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《导数及其应用1》单元测试题

时间:2013-06-18


《导数及其应用》单元测试题①
班别 一、选择题: (每小题 8 分,共 48 分) 1、已知函数 f ( x) ? ax 2 ? c ,且 f / (1) ? 2 ,则 a 的值为( (A)1 (B) 2 (C)–1 (D)0 ) 姓名 .

2、设函数 y ? f ( x) 在定义域内 可导, y ? f ( x) 的图象 如图 1 所示,则导函数 y ? f / ( x) 可能为( )

3、方程 x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 10 ? 0 的实根个数是(



(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 4、曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是( (A) 5 (B) 2 5 (C) 3 5 (D)0



5、 设 p : f ( x) ? e x ? ln x ? 2x 2 ? mx ? 1 在 (0,?? ) 内单调递增,q : m ? ?5 , 则 p是q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

6 、设曲线 y ? x n?1 (n ? N * ) 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则

x1 ? x 2 ? ? ? x n 的值为(
(A)

) (C)

1 n

(B)

1 n ?1

n n ?1

(D)1

二、填空题: (每小题 8 分,共 16 分) 7、已知 R 上可导函数 f ( x) 的图象如图所示,则 不等式 ( x 2 ? 2 x ? 3) f / ( x) ? 0 的解集 ;

8、已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的导数为 f / ( x) , f / (0) ? 0 ,对于任意实数 x , 有 f (0) ? 0 ,则

f (1) 最小值为 f / (0)

.

《导数及其应用》①

第1页

三、解答题: (每小题 18 分,共 36 分) 9、 (1)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c 在 x ? ?2 处取得极值,并且它的图象与直 线 y ? ?3 x ? 3 在点 (1,0) 处相切, 求 a , b, c 的值. (2)当 x ? 0 时 ,证明不等式: e x ? 1 ? x ?

1 2 x 成立. 2

10、已知函数 f ( x) ? e x ? kx ( x ? R) (1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f (| x | ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2) ? F (n) ? (e
n ?1

?

n 2) 2

(n ? N * )

《导数及其应用》①

第2页

答案:
一、ADC BBB 11. ?

2 e

12. 1; 13. 1

45 4

14. (??, ?1) ? (?1,1) ? (3, ??) 15. 2 16. 解:令 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1 , x1 ? 3 , x 变化时, f ' ( x) 的符号变化情况及 f ( x ) 的增减性如下表所示:

增 (1)由表可得函数的递减区间为 (?1,3) 数有极小值 f (3) ? ?16 . 17. 证明:设 f ? x ? ? e ? 1 ? x ?
x

x f ' ( x) f ( x)

(??,?1)
+

-1 0 极大值 f (?1)

(?1,3)


3 0 极小值 f (3)

(3,??)
+ 增

(2)由表可得,当 x ? ?1 时,函数有极大值 f (?1) ? 16 ;当 x ? 3 时,函

1 2 x , 则 f ' ?x ? ? e x ? 1 ? x , 2 x x 令 g ( x) ? e ? 1 ? x, 则 g ' ( x) ? e ? 1 , x 当 x ? 0 时, g ' ?x ? ? e ? 1 ? 0 , ∴ g ( x) 在 ?0,??? 上单调递增,而 g (0) ? 0 , ∴ g ?x ? ? g (0) ? 0, g ( x) ? 0 在 ?0,??? 上恒成立,即 f ' ( x) ? 0 在 ?0,???
恒成立. ∴ f ( x) 在 ?0,??? 上单调递增, 又 f (0) ? 0, ∴ e ? 1 ? x ?
x

1 2 1 x ? 0, 即 x ? 0 时, e x ? 1 ? x ? x 2 成立. 2 2

18.

