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常见二元与多元分式函数最值求解策略

时间:2015-06-16


常见二元与多元分式函数最值问题的求解策略 ——————高中数学组 何勇 一元,二元甚至多元函数的最值问题在数学高考和数学竞赛中屡见不鲜,此类题目往往由 于出题者的独具匠心, 使得学生很难直接把握题目的特征。 求解此类最值问题主要有两类方 法一是函数方法,即将问题转化为二次函数,三角函数,分式函数的最值问题,二是不等式 的方法,即使用配凑、拆分、待定系数等手段,以下简举几例,以作探讨。 1.直接利用不等式求解类型 例 1. (2009 重庆卷文)已知 a ? 0, b ? 0 ,则 A.2 分析:因为 B. 2 2

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是( a b
D.5



C.4

1 1 1 1 1 1 ? ?2 a b ? 2 ?2 a b ? 2 ( ? a b) ? 当 4 且仅当 ? ,且 a b a b ab ab
w.w.w

1 ? ab ,即 a ? b 时,取“=”号,故选 c。 ab

例 2. (2008 江苏卷 11)已知 x, y, z ? R ? , x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则 分 析 : 直 接 消

y2 的最小值 xz
元 可

. 得

y 2 ( x ? 3z )2 x 2 ? 6 xz ? 9 z 2 1 x 9 z 1 x 9z 3 时 当 x ?y ? z ? ? ? ( ? ? 6) ? (2 ? 6) ? 3 , xz 4 xz 4 xz 4 z x 4 z x
取等,所以

y2 的最小值为 3。 xz

点评:在近几年的高考数学中,利用均值不等式求解分式最值类型题目较常见,处理的方式 也较直接,一是直接用均值不等式,一是直接消元。 2.齐一次分式型结构 例 3. x, y ? R ? ,则 M ?

x y ? 的最小值为 x ? 2 y y ? 2x



分析: M ( x, y ) 为 x, y 的轮换对称式,猜想 x ? y 时的最小值为

2 ,另 M (x, y ) 具有齐一次 3

分式的结构,尝试是否可以将 M ( x, y ) 转换成一次分式函数的最值

y 2 ? 2( ? x y 1 1 x ? ? ? 通分 法一: M ? y x ? 2 y y ? 2x 1? 2 y 1? 2x 5 ? 2( ? x y x
可得 M ?

x ) y x 2 ? 2t y 令t ? ? ? 2 , x x y 5 ? 2 t ) y

2 ? 2t 3 2 ? 1? ,在 [2, ??) 上单调递增,当 t ? 2 时,函数有最小值 ; 5 ? 2t 5 ? 2t 3

法二: 由于 M ( x, y ) 具有齐一次分式的结构, 尝试将 M ( x, y ) 进行变形, 以期出现倒数结构, 再利用均值不等式求解最值,考虑在分子上配凑分母

3M ?

3x 3y 2( y ? 2 x) ? ( x ? 2 y) 2(2 y ? x) ? (2 x ? y) y ? 2x 2 y ? x ? ? ? ? 2( ? )?2 x ? 2 y y ? 2x x ? 2y y ? 2x x ? 2 y y ? 2x
2 y ? 2x 2 y ? x y ? 2x 2 y ? x ? 即 ? 2 ? 2 ,所以 M ( x, y) 有最小值 ,当 3 x ? 2 y y ? 2x x ? 2 y y ? 2x

可得 3M ? 2 2

x ? y 时取得。
点评:在此例中,明显的法二更加具有技巧性,需要学生敏锐的观察出两个分母与分子的关 系。 3.二元齐二次分式型结构 先看一个较简单的题目: 例 4. (2011 镇江高三期末改) 不等式 a2 ? 3b2 ? ?b(a ? b) 对任意 a, b ? R ? 恒成立,则实数 ? 的最大值为 。

a 2 ? 3b 2 a 2 ? 3b2 法一:先分离参数,恒有 ? ? ,可见 M (a, b) ? 为齐二次分式型,所以 b( a ? b) b( a ? b )
a ( )2 ? 3 a 2 ? 3b 2 a t 2 ? 2t ? 4 M? 分子分母同除以b 2 M ? b 令t ? ? 1 ? 1M ? a b( a ? b ) b t ?1 b

4 4 ? M ? t ? ? 2 ? 2 t ? 2 ? 2 ,易知 a ? b 时取等。 t t a 2 ? 3b2 a 2 ? 3b2 法二: 同法一恒有 ? ? , 注意观察分母中的 ab 和分子中的 “3” , 将 “3” ? b(a ? b) ab ? b2
进行拆分, M ?

a 2 ? 3b2 a 2 ? b2 ? 2b2 2ab ? 2b2 ? ? ? 2 ,易知 a ? b 时取等。 ab ? b 2 ab ? b 2 ab ? b 2

再看一个较困难的: 例 5. (2011·湖北重点中学二联)对一切 x ? R, f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? b) 的值恒为非负
2

实数,则

a?b?c 的最小值为 b?a



2 分析: 由题意恒有 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 ,首先由于 a ? b , y ? f ( x) 不可能为正常函数,

所以 ?

