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【创新设计,教师用书】(人教A版,理科)2015届高考数学第一轮复习细致讲解练:第三篇 三角函数、解三角形

时间:2015-11-23

第三篇 三角函数、解三角形

第1讲 [最新考纲]

任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.了解任意角的概念;了解弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知 识 梳 理 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形. ?按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)分类? ?按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S ={β|β=α+k· 360° ,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.弧度记作 rad. (2)公式: 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 l |α|=r(弧长用 l 表示) π ①1° =180rad ?180? ②1 rad=? π ?° ? ?

弧长 l=|α|r 1 1 S=2lr=2|α|r2

三角函数 定义 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 口诀

正弦 余弦 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 y 叫做 α 的正弦,记作 sin α + + - - x 叫做 α 的余弦,记作 cos α + - - + Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余弦

正切 y x叫做 α 的正切,记作 tan α + - + -

续表

三角函数线

有向线段 MP 为正弦线

有向线段 OM 为余弦线 辨 析 感 悟

有向线段 AT 为正切线

1.对角的概念的认识 (1)小于 90° 的角是锐角.(×) (2)锐角是第一象限角,反之亦然.(×) (3)将表的分针拨快 5 分钟,则分针转过的角度是 30° .(×) (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.(×) 2.任意角的三角函数定义的理解 (5)(教材练习改编)已知角 α 的终边经过点 P(-1,2), 则 sin α= 2 2 5 2 2= 5 . ?-1? +2

(√) (6)(2013· 济南模拟改编)点 P(tan α, cos α)在第三象限, 则角 α 的终边在第二象限.

(√) (7)(2011· 新课标全国卷改编)已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重 5 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos θ= 5 .

(×) [感悟· 提升] 1.一个区别 “小于 90° 的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下:

π? π? ? ? 小于 90° 的角的范围: ?-∞,2?,锐角的范围: ?0,2?,第一象限角的范围: ? ? ? ? π? ? ?2kπ,2kπ+2?(k∈Z).所以说小于 90° 的角不一定是锐角,锐角是第一象限角, ? ? 反之不成立.如(1)、(2). 2.三个防范 一是注意角的正负,特别是表的指针所成的角,如(3);二是防止

角度制与弧度制在同一式子中出现; 三是如果角 α 的终边落在直线上时, 所求三 角函数值有可能有两解,如(7).

考点一

象限角与三角函数值的符号判断 ).

cos α 【例 1】 (1)若 sin α· tan α<0,且 tan α <0,则角 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 (2)sin 2· cos 3· tan 4 的值( A.小于 0 0 C.等于 0 在 ). B.第二象限角 D.第四象限角

B .大于

D .不存

解析 (1)由 sin α· tan α<0 可知 sin α, tan α 异号, 从而 α 为第二或第三象限的角, cos α 由 tan α <0,可知 cos α,tan α 异号.从而 α 为第三或第四象限角.综上,α 为第 三象限角.

(2)∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0, ∴sin 2· cos 3· tan 4<0. 答案 (1)C (2)A

规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键,对于已知三角 函数式符号判断角所在象限, 可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符 号,再判断角所在象限. ? 【训练 1】 设 θ 是第三象限角,且?cos ? θ? θ θ ? =- cos ,则 2? 2 2是 ( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 ).

θ 解析 由 θ 是第三象限角,知2为第二或第四象限角, θ? θ θ θ ? ∵?cos 2?=-cos 2,∴cos 2≤0,知2为第二象限角. ? ? 答案 B 考点二 三角函数定义的应用

2 【例 2】 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 4 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值. 解 由题意得,r= 3+m2,∴sin θ= m 2 2= 4 m. 3+m

∵m≠0,∴m=± 5.故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角, x - 3 6 y 5 15 ∴cos θ=r = =- 4 ,tan θ=x= =- 3 . 2 2 - 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角. x - 3 6 y - 5 15 ∴cos θ=r = =- 4 ,tan θ=x= = 3 . 2 2 - 3 6 15 6 15 综上可知,cos θ=- 4 ,tan θ=- 3 或 cos θ=- 4 ,tan θ= 3 . 规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终

边上任意一个异于原点的点的横坐标 x、纵坐标 y、该点到原点的距离 r.若题目 中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在 象限不同). 3 【训练 2】 已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sin α+cos α的值. 解 设角 α 终边上任一点为 P(k,-3k), 则 r= k2+?-3k?2= 10|k|. 当 k>0 时,r= 10k, ∴sin α= -3k 3 1 10k =- ,cos α= k = 10, 10k 10

3 ∴10sin α+cos α=-3 10+3 10=0; 当 k<0 时,r=- 10k, -3k 3 ∴sin α= = , - 10k 10 - 10k 1 = cos α k =- 10, 3 ∴10sin α+cos α=3 10-3 10=0. 3 综上,10sin α+cos α=0. 考点三 扇形弧长、面积公式的应用

【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α(α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积? 1 审题路线 (1)角度化为弧度?求扇形的弧长?S 弓=S 扇-S△?分别求 S 扇= lr, S 2


1 =2r2sin α?计算得 S 弓.

