,ME⊥CD,PC∩CD =C,所以ME⊥平面PCD,所以ME⊥PD. 又EF⊥PD,所以∠EFM即为二面角CPDM的平面角.
考 点 考 向 探 究

2? 3 3 30 2 3 易知PE=3EC,ME= 4 ,EF=4? = 20 , 5 2 4 15 ME 所以tan∠EFM= EF = = 9 , 3 30 20 15 即二面角C PDM的正切值是 9 .
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何
方法二:以A点为坐标原点,AC为x轴,AP为z轴,建立如图

所示的空间直角坐标系Axyz,则P(0,0,1),M C(1,0,0),D(1, 3,0),

?1 ? ? ,0,0? ?2 ?



考 点 考 向 探 究

→ =(1,0,-1), PD → =(1, 所以 PC
?1 ? ? ,0,-1?. ?2 ?

→ = 3 ,-1), PM

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何
设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面PCD和平面

→ =0, ? ? ?n1?PC ?x1-z1=0, PMD的法向量.由? 即? → =0, ? ?x1+ 3y1-z1=0, ?n1?PD ? 令x1=1,则y1=0,z1=1,所以n1=(1,0,1). 1 ? → ? ? n ? PM = 0 , x2-z2=0, ? 2 2 由? 即? → =0, ? ?n2?PD ? ?x2+ 3y2-z2=0,
? ? 3 3 ? 令x2=2,则y2=- ,z2=1,所以n2=?2,- ,1? ?, 3 3 ? ? n1?n2 3 27 所以cos〈n1,n2〉= = = 32, |n1||n2| 16 2? 3

考 点 考 向 探 究

故二面角CPDM的余弦值是

27 15 ,易求得其正切值是 . 32 9
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

变式题 如图127所示,在等腰梯形ABCD中, AB∥CD,AB=2BC=2CD=2,E是AB的中点,F是DE的中 点,沿直线DE将△ADE翻折到△A′DE.

考 点 考 向 探 究

图127

(1)取A′B的中点G,求证:EG∥面A′FC; (2)若使二面角A′?DEB为60° ,求二面角FA′BC的正切 值.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

解:(1)证明:取 A′C 的中点 H,连接 FH,GH,则 1 GH∥FE∥BC, 且 GH=FE= BC, 即四边形 EFHG 为平 2 行四边形, ∴FH∥EG.又 EG?平面 A′FC,FH?平面 A′FC,
考 点 考 向 探 究

∴EG∥平面 A′FC.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

(2)方法一:作FK⊥A′B于点K,连接KH, 则FH⊥平面A′BC,∴FH⊥A′B, ∴A′B⊥平面FKH,∴A′B⊥KH, ∴∠FKH为二面角FA′BC的平面角. HK 又△A′KH∽△A′CB,∴ BC = A′H 21 ,易得HK= 14 , A′B 3 21 又HF= ,∴tan∠FKH= . 4 2

考 点 考 向 探 究

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

方法二:取A′C的中点H,连接HF.以F为原点,FE 为x轴,FC为y轴,建立空间直角坐标系,则
? B? ?1, ? ? ? ? ? 3 3 3? 3 ? ? ? ? ? , A ′ , C , 0 0 , , 0 , , 0 ? ? ? ? ,A′C的中点 2 4 4? 2 ? ? ? ? ?

? 3 3 3? ? ? H?0, , ?, 8 8 ? ?

考 点 考 向 探 究

易求得平面A′BF的一个法向量为m=(3,-2 2), 平面A′BC的一个法向量为n=(0, 3,1), 2 则cos〈m,n〉=-5, 21 ∴二面角FA′BC的正切值为 2 .

3 ,

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

考 点 考 向 探 究

[小结] 立体几何解答题的一般模式是:首先证明线 面位置关系(一般首先考虑使用几何方法进行证明,在一 些容易建立坐标系的问题中也可以直接建系,使用空间 向量方法证明),然后与空间角有关的问题(应用几何方 法和空间向量方法都可以,但使用几何方法要作出二面 角的平面角,并在解题过程中要有相关证明).

