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高二数学导数测试题(经典版)

时间:2013-03-13


一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一项是符合要求的) f (1 ? ?x) ? f (1) 1.设函数 y ? f ( x) 可导,则 lim 等于( ) . ?x ?0 3?x 1 A. f '(1) B. 3 f '(1) C. f '(1) D.以上都不对 3 1 2.已知物体的运动方程是 S ? t 4 ? 4t 3 ? 16t 2 ( t 表示时间, S 表示位移) ,则瞬时速度 4 为 0 的时刻是( ) . A.0 秒、2 秒或 4 秒 B.0 秒、2 秒或 16 秒 C.2 秒、8 秒或 16 秒 D.0 秒、4 秒或 8 秒 3.若曲线 y ? x2 ?1 与 y ? 1 ? x3 在 x ? x0 处的切线互相垂直,则 x0 等于(
3

) .

A.

36 6

B. ?

3

36 6

C.

2 3

D.

2 或0 3

4.若点 P 在曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? (3 ? 3) x ? 则角 ? 的取值范围是( A. [0, ? ] C. [
2? ,? ) 3
1 ' 1 ) ? 1? 2 x x

3 上移动,经过点 P 的切线的倾斜角为 ? , 4

) .

? 2? B. [0, ) ? [ , ? ) 2 3 ? ? 2? D. [0, ) ? ( , ) 2 2 3
) B.

5.下列求导数运算正确的是(
A. ( x ?

(log2 x) ' ?
2 '

1 x ln 2

C. (3 x ) ' ? 3 x log3 e
3 2

D. ( x cos x) ? ?2 x sin x

6.已知函数 f ( x) ? x ? px ? qx 的图像与 x 轴切于点 (1, 0) ,则 f ( x) 的极大值、极小 值分别为( ) . 4 4 A. ,0 B.0, 27 27 4 4 C. ? ,0 D.0, ? 27 27 7.对于 R 上可导的任意函数 f (x),满足(x-1)f ′(x)≥0,则必有(
A.f (0)+f (2)<2f (1) C.f (0)+f (2)≥2f (1) B.f (0)+f (2)≤2f (1) D.f (0)+f (2)>2f (1)

)

8. 若函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 在其定义域的一个子区间 ?k ?1, k ? 1? 上不是单调函数, 则实数 k 的取
值范围( A. k ? )

3 2

B. k ? ?

1 2

C.

1 3 ?k? 2 2

D. 1 ? k ?

3 2

9. 用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2 : 1 ,则该长方体
-1-

的最大体积为( A. 2m
3

) B. 3m
3

C. 4m

3

D. 5m

3

10.设 f (x) 、 g (x) 是定义域为 R 的恒大于 0 的可导函数,且 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ,
则当 a ? x ? b 时有( ) B. f ( x) g (a) ? f (a) g ( x) D. f ( x) g ( x) ? f (a) g (a) A. f ( x) g ( x) ? f (b) g (b) C. f ( x) g (b) ? f (b) g ( x)

11.已知 上的最小值为 A. 12. 0 (e B.
x

(m 为常数)在

上有最大值 3,那么此函数在 ( )

C.

D.

?

1

? e ? x )dx =
1 e
B.2e C.
2 e

( D. e ?



A. e ?

1 e

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 13.设 m∈R,若函数 y=ex+2mx (x∈R)有大于零的极值点,则 m 的取值范围是________. 14.求曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 l:x ? y ? 3 ? 0 的最短距离______________. 2 15.设 是偶函数,若曲线 在点 处的切线的斜率为 1,则该曲线在

处的切线的斜率为_________. 16 等比数列 {an } 中 a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )(x ? a2 ) ? ? ? ( x ? a8 ) ,则 f ?(0) ? ( 三、解答题(50 分) 17.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 5 相切的直线方程.
)

-2-

18.已知函数 f ( x) ? x ?

4 . x

(Ⅰ)求函数 f (x) 的定义域及单调区间; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间[1,4]上的最大值与最小值.

19. 设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (1)求 a、b 的值;

3] (2)若对于任意的 x ? [0, ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围.

20.某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利 200 元,如果生产出一件件 次品则损失 100 元,已知该厂制造电子元件过程中,次品率 P 与日产量 x 的函数关系是
P? 3x ( x ? N? ) . 4x ? 32

(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量 x (件)的函数; (2)为获最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?

-3-

21.(14 分)已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求 f (x)的单调区间; (2)若 f (x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f (x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值 范围.

.
1 22. 已知函数 f(x)= x2-alnx(a∈R). 2 (1)若 f(x)在 x=2 时取得极值,求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间; 1 2 (3)求证:当 x>1 时, x2+lnx< x3 2 3

高二数学导数测试题参考答案
一、选择题:CDABB ACDBC DD 二、填空题
1 2 三、解答题

13. a ? ?

14.

15.

16。4096

17.解:设切点为 P (a, b) ,函数 y ? x ? 3x ? 5 的导数为 y ? 3x ? 6x
3 2 ' 2

切线的斜率 k ? y' |x?a ? 3a2 ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x3 ? 3x2 ? 5 得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 .

18.解: (Ⅰ)函数的定义域为 {x | x ? 0} 。 f ' ( x) ? 1 ? 令 f ' ( x) ? 0 ,即 1 ?
4 ? 0 , 解得 x2

4 , x2

x1 ? ?2 , x2 ? 2 。

当 x 变化时, f ' ( x) , f (x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x) f (x)

(??,?2)

-2 0 -4

(?2,0)

(0,2)

2 0 4

(2,??)

+ ↗

- ↘

- ↘
-4-

+ ↗

因此函数 f ( x) ? x ?

4 在区间 (??,?2) 内是增函数,在区间 (?2,0) 内是减函数,在区 x

间 (0,2) 内是减函数,在区间 (2,??) 内是增函数。 (Ⅱ)在区间[1,4]上, 当 x=1 时,f(x)=5;当 x=2 时,f(x)=4;当 x=4 时,f(x)=5。 因此,函数 f (x) 在区间[1,4]上的最大值为 5,最小值为 4。
3x ? 3x 3x , 当每天生产 x 件时, x 有· 件次品, x ?1 ? 有 ? ? 4 x ? 32 ? 4 x ? 32 4 x ? 32 ? 3x ? 3x 64 x ? x 2 ? 100 x · ? 25 · 件正品,所以 T ? 200 x ?1 ? , ? ? 4 x ? 32 x?8 ? 4 x ? 32 ?

20: (1) 次品率 P ? 解: ∵

· (2)由(1)得 T ? ? ?25

( x ? 32)( x ? 16) . ( x ? 8) 2

由 T ? ? 0 得 x ? 16 或 x ? ?32 (舍去) . 当 0 ? x ? 16 时, T ? ? 0 ;当 x ? 16 时, T ? ? 0 .所以当 x ? 16 时, T 最大. 即该厂的日产量定为 16 件,能获得最大利润. 21. (1)f ′(x)=3x2-3a=3(x2-a).
当 a<0 时,对 x∈R,有 f ′(x)>0, ∴当 a<0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞). 当 a>0 时,由 f′(x)>0,解得 x<- a a或 x> a; 由 f′(x)<0,解得- a<x< a, ∴当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,- a), ( a,+∞),f(x)的单调减区间为(- a, a). (2)∵f(x)在 x=-1 处取得极值, ∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1. ∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3. 由 f′(x)=0 解得 x1=-1,x2=1. 由(1)中 f(x)的单调性可知,f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1,在 x=1 处取得极小 值 f(1)=-3. ∵直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,∴结合 f(x)的单调性可知,m 的取值范围是(-3,1).

-5-


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