(2)由周长 C 与半径 R 的关系确定 R 与 α 的关系式?代入扇形面积公式?确定 S


与 α 的关系式?求解最值.

解 (1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则

π π 10π α=60° =3,R=10,l=3×10= 3 (cm), 1 10π 1 π S 弓=S 扇-S△=2× 3 ×10-2×102×sin 3 50 50 3 ?π 3? = 3 π- 2 =50? - ?(cm2). ?3 2 ? (2)法一 扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= C , 2+α

1 2 1 ? C ?2 ?2+α? ∴S 扇=2α· R =2α· ? ? C2 1 C2 1 C2 = 2 α· = · ≤ 4 16. 4+4α+α2 2 4+α+α C2 当且仅当 α2=4,即 α=2 rad 时,扇形面积有最大值16. 法二 由已知,得 l+2R=C, 1 1 1 ∴S 扇=2lR=2(C-2R)R=2(-2R2+RC) C? C2 ? =-?R- 4 ?2+16. ? ? C C2 故当 R= 4 ,l=2R,α=2 rad 时,这个扇形的面积最大,最大值为16. 规律方法 (1)在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. (2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发,在弧度制下使问题转化为关于 α 的不 等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值. 学生用书?第 50 页 【训练 3】 (1)一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,那 么扇形的圆心角是多少弧度?扇形的面积是多少? (2)一扇形的周长为 20 cm;当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时,这个扇形的面积 最大? 解 (1)设扇形的圆心角为 θ rad,则扇形的周长是 2r+rθ. 依题意:2r+rθ=πr, ∴θ=(π-2)rad. 1 1 ∴扇形的面积 S=2r2θ=2(π-2)r2.

(2)设扇形的半径为 r,弧长为 l, 则 l+2r=20,即 l=20-2r(0<r<10). 1 1 ∴扇形的面积 S=2lr=2(20-2r)r =-r2+10r=-(r-5)2+25. ∴当 r=5 cm 时,S 有最大值 25 cm2, l 此时 l=10 cm,α=r=2 rad. 因此,当 α=2 rad 时,扇形的面积取最大值.

1.在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位 圆的交点.|OP|=r 一定是正值. 2.三角函数符号是重点,也是难点, 在理解的基础上可借助口诀:一全正,二 正弦,三正切,四余弦. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

创新突破 4——以任意角为背景的应用问题 【典例】 (2012· 山东卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初 始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动,当圆滚 → 动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为________.

突破 1:理解点 P 转动的弧长是解题的关键,在单位圆中可寻找直角三角形. 突破 2:在直角三角形中利用三角函数定义求边长. 突破 3:由几何图形建立 P 点坐标与边长的关系.

解析 如图,作 CQ∥x 轴,PQ⊥CQ, Q 为垂足. 根据题意得劣弧 π? ? ? 2 - =cos ? ? 2?=sin 2, π? ? |PQ|=sin?2-2?=-cos 2, ? ? 所以 P 点的横坐标为 2-|CQ|=2-sin 2,P 点的纵坐标为 1+|PQ|=1-cos 2,所 以 P 点的坐标为(2-sin 2,1-cos 2), → 故OP=(2-sin 2,1-cos 2). 答案 (2-sin 2,1-cos 2) [反思感悟] (1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化, 结合弧长公式、 解 三角形等知识来解决. (2)常见实际应用问题有:表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等. 【自主体验】 π 已知圆 O:x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 M,点 M 沿圆 O 顺时针运动2弧长 到达点 N,以 ON 为终边的角记为 α,则 tan α=( A.-1 解析 B.1 ). D.2 π =2,故∠DCP=2,则在△PCQ 中,∠PCQ=2-2,|CQ|

C.-2

π π 圆的半径为 2 , 2 的弧长对应的圆心角为 4 ,故以 ON 为终边的角为 tan α=1.

? ? π ?α|α=2kπ+ ,k∈Z?,故 4 ? ?

答案 B

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 限角 解析 ∵sin α<0,则 α 的终边落在第三、四象限或 y 轴的负半轴;又 tan α>0, ∴α 在第一象限或第三象限,故 α 在第三象限. 答案 C 2.(2014· 汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆 心角的弧度数为( π A. 3 2π B. 3 ). C. 3 D. 2 ). C.第三象限角 D.第四象

B.第二象限角

解析 设圆的半径为 R,由题意可知,圆内接正三角形的边长为 3R,∴圆弧长 3R 为 3R.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为 R = 3. 答案 C 2π 3.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 按逆时针方向运动 3 弧长到达 Q 点, 则 Q 的坐标为( ? 1 3? A.?- , ? ? 2 2? 解析 ). ? 3 1? B.?- ,- ? 2? ? 2 ? 1 3? C.?- ,- ? 2? ? 2 ? 3 1? D.?- , ? ? 2 2?

