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2018版高中数学北师大版必修四学案:第一章 9 三角函数的简单应用

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学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题 .2.体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型. 知识点 利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中,周期现象广泛存在,潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换,甚至连人 的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化. 思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述? 梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤: 第一步:阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字,理解题目所反映的实际背景,在此基础上分析出已 知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步:收集、整理数据,建立数学模型. 根据收集到的数据找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关 系式,将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题,即建立三角函数模型,从而实现 实际问题的数学化. 第三步:利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步:将所得结论转译成实际问题的答案. (2)三角函数模型的建立程序 如图所示: 类型一 三角函数模型在物理中的应用 例 1 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I=Asin(ωt+φ). π (1)如图所示的是 I=Asin(ωt+φ)(ω>0, |φ|< )在一个周期内的图像, 根据图中数据求 I=Asin(ωt 2 +φ)的解析式; 1 (2)如果 t 在任意一段 的时间内,电流 I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么 ω 的 150 最小正整数值是多少? 反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言,其中,读图、识图、用图 是数形结合的有效途径. 跟踪训练 1 一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位 π 置的位移 S(单位:cm)与时间 t(单位:s)的函数关系是 S=6sin(2πt+ ). 6 (1)画出它的图像; (2)回答以下问题: ①小球开始摆动(即 t=0),离开平衡位置是多少? ②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少? ③小球来回摆动一次需要多少时间? 类型二 三角函数模型在生活中的应用 例 2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面 108 米,直径长是 98 米, 匀速旋转一圈需要 18 分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天 轮并开始计时,那么: 69 (1)当此人第四次距离地面 米时用了多少分钟? 2 49 (2)当此人距离地面不低于(59+ 3)米时可以看到游乐园的全貌,求摩天轮旋转一圈中有多 2 少分钟可以看到游乐园的全貌? 反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行. (1)认真审题,理清问题中的已知条件与所求结论. (2)建立三角函数模型,将实际问题数学化. (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题,求得数学模型的解. (4)根据实际问题的意义,得出实际问题的解. (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 跟踪训练 2 如图所示,一个摩天轮半径为 10 m,轮子的底部在距离地面 2 m 处,如果此摩 天轮按逆时针转动,每 30 s 转一圈,且当摩天轮上某人经过点 P 处(点 P 与摩天轮中心高度 相同)时开始计时. (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式; (2)在摩天轮转动的一圈内,大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于 17 m. 1. 一根长 l cm 的线, 一端固定, 另一端悬挂一个小球, 小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm) 与时间 t(s)的函数关系式为 s=3cos? ? g π? t+ ,其中 g 是重力加速度,当小球摆动的周期是 1 l 3? s 时,线长 l=________ cm. π ? 2.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y=a+Acos? ?6?x-6?? (x=1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,12 月份的月平均气温 最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温为________℃. 3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为 α(rad),并规定当小球在铅锤方向右 π 侧时 α 为正角,左侧时 α 为负角.α 作为时间 t(s)的函数,近似满足关系式 α=Asin(ωt+ ), 2 π 其中 ω>0.已知小球在初始位置(即 t=0)时,α= ,且每经过 π s 小球回到初始位置,那么 A 3 =________;α 关于 t 的函数解析式是________________. 4.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系: π π f(t)=10-2sin( t+ ),t∈[0,24). 12 3 (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11℃,则在哪段时间实验室需要降温? 1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然 界中的周期现象(运动)有着广泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题. (4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验. 答案精析 问题导学 知识点 思考 三角函数模型. 题型探究 例1 解 (1)由图可知 A=300, 1 1 设 t1=- ,t2= , 900 180 则周期 T=2(t2-t1) 1 1 ? 1 =2? ?180+900?=75. 2π ∴ω= =150π. T 1 又当 t= 时, 180 1 ? I=0,即 sin? ?150π·180+φ?=0, π π 而|φ|< ,∴φ= . 2 6 π? 故所求的解析式为 I=300sin? ?150πt+6?. (2)依题意知,周期 T≤ 1 2π 1 ,即 ≤ (ω>0),∴ω≥30

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