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

? 考点三

利用向量解决探索性问题

空间向量与立体几何

考 点 考 向 探 究

探索性问题——条件或结论不确定的问题、存在性等问题 题型:解答 分值:占有分值10分左右 难度:中等 热点:应用空间向量求解探索性问题,通常作为解答题的一部分

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

考 点 考 向 探 究

例5 如图128所示,在四棱锥PABCD中,底面 ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,E,F分别为 PA,BD的中点,PA=PD=AD=2. (1)求证:EF∥平面PBC. (2)求二面角EDFA的余弦值. (3)在棱PC上是否存在一点G,使GF⊥平面EDF?若 存在,指出点G的位置;若不存在,说明理由.

图128
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何
解:(1)证明:如图所示,连接AC. 因为底面ABCD是正方形,所以AC与BD互相平分. 又因为F是BD的中点, 所以F是AC的中点. 在△PAC中,E是PA的中点,F是AC的中点,所以

EF∥PC.
考 点 考 向 探 究

又因为EF?平面PBC,PC?平面PBC,所以EF∥平面 PBC.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

(2)取AD的中点O,连接PO,OF.在△PAD中,因为PA=PD,所 以PO⊥AD. 因为平面PAD⊥底面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以PO⊥平面ABCD. 又因为OF?平面ABCD,所以PO⊥OF. 又因为F是AC的中点,所以OF⊥AD.
考 点 考 向 探 究

如图所示,以O为原点,OA,OF,OP所在的直线分别为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

因为PA=PD=AD=2,所以OP= 3 .易知O(0,0,0),A(1,0, 0),B(1,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),P(0,0,
?1 E? ?2,0, ?

3

),

3? ? ,F(0,1,0), 2? ?

?3 3? ? → → → =(1,1,0), OP →= 所以 AB =(0,2,0), DE = ? ,0, ? , DF ? 2? ?2

考 点 考 向 探 究

(0,0, 3). 因为OP⊥平面ABCD, → =(0,0, 3)是平面ABCD的一个法向量. 所以OP 设平面EFD的一个法向量为n=(x0,y0,z0). ?x0+y0=0, → ? ? n · DF = 0 , ? 因为? 所以?3 3 → x + z =0 , ?n· ? DE=0, ? ?2 0 2 0
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

令x0=1,则y0=-1,z0=- 3,所以n=(1,-1,- 3),
? ? ? ? → ?-3? OP ? n ? ? 15 ? ? ? ?= → 所以? = = . cos 〈 OP , n 〉 ? ?? ? ? ? 5 ? → ??n? 3 ? 5 ?OP?? ? ? ? ?

考 点 考 向 探 究

由图可知,二面角E DF A为锐角,所以二面角E DF A的余弦 15 值为 5 . (3)假设在棱PC上存在一点G,使GF⊥平面EDF. → =(x1,y1-1,z1). 设G(x1,y1,z1),则FG 由(2)可知平面EDF的一个法向量是n=(1,-1,- 3). → =λn, 因为GF⊥平面EDF,所以FG 于是x1=λ,y1-1=-λ,z1=- 3 λ ,即x1=λ,y1=1-λ,z1= - 3λ .

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

→ 与PC → 共线. 又因为点G在棱PC上,所以CG → =(-1,2,- 3),CG → =(x1+1,y1-2,z1), 又因为PC 所以 x1+1 y1-2 z1 = 2 = , -1 - 3

1+λ -λ-1 - 3λ 所以 = 2 = ,此时无解. -1 - 3

考 点 考 向 探 究

故在棱PC上不存在点G,使GF⊥平面EDF成立.

[小结]立体几何中探索性问题(判断存在型、条件探索 型、结论探索型、类比推理型、知识重组型等)以判断存在 型为主,这类问题的一般解决方法是:先假设其存在,再把 这个假设作为已知条件,和题目的其他已知条件一起进行推 理论证和计算,在推理论证和计算无误的前提下,如果得到 一个合理的结论,则说明存在,反之,则说明不存在.
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

—— 教师备用例题 ——
例1 【【配例2使用】如图所示,四棱柱ABCD A1B1C1D1的 底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E 为BC的中点,AA1⊥平面ABCD. (1)证明:平面A1AE⊥平面A1DE; (2)若DE=A1E,试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值; (3)在(2)的条件下,试求二面角CA1D?E的余弦值.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

解: 以A为原点,过A且垂直于BC的直线为x轴,AD所在的直 线为y轴,AA1所在的直线为z建立空间直角坐标系. 设AA1=a(a>0),易知A(0,0,0),D(0,2,0),
? C? ? ? ? ? 3 1 ? 3 3 ? ? ? , A (0 , 0 , a ) , E , , 0 , , 0 1 ? ? 2 ?. 2 2 2 ? ? ? (1)证明:设平面A1AE的一个法向量为n1=(m,n,p), ? 3 1 ? ? → →1=(0,0,a), 又AE=? , ,0? ,AA ? 2 ? 2 ?