? a ?0?b ? a ?0 a?b?c b2 c ? ,可得 ,由问题结构 将分子中的 c 进行放 2 2 b?a 4a ?b ? 4ac ? 0 ? b ? 4ac

缩可得

a?b?c ? b?a

a?b?

b2 2 2 2 2 4a ? 4a ? 4ab ? b ,问题则转化为求解 M ? 4a ? 4ab ? b b?a 4a (b ? a ) 4a(b ? a)

的最小值。

b b 4 ? 4( ) ? ( ) 2 4a ? 4ab ? b b t 2 ? 6t ? 9 a a 法一: M ? ,可得 ? 令t ? ? 1 ? 0M ? b 4a(b ? a) a 4t 4( ? 1) a
2 2

t 2 ? 6t ? 9 1 9 M? ? (t ? ? 6) ? 3 ,当 b ? c ? 4a 时取得。 4t 4 t
法二: M ?

4a 2 ? 4ab ? b 2 8a 2? b 2 ? 1 ? ,类似于问题一的分析合理“配凑” , 4ab ? 4a 2 4ab ? 4a 2

M ? 1?

8a 2 ? b2 16a 2 ? b2 ? 8a 2 2 16a 2b2 ? 8a 2 8ab ? 8a 2 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?3, 4ab ? 4a 2 4ab ? 4a 2 4ab ? 4a 2 4ab ? 4a 2

当 b ? c ? 4a 时取得。 点评:以上三问均具有齐次分式的结构,法一将问题转化为分式型函数求最值的模式,解答 较为直接;而法二对学生的能力提出了更高的要求,特别是在将问题如何转化为“积定”与 “和定”结构时,需要学生对代数式进行合理的拆分、配凑。 4.二元或多元高次分式型结构 例 6.(2010 上海新知杯 11 第(2)问改)若实数 a 使得对于任意实数 x1 , x2 , x3 , x4 ? R? ,不

x12 ? x2 2 ? x32 ? x4 2 等式 ? a 都成立,求 a 的最大值。 x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x4
分析:由分式结构考虑将 x2 2 , x32 进行拆分,待定常数 k ? (0,1) ,使得

x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? ( x12 ? kx22 ) ? (1 ? k )( x22 ? x32 ) ? (kx32 ? x42 )

? 2 k x1x2 ? 2(1? k ) x2 x3 ? 2 k x3 x4 , 令

k ? 1? k , 解 得

k?

5 ?1 , 故 2

x12 ? x22 ? x32 ? x4 (2 ? 5
当 x2 ? x3 ? 1, x1 ? x4 ?

,可得 5 ?1, 1?) ( x1 x2 ? x2 x ? x ) 3a 的最大值为 x4 3

5 ?1 时取得。 2

点评:在此例中,解题时较明显的感觉应将分子进行“配凑” ,但如何配凑以期出现分母直 接观察是比较困难的,考虑待定系数的手段。 练习: (1) 2x ? 2 3xy ? a( x ? y) 对一切正实数 x,y 恒成立,实数 a 的取值范围为 。

提示:同问题二,答案: a ? 3 (2) (2010 高考重庆理数) 已知 x ? 0,y ? 0, x ? 2y ? 2xy ? 8, 则 x ? 2y 的最小值是 ( A. 3 B. 4 C. )

9 2

D.

11 2

提示:由 x ? 2y ? 2xy ? 8 解出 y 代入 x ? 2y 消元变成二次分式型函数求解 答案: B (3 ) (2011 重庆一中高一期中)设二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4 x ? c 的值域为 [0, ?? ) ,并且

1 9 ? ? m 恒成立,则 m 的最小值为 c ?1 a ? 9
提示:由已知条件得 ? 答案:



?a?0 4 1 9 ? ,将 a ? 代入 变成二次分式型函数求解 c c ?1 a ? 9 ?ac ? 4

6 。 5

(4) x, y, z ? R? ,则

xy ? 2 yz 的最大值为 x ? y2 ? z2
2



提 示 : 待 定 系 数 : 在 xy ? 2 yz 上 乘 以 ? , 以 期 出 现 ? xy ? 2? yz ? x2 ? y 2 ? z 2 , 而

?y 5? 2 2 5? 2 2 ? xy ? 2? yz ? 2x ( )? 2? ( y z)? x 2 ? ( y ) ? z 2,令 =1,解得 ? ?
2 4

4

5

答案:

5 。 2


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