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二次函数复习课课件晋

时间:2016-10-15


一、定义 二、图象特点和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与a、 b、c、 的正负关 系

一般地,形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数, 叫二次函数。

一、二次函数的定义
练习1、 在

y=-x2,

y=100-5x2,


2 +3 , x y=-2x2+5x3-3 中

y=2x2-

2 个是二次函数。
k 2 ?k

练习2、函数y ? ( k ? 1) x 则k ? _______ -2 .
点评:定义要点

是二次函数,

(1)a≠0.

(2)最高次数为2.

(3)代数式一定是整式.

一、定义 二、图象特点和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与a、 b、c、 的正负 关系

1.特殊的二次函数

y=ax2 (a≠0)
的图象特点和函数性质

(一) 图象特点:
(1)是一条抛物线;
(2)开口方向: a>0时,开口向上; a<0时,开口向下; (3)对称轴是y轴;
图 26.2.1

(4)顶点在原点。 (5) a>0时,y最小=0 a<0时,y最大=0

(二) 函数性质:
a>0时,y轴左侧,函数 值y随x的增大而减小 ; y轴 右侧,函数值y随x的增大而增 大。 a<0时, y轴左侧,函 数值y随x的增大而增大 ; y轴 右侧,函数值y随x的增大而减 小。

图 26.2.1

二次函数的几种表现形式及图像
①、 y ? ax (a ? 0)
2
y

? ax ? c(a ? 0) 2 ③、 y ? a( x ? h) (a ? 0) 2 ④、 y ? a( x ? h) ? k (a ? 0) 2 ⑤、 y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
②、 y
2

o

x

(顶点式) (一般式)

一、定义 二、图象特点和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与a、 b、c、 的正负关 系

2.一般二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象特点和函数性质

(一) 图象特点:
(1)是一条抛物线; (2)开口方向: a>0时,开口向上; a<0时,开口向下. (3)对称轴是:x=- 2a 2 (4)顶点坐标是:(-2a , 4ac--b 4a ) 2 4ac-b (5) a>0时,y最小= 4a
a<0时,y最大=
4ac-b2 4a

图 26.2.4

(二) 函数性质:
a>0时,对称轴左侧(x<- 2a ), 函数值y随x的增大而减小 ;对称轴 右侧(x>- ),函数值y随x的增大而 2a 增大 。 a<0时,对称轴左侧(x<- 2a), 函数值y随x的增大而增大 ;对称轴 右侧(x>- 2a ),函数值y随x的增大而 减小 。

图 26.2.4

(三)、抛物线的平移法则
练习3、将抛物线y=-3x2-1向上平移2个单位, 再向右平 移 3个单位, 所得的抛物线的表达式 为
2 2

y ? ?3( x ? 3) ?1 ? 2 ? ?3x ? 18x ? 26



练习4.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移3个单位,再向上 平移2个单位,得抛物线y=x2-2x+2, 则b= -8 ,c= 15 ,

注意:顶点式中,上加下减常数项,左加 右减自变量

一、定义 二、图象的特点 和性质
一般式

解析式

使用 范围
已知任意 三个点
已知顶点 (h,k)及 另一点 已知与x 轴的两个 交点及另 一个点

y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2)

三、解析式的求法 四、图象位置与a、 b、c、 的正负 关系
顶点式

交点式

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x

c=0

c<0
b x=- 2a

0

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 ab=0 Δ=0 c<0 的位置: ab<0 Δ<0
x b (3)a、b确定对称轴x=- 2a

0

ab>0 Δ>0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x

?(0,c)
0

c=0

c<0
b x=- 2a

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:

0 (0,0)

?

c>0
x

c=0

c<0
b x=- 2a

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a x

0

?(0,c)

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0
b x=2a y

(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a x

0

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

b x=- 2a y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a x

0

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0
b x=2a

(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a x

0

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:

0

?(x ,0) ?(x ,0) (3)a、b确定对称轴
x
1 2

c>0

c=0

c<0
b x=- 2a

ab>0 Δ>0

ab=0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a x

0

?(x,0)

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

y

(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a

0

?

x

(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0

的位置: ab<0 Δ<0

(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:

题型分析:
(一)抛物线与x轴、y轴的交点及所构成 的面积 例1:填空: (1)抛物线y=x2-3x+2与y轴的交点坐 (0,2) 标是____________ ,与x轴的交点 (1,0)和(2,0) 坐标是____________ ; (2)抛物线y=-2x2+5x-3与y轴的交 (0,-3) 点坐标是____________ ,与x轴的 3 (1,0)和(2 ,0) 交点坐标是____________ .

