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空间图形的基本关系与公理

时间:2018-07-02

空间图形的基本关系与公理
一、知识梳理
1.平面概述 (1)平面的两个特征:①无限延展 ②平的(没有厚度) (2)平面的画法:通常画平行四边形来表示平面 (3)平面的表示:用一个小写的希腊字母 ? 、 ? 、 ? 等表示,如平面 ? 、平面 ? ;用表示 平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面 AC。 2.三公理三推论: 公理 1 :若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内: A ? l ,B ? l ,A ?? ,B ?? ? l ? ? 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合 是一条过这个公共点的直线。 公理 3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 3.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类

? ?相交直线 ?共面直线 ? ? ?平行直线 ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点
(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a’∥a,b’∥b,把 a’与 b’ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)

? ?? ? 0, ? ②范围: ? 2 ?
4.直线和平面的位置关系 位置关 系 公共点 符号表 示 直线 a 在平面α 内 有无数个公共点 直线 a 与平面α 相交 有且只有一个公共点 直线 a 与平面α 平行 没有公共点

a ??

a ??A

a / /?

图形表 示

1

5、两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数

两平面平 行

? / /?

0

斜交 两平面相 交

?

? ?a

有无数个公共 点在一条直线 上

? ??
垂直

?
6.平行公理

? ?a

有无数个公共 点在一条直线 上

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平 行,可能相交,也可能异面) 7.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

二、直线、平面平行的判定及其性质
1、直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行; (2)性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行; 2、平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; (2)性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 注:能否由线线平行得到面面平行?(可以。只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另 一个平面内的两条相交直线,这两个平面就平行)

三、直线、平面垂直的判定及其性质
1、直线与平面垂直 (1)定义:如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面α 垂直; (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直; 2、二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;
2

(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的 两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 3、平面与平面垂直 (1)定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直; (2)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直; (2)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 注:垂直于同一平面的两平面是否平行?(可能平行,也可能相交) 4、直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。 一、用符号表示下列语句 ①点 A 在平面 α 内,点 B 在平面 α 外 ②直线 l 经过平面 α 外的一点 M

二、选择题
1.下列命题中,正确命题的个数是( ①平 行于同一条直线的 两个平面平行. ②平行于同一个平面的两个平面平行. ③一个平面内有一条直线与另一平面平行,则这两个 平面平行.[来源:Z,xx,k.Com] ④两个平面平行,则分别在这两个平面内的两条直线平行. A. 0 B.1 C.2 D.3 2.下列命题中正确的个数是( ) )

① 若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l ∥? . ② 若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行.

③ 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也 与这个平面平行. ④ 若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点.
A. 0 B.1 C.2 ( ) D.3 3.如果直线 a 平行于平面 ? ,则

A.平面 ? 内有且只有一 直线与 a 平行 B.平面 ? 内有无数条直线与 a 平行 C.平面 ? 内不存在与 a 平行的直线[来源:Z*xx*k.Com] D.平面 ? 内的任意直线与直线 a 都平行 4.若两个平面互相平行,则分别在这两个平行 平面内的直线( ) A.平行 B.异面 C.相交 ) D.平行或异面

5.下列结论中,正确的有( ①若 a α ,则 a∥α

3

②a∥平面 α ,b

α 则 a∥b α ,b β ,则 a∥b α D.4 个

③平面 α ∥平面 β ,a

④平面 α ∥β ,点 P∈α ,a∥β ,且 P∈a,则 a A.1 个 B.2 个 C.3 个

6.已知直线 a 与直线 b 垂直,a 平行于平面 α ,则 b 与 α 的位置关系是( ) ①.b∥α A.①③ ②.b α B.①② ③.b 与 α 相交 C.②③ ④.以上都有可能 D.④ ( )

7.设 l 是直线,a,β 是两个不同的平面 A.若 l ∥a, l ∥β ,则 a∥β B.若 l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β l l C.若 a⊥β , ⊥a,则 ⊥β D.若 a⊥β , l ∥a,则 l ⊥β m、 n 及平面 ? ,下列命题中的假命题是( ) 8.已知直线 l 、 A.若 l // m , m // n ,则 l // n . C.若 l ? m , m // n ,则 l ? n . 9.下列命题中,正确的是( ) A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 10.已知直线 m、n 与平面 ? , ? ,给出下列三个命题: ①若 m // ? , n // ? , 则m // n; ③若 m ? ? , m // ? , 则? ? ? . 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ②若 m // ? , n ? ? , 则n ? m; B.若 l ? ? , n // ? ,则 l ? n . D.若 l // ? , n // ? ,则 l // n .

11. 设 α , β 是 两 个 不 同 的 平 面 , l 是 一 条 直 线 , 以 下 命 题 正 确 的 是 ( A . 若 l⊥ α , α ⊥ β , 则 l ? β C . 若 l⊥ α , α ∥ β , 则 l⊥ β



B . 若 l∥ α , α ∥ β , 则 l ? β D . 若 l∥ α , α ⊥ β , 则 l⊥ β

12.若 a∥α ,b∥α ,则直线 a、b 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.异面

) [来源:学,科,网 Z,X,X,K] D.A、B、C 均有可能

4


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