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抛物线专题复习讲义及练习

时间:2013-01-03


抛物线专题复习讲义及练习
★知识梳理★
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p ? 0 ):
标准方程 图形
y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


y

y

y

x O

x O

x O
O

x

焦点

F( x??

p ,0) 2 p 2

F (? x? p 2

p ,0) 2

F (0, y??

p ) 2

F (0,? y? p 2

p ) 2

准线

p 2

范围 对称轴 顶点 离心率

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴
(0,0)

y轴

e ?1

2.抛物线的焦半径、焦点弦 ① y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦半径 PF ? y ? P ; 2 2 ② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为 2p. ③ AB 为抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点弦,则 x A xB ? 3. y 2 ? 2 px 的参数方程为 ? 数).
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

p2 2 , y A yB ? ? p , | AB | = xA ? xB ? p 4
? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

( t 为参数) x 2 ? 2 py 的参数方程为 ? ,

( t 为参

★重难点突破★
重点:掌握抛物线的定义和标准方程,会运用定义和会求抛物线的标准方程,能通过方程研 究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证 重难点:围绕焦半径、焦点弦,运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识 问题 1:抛物线 y=4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是(
2

)

A.

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D. 0

2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向 问题 2:顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3,2)的抛物线的条数有 3.研究几何性质,要具备数形结合思想, “两条腿走路” 问题 3:证明:以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

★热点考点题型探析★
考点 1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例 1 ]已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和的最小值为 【新题导练】 1.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P ( x1,y1 ),P ( x2,y2 ) , P ( x3,y3 ) 在抛 1 2 3
2
2

物线上,且 | P F | 、 | P F | 、 | P F | 成等差数列, 则有 1 2 3 A. x1 ? x2 ? x3 C. x1 ? x3 ? 2x2 B. y1 ? y2 ? y3 D. y1 ? y3 ? 2y2





2. 已知点 A(3,4), F 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小时, M 点坐标是 考点 2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程 [例 2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上 ( )

【新题导练】 3.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 p 的值 3

4. 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 能使这抛物线方程为 y =10x 的条件是____________.(要求填写合适条件的序号) 5. 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 Y 轴的交点,A 为抛物线上一 点,且 | AM |? 17,| AF |? 3 ,求此抛物线的方程
2

考点 3 抛物线的几何性质 题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例 3 ]设 A、B 为抛物线 y 点坐标为__________. 【解题思路】由特殊入手,先探求定点位置 【新题导练】 6. 若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,则实数 a ?
2

2

? 2 px 上的点,且 ?AOB ? 90? (O 为原点),则直线 AB 必过的定

7.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、 B,若 A、 在抛物线准线上的射影为 A1 , B1 , B 则 ?A1 FB1 ? A. 45
?

( B. 60
?

)

C. 90

?

D.

120?

基础巩固训练 1.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于

a2 ? 2a ? 4(a ? R) ,则这样的直线( )
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1 条或 2 条 D.不存在

2.在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 x2 ? 4 y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为 5,则点 P 的纵坐标为 ( A. 3 ) B. 4 C. 5 D. 6

3.两个正数 a、b 的等差中项是 的焦点坐标为( ) A. (0, ? )

9 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则抛物线 y 2 ? (b ? a) x 2

1 4

B. (0, )

1 4

C. ( ? , 0)

1 2

D. ( ? , 0)

1 4

4. 如果 P1 ,P2 , ?,P8 是抛物线 y 2 ? 4x 上的点,它们的横坐标依次为 x1 , x2 ,?, x8 , F 是抛物线的焦点, x1, x2 ,?, xn (n ? N ? ) 成等差数列且 x1 ? x2 ? ? ? x9 ? 45 , | P F | = 若 则 5 ( ) . A.5 B.6 C. 7 D.9

5、抛物线 y 2 ? 4x的焦点为 , 准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60°的 F 直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AB⊥l,垂足为 B,则四边形 ABEF 的面积等 于( ) A. 3 3 B. 4 3 C. 6 3
2

D. 8 3

6、设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正向 的夹角为 60 ,则 OA 为 综合提高训练 7.在抛物线 y ? 4 x 2 上求一点,使该点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离为最短,求该点的坐标
?

??? ?

??? ?



8. 已知抛物线 C : y ? ax2 ( a 为非零常数)的焦点为 F ,点 P 为抛物线 c 上一个动点,过 点 P 且与抛物线 c 相切的直线记为 l . (1)求 F 的坐标; (2)当点 P 在何处时,点 F 到直线 l 的距离最小?

2 9. 设抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点.点

C 在抛物线的准线上,且 BC∥ 轴.证明直线 AC 经过原点 O. X

9 x2 y2 10.椭圆 2 ? 2 ? 1 上有一点 M(-4, )在抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)的准线 l 上,抛物 5 a b
线的焦点也是椭圆焦点. (1)求椭圆方程; (2)若点 N 在抛物线上,过 N 作准线 l 的垂线,垂足为 Q 距离,求|MN|+|NQ|的最小值.

参考例题: 1、已知抛物线 C 的一个焦点为 F( ,0) ,对应于这个焦点的准线方程为 x=- . (1)写出抛物线 C 的方程; (2)过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,O 点为坐标原点,求△AOB 重心 G 的轨 迹方程; (3)点 P 是抛物线 C 上的动点,过点 P 作圆(x-3)2+y2=2 的切线,切点分别是 M, N.当 P 点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值.
1 2 1 2

抛物线专题练习
一、选择题 1.如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为 A. 0) (1, B. 0) (2, C. 0) (3, D. (-1, 0) ) ( )

2.圆心在抛物线 y 2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( A.x2+ y 2-x-2 y -

1 =0 B.x2+ y 2+x-2 y +1=0 4
D.x2+ y 2-x-2 y +

C.x2+ y 2-x-2 y +1=0

1 =0 4


3.抛物线 y ? x 2 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是 ( A. (1,1) B. (

3 9 1 1 , ) C. ( , ) 2 4 2 4

D. (2,4) )

4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水面宽为( A. 6 m B. 2 6 m C.4.5m D.9m )

5.平面内过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 ( A. y 2=-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x

6.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是 6,则抛物线 的方程是 A. y 2=-2x C. y 2=2x ( B. y 2=-4x D. y 2=-4x 或 y 2=-36x )

7.过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那 么|AB|= A.8 B.10 ( C.6 ) D.4 )

8. 把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量 a ? (2,?3) 平移, 所得的曲线的方程是 ( A. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

B. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

C. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

D. ( y ? 3) ? ?4( x ? 2)
2

9.过点 M(2,4)作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条





10.过抛物线 y =ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长

分别是 p、q,则

1 1 ? 等于 p q
D.





A.2a

B.

1 C.4a 2a

4 a

二、填空题 11.抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离为 . 12.抛物线 y =2x2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是 .

13.P 是抛物线 y 2=4x 上一动点,以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经 过一个定点 Q,点 Q 的坐标是 14.抛物线的焦点为椭圆 .

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 9 4

. 三、解答题 15.已知动圆 M 与直线 y =2 相切,且与定圆 C: x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 外切,求动圆圆心 M 的 轨迹方程.

16.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离 等于 5,求抛物线的方程和 m 的值.

17.动直线 y =a,与抛物线 y ?
2

1 x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 (0,3a) ,求线段 AB 中 2

点 M 的轨迹的方程.

18.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米,高 2 米,载货后船露出水面上的部分高 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时, 小船开始不能通航?

19.如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任 一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM|= 且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程. ,|AN|=3,

20.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交 于不同的两点 A、B, | AB |? 2 p . (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 Rt?NAB面积的最大值.


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