? → = 3m+1n=0, ?n1?AE 2 2 所以由? ?n ?AA ? 1 →1=ap=0, 取m=1,则n=- 3.又p=0从而n1=(1,- 3,0).
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

? 同理可得,平面A1DE的一个法向量为n2=? ?

2? 3,1,a?, ?
? ? ? ?

所以n1?n2=0,所以平面A1AE⊥平面A1DE. (2)由DE=A1E,即
? ? ? ?

1?2 3? ?2 ? ? + 2-2? +0 = 2? ? ? ?

1?2 3? ?2 ? 2 ? ? + + a , 2? ?2? ?

解得a= 2, → 所以A 1D=(0,2,- 2). 设异面直线AE与A1D所成的角为θ.
? → =? 又AE ? ? ? 3 1 ? , , 0 ?, 2 2 ? → ?A → |AE 6 1D | 所以cos θ = =6. → ||A → |AE 1D|

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

(3)由(2)可知A1A= 2 ,平面A1DE的一个法向量为n2=( 3 ,1,
? ? 3 1 ? → → 2),CD=?- , ,0? ,A 1D=(0,2,- 2). ? 2 2 ? ?

→ ? ?A 1D?n3=0, x , y , z 设平面CA1D的一个法向量为n3= ,则有 ? →· ? n3=0, ?CD
? ? ? ? ? ?

?2y- 2z=0, ? 即? 3 1 - x+2y=0, ? ? 2 令x=1,则y= 3,z= 6,所以n3=??1, 3, 6??. 设二面角C?A1D?E的平面角为φ,易知φ为锐角,则cos
? ? ? ? ?

φ=

cos 〈n2,n3〉

? ? ?

?n2?n3? ? =? ?? ??= ?? ?? ? ?? ?n2??n3??

4 3 2 5 = 5 , 10? 6

2 5 即二面角C?A1D?E的余弦值为 5 .
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

例2 【配例4使用】[2014· 浙江卷] AB=CD=2,DE=BE=1,AC= 2. (1)证明:DE⊥平面ACD; (2)求二面角BADE的大小.

如图所示,在四棱锥

A ?BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

解:(1)证明:在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD= 2,得BD=BC= 2, 由AC= 2,AB=2, 得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC. 又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE, 所以AC⊥DE.又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD. (2)方法一: 过B作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AE 交于点G,连接BG.由(1)知DE⊥AD,则FG⊥AD.所以∠BFG是 二面角B -AD -E的平面角. 在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

得BD⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而BD⊥AB.由 AC⊥平面BCDE,得AC⊥CD. 在Rt△ACD中,由DC=2,AC= 2,得AD= 6. 在Rt△AED中,由ED=1,AD= 6,得AE= 7. 2 3 在Rt△ABD中,由BD= 2,AB=2,AD= 6,得BF= 3 , 2 2 2 AF= AD.从而GF= ED= . 3 3 3
返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

5 7 在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分别可得cos∠BAE= 14 , 2 BG=3. GF2+BF2-BG2 3 在△BFG中,cos∠BFG= =2. 2BF?GF π 所以,∠BFG= 6 ,即二面角B -AD -E的大 π 小是 . 6 方法二: 以D为原点,分别以射线DE,DC为x,y轴的 正半轴,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

由题意知各点坐标如下: D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2, 1,0). 设平面ADE的法向量为m=(x1,y1,z1), 平面ABD的法向量为n=(x2,y2,z2). →= 可算得 AD =(0,-2,- 2), AE =(1,-2,- 2), DB (1,1,0). ? AD =0, ? ?m · ?-2y1- 2z1=0, 由? 即? AE =0, ? ?x1-2y1- 2z1=0, ? ?m · 可取m=(0,1,- 2). 2 ),B(1,

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

→ =0, ? ? AD ?n· ?-2y2- 2z2=0, ? 由 即? → =0, ? ?x2+y2=0, ? DB ?n· 可取n=(1,-1, 2). |m?n| 3 3 于是|cos〈m,n〉|= = = . |m|· |n| 3?2 2 由题意可知,所求二面角是锐角, π 故二面角B -AD -E的大小是 . 6

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

例3 【配例5使用】如图所示,四棱锥P 面PAB⊥平面ABCD. (1)求证:PD⊥AC.