例2:已知抛物线y=x2-2x-8, (1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点; (2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、 B,且它的顶点为P,求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4x(-8)=36>0

∴该抛物线与x轴一定有两个交点
y

(2)解:∵抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0 解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9)

A P

B

x

∴S△ABC=27

(二)根据函数性质判定函数图象 之间的位置关系及符号的判断
例3:在同一直角坐标系中,一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
y y y y

O

x O

x x O O x

A

B

C

D

答案: B

4.若无论x取何实数,二次函数y=ax2+bx+c的 值总为负,那么a、b, c应满足的条件是(C )
A.a>0且b2-4ac≥0 B.a>0且b2-4ac>0 C.a<0且b2-4ac<0 D.a <0且b2-4ac ≤0

5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图 象如图所示,请根据图象判断下 列各式的符号:a < 0 ,b < 0,
c > 0 ,? > 0 , a-b+c > 0,a+b+c = 0

6、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例: y 1)、当x=1 时,y= a+b+c >0
2)、当x=-1时, y= a-b+c <0

3)、当x=2时, y= 4a+2b+c >0
4)、当x=-2时, y= 4a-2b+c <0
5)、b? -4ac> 6)、2a+b>

-2

-1

o 1 2

x

b ? ?1 ? b? ? 2a ? 2a ? b? 0 0. 2a

0.

(三)根据函数性质求函数解析式

例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并 且图象经过点(3,-6)。求a、b、c。
解:∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时,x=1 ∴顶点坐标为( 1 , 2) ∴设二次函数的解析式为 y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点(3,-6) ∴-6=a(3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2



即y=-2x2+4x ∴ a=-2 ,b=4 ,c=0.

四、二次函数的综合运用
例1 、如图①, 已知抛物线 y=ax? +bx+3 (a≠0)与 x轴交于点A(1,0)和点B (-3,0),与 y轴交于点C.

(1) 求抛物线的解析式; (2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得 △QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在, 请说明理由. (3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M, 问在对称轴上是否 存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出 所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. (4) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、 CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐 标.

.如图①, 已知抛物线y=ax? +bx+3 (a≠0)与 x轴 交于点A(1,0)和点B (-3,0),与y轴交于点C. (1) 求抛物线的解析式;

y=-x? -2x+3
(0,3)

(2)在(1)中抛物线的 对称轴上是否存在点Q,使 得△QAC的周长最小?若 存在,求出Q点的坐标;若 不存在,请说明理由.

Q

(-3,0)

(1,0)

Q(-1,2)

(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ,问在对称轴上是 否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接 写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理 由.

?以M为圆心,MC为半径画弧,
与对称轴有两交点;以C为圆心,
(0,3)

MC为半径画弧,与对称轴有一
个交点(MC为腰)。
(-3,0) (-1,0) (1,0)

?作MC的垂直平分线与对称轴
有一个交点(MC为底边)。

(4) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,
连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并

求此时E点的坐标.
(m,-m? -2m+3 )E

(0,3)

(-3,0)

F

(1,0)

1 2 3 练习:已知二次函数y=— x +x— 2 2 (1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两 点,求C, A,B的坐标。 (3)画出函数图象的示意图。 (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时, y有最大(小)值,这个最大(小)值是多少? (6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0?