解 : f ' ( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b ? f ' (?2) ? 3(?2) 2 ? 2a(?2) ? b ? 0 ?12 ? 4a ? b ? 0 又f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? ?3? a ? 1, b ? ?8 又f ( x)过(1, 0)点,?13 ? a ?12 ? b ?1 ? c ? 0 ?c ? 6
P _

《导数及其应用》①
A _

第3页
E D _ _ B _ C _ F _

19. 解: (1)由折起的过程可知,PE⊥平面 ABC,
S?ABC ? 9 6 , S ?BEF ?
x2 6 2 ? S ?BDC ? x 54 12

V(x)=

6 1 x (9 ? x 2 ) ( 0 ? x ? 3 6 ) 3 12 6 1 (9 ? x 2 ) ,所以 x ? (0, 6) 时, v '(x ) ? 0 , V(x) 单调递增; 3 4

( 2 ) V '( x) ?

6 ? x ? 3 6 时 v '( x) ? 0 , V(x)单调递减; 因此 x=6 时, V(x)取得最大值 12 6 ;

20. 解:因为 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f max ? f min | ,

函数f ( x) ? x 3 ? x ? a( x ? [?1,1], a ? R]导数是f ?( x) ? 3x 2 ? 1?(3分)
3 3 3 .当0 ? x ? 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 1 ? 0;当x ? 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 1 ? 0, 3 3 3 2 3 2 3 故f ( x)在x ? [0,1]内的极小值是 a? ; (4分),同理, f ( x)在[?1,0]内的极大值是 a? ; (2分) 9 9 因为f (1) ? f (?1) ? a, 所以函数f ( x) ? x 3 ? x ? a( x ? [?1,1], a ? R)的最大值是 当3x 2 ? 1 ? 0时,即x ? ? 2 3 2 3 4 2 , 最小值是a ? , 故 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?| f max ? f min |? ? 1,? (2分) 9 9 9 所以函数f ( x) ? x 3 ? x ? a( x ? [?1,1], a ? R) 是“妈祖函数”.(2 分) a?

21. 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导 数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法, 考查分析问题、解决问题的能力、
x x 解: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e 、

, ? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1 1) 、 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,
(Ⅱ)由 f ( ?x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数、 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立、 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k 、
x

《导数及其应用》①

第4页

①当 k ? (0, 1] 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) 、 此时 f ( x ) 在 [0, ? ?) 上单调递增、 故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意、 ②当 k ? (1 , ? ?) 时, ln k ? 0 、 当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0, ln k )

ln k

(ln k, ? ?)

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k 、 由此可得,在 [0,
, ?1 ? k ? e 、 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e 、
(Ⅲ)

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? ex ? e? x ,

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? ex1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? ex1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? ex1 ? x2 ? 2 , ? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 ,
F (2) F ( n ? 1) ? e n ?1 ? 2 F ( n) F (1) ? e n ?1 ? 2.
由 此 得 ,

[ F (1) F (2)

F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)] [ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n
F (n) ? (en?1 ? 2) 2 ,n ? N? 、
n

故 F (1) F (2)

19、如图所示,等腰三角形△ABC 的底边 AB= 6 6 ,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上 异于 B、D 的动点,点 F 在 BC 边上,且 EF⊥AB,现沿 EF 将△BEF 折起到△ PEF 的位置,使 PE⊥AE,记 BE=x,V(x)表示四棱锥 P-ACEF 的体积。

《导数及其应用》①

第5页

(1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值?

16、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 9x ? 11 (1)写出函数 f ( x) 的递减区间; (2)讨论函数 f ( x) 的极大值或极小值,如有试写出极值; 20 、 定 义 在 定 义 域 D 内 的 函 数 y ? f ( x) , 若 对 任 意 的 x1 , x2 ? D 都 有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 1 ,则称函数 y ? f ( x) 为“妈祖函数” ,否则称“非妈祖函数”.
试问函数 f ( x) ? x 3 ? x ? a( x ?[?1,1] , a ? R )是否为“妈祖函数”?如果是,请 给出证明;如果不是,请说明理由.

《导数及其应用》①

第6页


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