ABCD的底面

ABCD是矩形,AB=2,BC= 2 ,且侧面PAB是正三角形,平

(2)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角E BD A的大小 AE 为45°?若存在,试求AP的值,若不存在,请说明理由.

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

解: 取AB的中点H,连接PH,则由PA=PB,得PH⊥AB.又平 面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB, ∴PH⊥平面ABCD.以H为原点,建立空间直角坐标系Hxyz(如 图所示),则A(1,0,0),B(-1,0,0),D(1, 2,0),P(0,0, 3). 2 ,0),C(-1,

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何
→ =(1, 2,- 3),AC → =(-2, 2,0), (1)证明:∵ PD → ?AC → =(1, 2,- 3)· ∴ PD (-2, 2,0)=0, → ⊥AC → ,即PD⊥AC. ∴ PD (2) 假设在棱PA上存在一点E,使得二面角E BD A的大小为45°.

→ =λAP → (0<λ<1), 连接BE,ED.不妨设AE 则点E的坐标为(1-λ,0, 3λ ), → =(2-λ,0, 3λ ). ∴ BE → =(2, 2 ,0), 设n=(x,y,z)是平面EBD的一个法向量,又 BD 则 →, → =0, ? ? ? ?n⊥BE ?n?BE ?(2-λ)x+ 3λz=0, ? ?? ?? 不妨取x= ? → → =0 ?2x+ 2y=0, ? ? ?n⊥BD ?n?BD
? 2-λ 2-λ? ? ? 3,则y=- 6,z=- λ ,∴n=? 3,- 6,- . λ ? ? ?

返回目录

第12讲

空间向量与立体几何

→ =(0,0, 3)是平面ABD的一个法向量, 又HP ∴要使二面角E BD A的大小等于45°,
? ? →· HP n ? → 则有cos 45°=|cos 〈HP,n〉|= ?? ?= ?n? →? HP ?? ? ? ? ? ? ? ?

?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??

? 2-λ? ? (0,0, 3)? 3,- 6,- λ ?· ?

3,-

? ? 2-λ? ?? ? ?(0,0, 6,- λ ??· ? ??

?
?

,即2λ2+λ-1=0,

3)? ?

1 → =1AP →. 可解得λ= (λ=-1舍去),即AE 2 2 故在棱PA上存在点E,使得二面角E BD A的大小为45°,此 AE 1 时AP= . 2

返回目录


【高考复习方案】专题4-立体几何-2015年高三数学(理科)....ppt

【高考复习方案】专题4-立体几何-2015年高三数学(理科)二轮复习-浙江省专用 - 专题四 立体几何 第10讲 第11讲 第12讲 空间几何体的三视图、表面积及体积 空间...

高考数学二轮复习课件专题4-立体几何(新课标理科浙江专....ppt

高考数学二轮复习课件专题4-立体几何(新课标理科浙江专用) - 专题四 立体几何

【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题....doc

【创新方案】2015高考数学(新课标版,文)二轮复习专题训练:专题4 立体几何 卷] - 专题四立体几何第一讲卷 一、选择题 1.(2014 湛江模拟)一个几何体的正...

...2015年高考数学(浙江专用,理科)二轮专题复习讲练:专....doc

【步步高】2015年高考数学(浙江专用,理科)二轮专题复习讲练:专题四 第3讲] - 第3讲 考情解读 立体几何中的向量方法 (1)以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体...

2018年高三数学(理科)二轮复习完整版【精品推荐】.doc

2018年高三数学(理科)二轮复习完整版【精品推荐】_数学_高中教育_教育专区。高考...(4)立体几何。此专题注重点线面的关系,用空间向量解决点线面的问题是重点。 ...