1 x2+x-— 3 例5: 已知二次函数y=— 2 2

解:

(1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C, A,B的坐标。 (3)画出函数图象的示意图。 (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时,y有最大 (小)值,这个最大(小)值是多少? (6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0? 1 (1)∵a= — 2 >0
∴抛物线的开口向上 1 (x2+2x+1)-2=— 1 (x+1)2-2 ∵y= — 2 2 ∴对称轴x=-1,顶点坐标M(-1,-2)

1 2 3 已知二次函数 y= — x +x— 例 5: 2 2 (1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C, A,B的坐标。 (3)画出函数图象的示意图。 (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时,y有最大 (小)值,这个最大(小)值是多少? (6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0? (2)由x=0,得y= - -3 — 2 3 抛物线与y轴的交点C(0,- -2 —) 1 x2+x- — 3 =0 由y=0,得— 2 2 x1=-3 x2=1 与x轴交点A(-3,0)B(1,0)

解:

1 2 3 已知二次函数 y= — x +x— 例 5: 2 2 (1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C, A,B的坐标。 (3)画出函数图象的示意图。 (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时,y有最大 (小)值,这个最大(小)值是多少? (6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0? y x=-1 (3) ①画对称轴 (1,0) x (-3,0) ②确定顶点 0 ③确定与坐标轴的交点



?

及对称点 ④连线

? ? ? (-1,-2)

?

3 (0,-– 2)

1 2 3 已知二次函数 y= — x +x— 例 5: 2 2 (1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C, A,B的坐标。 (3)画出函数图象的示意图。 (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时,y有最大 (小)值,这个最大(小)值是多少? (6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0? y :(4)由对称性可知 MA=MB=√22+22=2√2 B(1,0) x A(-3,0) D AB=|x1-x2|=4 ∴ ΔMAB的周长=2MA+AB 0 =2 √2×2+4=4 √2+4 3 1 C(0,-–) ΔMAB的面积=— AB × MD 2 2 1 M(-1,-2) =— 2 ×4×2=4



?

? ? ?

?

1 2 3 已知二次函数 y= — x +x— 例 5: 2 2 (1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C, A,B的坐标。 (3)画出函数图象的示意图。 (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时,y有最大 (小)值,这个最大(小)值是多少? (6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0? x=-1 :(5)



当x≤-1时,y随x的增大 而减小; 当x=-1时,y有最小值为 y最小值=-2

?

(-3,0)

(1,0) x
0

?

? ? ? (-1,-2)

3 (0,-– 2)

1 2 3 已知二次函数 y= — x +x— 例 5: 2 2 (1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C, A,B的坐标。 (3)画出函数图象的示意图。 (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时,y有最大 (小)值,这个最大(小)值是多少? (6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0? y (6)

解:

由图象可知 当-3 < x < 1时,y < 0 当x< -3或x>1时,y > 0

?

(-3,0)

(1,0) x
0

?

? ? ? (-1,-2)

3 (0,-– 2)

巩固练习:
1、填空:
2-x-6的图象顶点坐标 (1)二次函数 y=x 25 1 1 ( — , — ) x= — 是___________ 对称轴是_________ 。 4 2 2 (2)抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标 (0,0)(2,0) 是___________ 1 2 (3)已知函数y=—x -x-4,当函数值y随 2 x的增大而减小时,x的取值范围是 x<1 ___________ (4)二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象 2 。 经过原点,则m= ____

2.选择

c (1) 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________. A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
(2)抛物线y=3x2-1的________________ B A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
(3)若y=ax2+bx+c(a ? 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0), C 则对称轴是_______ A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3 (4)若y=ax2+bx+c(a ? 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是_______ A A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2

3、解答题:
已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3),且 图象过点(-3,-2)。 (1)求此二次函数的解析式; (2)设此二次函数的图象与x轴交于A,B两点,O为 坐标原点,求线段OA,OB的长度之和。

2、已知一个二次函数的图象经过点(0,0), (1,﹣3),(2,﹣8)。 (1)求这个二次函数的解析式; (2)写出它的对称轴和顶点坐标。

4、 二次函数的图象如图所示,则在下列各不等式 中成立的个数是____________
y

-1
0

1

x

①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b-4ac > 0

归纳小结:
(1)二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用 注意:图象的递增性,以及利用图象求自变量x或函 数值y的取值范围 (2)a,b,c,Δ的正负与图象的位置关系 注意:图象与轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0)时 AB=|x2-x1|= √(x1+x2 )2+4x √Δ 1 x2= —— |a|

这一结论及推导过程。


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