《优化探究》2015年高三数学(理科)二轮复习课件:专题五....ppt

《优化探究》2015年高三数学(理科)二轮复习课件:专题立体几何 1-5-2 - 高考专题复习 数学(理) 析热点 高考聚集 研思想 方法提升课跟训时踪练 第二...

...复习专题学案 专题4-立体几何课件 (浙江文科专用)_....ppt

【60天冲刺】2012年高考数学二轮三轮总复习专题学案 专题4-立体几何课件 (浙江文科专用) - 专题四 立体几何 专题四 │ 知识网络构建 知识网络构建 专题四 │ 考...

【最新】高三理科数学二轮复习:专题四立体几何高考解答....doc

【最新】高三理科数学二轮复习:专题四立体几何高考解答题专讲(四) 空间向量与立体几何-含解析 - 跳步答题 : 解 题过程 卡在某 一过渡 环节上 是常见 的。...

...复习专题学案_专题4-立体几何课件_(浙江文科专用)_....ppt

【60天冲刺】2012年高考数学二轮三轮总复习专题学案_专题4-立体几何课件_(浙江文科专用)_高考_高中教育_教育专区。专题四 立体几何 专题四 │ 知识网络构建知识...

...2015年高考数学(江苏专用,理科)二轮专题复习 专题七....doc

【步步高】2015年高考数学(江苏专用,理科)二轮专题复习 专题七 第4讲]_高考_...(如数形结合思想,立体几何问题向平 面几何问题转化). (4)正难则反原则:若...

专题05 立体几何(讲)-2017年高考数学(文)二轮复习讲练....doc

专题05 立体几何(讲)-2017年高考数学()二轮复习讲练测 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。考向一 空间几何体 1.讲高考【考纲要求】 空间几何...

专题07 立体几何(理)(教学案)-2014年高考数学二轮复习....doc

专题07 立体几何(理)(教学案)-2014年高考数学二轮复习精品资料(原卷版)_高考...1 C. 2 D. 4 【举一反三】 【2014 届新余一中宜春中学高三年级联考数学(...

【强烈推荐】高三数学第二轮专题复习系列(8)--_空间向....doc

浙江省2012届高三数学二轮... 暂无评价 11页 免费 【步步高】2012届高三数学....立体几何题型与方法(理科) 32页 免费 高中高考数学复习专题之空... 28页 免费...

2015届高三人教A版理科数学二轮复习课件2-4-3_图文.ppt

2015高三人教A版理科数学二轮复习课件2-4-3_数学_高中教育_教育专区。2015届...二轮复习 数学(理) 基础记忆提能专训 专题四 热点盘点 立体几何 [二轮...

【3份】2016版高考数学大二轮总复习(全国通用 理科)配....ppt

【3份】2016版高考数学二轮总复习(全国通用 理科)配套课件:专题立体几何与空间向量 共144张PPT_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题立体几何与空间...

高考理科数学二轮专题复习大题之立体几何_图文.doc

高考理科数学二轮专题复习大题之立体几何_高考_高中...河北师大附属民族学院高中部 12 级高三理数二轮大题...如果不计容器的厚 A. 4 【答案】B 14 B. 3 ...

【全国通用-2018高考推荐】高三数学《立体几何》(文科)....doc

【全国通用-2018高考推荐】高三数学立体几何》(文科)一轮复习专题突破训练及答案解析 - 2018 届高三数学文一轮复习专题突破训练 立体几何 一、选择、填空题 1、...

【2015高考复习方案】(北师大版理科)数学总复习第7单....ppt

【2015高考复习方案】(北师大版理科)数学总复习第7单元 立体几何(444张

2015届高考数学(理湖北)二轮专题复习课件【5】立体几....ppt

2015高考数学(理湖北)二轮专题复习课件【5】立体几何 - 热点重点难点专题透析数学理科(HUB) 【考情报告】 年份 题型 考点 2012 年 2013 年 2014 年 ...

2015春高三第二轮复习专题五 立体几何文科(教师版).doc

2015高三二轮复习专题立体几何文科(教师版)_数学_高中教育_教育专区。...【答案】C 4 3 / 16 8.[2014 湖北文数] 在如图 11 所示的空间直角...