2π 由弧长公式得, P 点逆时针转过的角度 α = 3 ,所以 Q 点的坐标为

2π? ? 1 3? ? 2π ?cos 3 ,sin 3 ?,即?- , ?. ? ? 2 2 ? ? 答案 A 3π 3π? ? 4. 已知点 P?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上, 且 θ∈[0,2π), 则 θ 的值为( ? ? ).

π A.4

3π B. 4

5π C. 4

7π D. 4

3π 3π 解析 由 sin 4 >0,cos 4 <0 知角 θ 是第四象限的角, 3π cos 4 7π ∵tan θ= 3π =-1,θ∈[0,2π),∴θ= 4 . sin 4 答案 D 5.有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若 sin α>0,则 α 是第一、二象限的角; ④若 α 是第二象限的角,且 P(x,y)是其终边上一点,则 cos α= 其中正确的命题的个数是( A.1 B.2 ). C.3 D.4 -x . x2+y2

解析 ①正确,②不正确, π 2π π 2π ∵sin 3=sin 3 ,而3与 3 角的终边不相同. ③不正确.sin α>0,α 的终边也可能在 y 轴的正半轴上. x ④不正确.在三角函数的定义中,cos α=r = 系的任何位置,结论都成立. 答案 A 二、填空题 6.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边 2 5 上一点,且 sin θ=- 5 ,则 y=______. 解析 因为 sin θ= 答案 -8 7. y 2 5 2 2=- 5 ,所以 y<0,且 y =64,所以 y=-8. 4 +y
2

x ,不论角 α 在平面直角坐标 x +y2
2

如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 的纵 4 坐标为5,则 cos α=____. 4 解析 因为 A 点纵坐标 yA=5,且 A 点在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,所以 3 3 A 点横坐标 xA=- ,由三角函数的定义可得 cos α=- . 5 5 3 答案 -5 8.函数 y= 2cos x-1的定义域为________. 解析

1 ∵2cos x-1≥0,∴cos x≥2. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示). π π? ? ∴x∈?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). ? ? π π? ? 答案 ?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z) ? ? 三、解答题 9 . (1) 写 出 与 下 列 各 角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 S , 并 把 S 中 适 合 不 等 式 - 360° ≤α<720° 的元素 α 写出来: ①60° ;②-21° . (2) 试写出终边在直线 y =- 3 x 上的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式- 180° ≤α<180° 的元素 α 写出来. 解 (1)①S={α|α=60° +k· 360° ,k∈Z},其中适合不等式-360° ≤α<720° 的元素 α 为-300° ,60° ,420° ;

②S={α|α=-21° +k · 360° ,k∈Z},其中适合不等式-360° ≤α<720° 的元素 α 为 -21° ,339° ,699° . (2)终边在 y=- 3x 上的角的集合是 S={α|α =k· 360° +120° ,k∈ Z}∪{α|α= k· 360° + 300° , k ∈ Z} = {α|α = k· 180° + 120° , k ∈ Z} , 其 中 适 合 不 等 式 - 180° ≤α<180° 的元素 α 为-60° ,120° . 10.(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (2)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解 (1)设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=10, ? ? ?1 2 θ· r =4, ? ?2 r=4, ? ? 解得? 1 θ= ? ? 2 ?r=1, 或? (舍去). ?θ=8

1 ∴扇形的圆心角为2. (2)

设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm, 1 ? ? lr=1, 则?2 ? ?l+2r=4, ?r=1, 解得? ?l=2.

l ∴圆心角 α=r=2. 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· sin 1=sin 1 (cm), ∴AB=2sin 1 (cm). 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1. (2014· 杭州模拟)已知角 α 的终边经过点(3a-9, a+2), 且 cos α≤0, sin α>0,

则实数 a 的取值范围是( A.(-2,3] B.(-2,3)

).

C.[-2,3) D.[-2,3] 解析 由 cos α≤0, sin α>0 可知, 角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上, ?3a-9≤0, 所以有? 解得-2<a≤3. ?a+2>0, 答案 A 2.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所在半径的大小无关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 ).

解析 由于第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° ,故①错;当三角形的内角 为 90° 时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于 sin π 5π π 5π = sin ,但 6 6 6与 6 的终边不相同,故④错;当 θ=π,cos θ=-1<0 时既不是第 二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A 二、填空题 1-cos2α sin α 3.若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上,则 + cos α =________. 1-sin2 α sin α |sin α| 解析 原式=|cos α|+ cos α ,由题意知角 α 的终边在第二、四象限,sin α 与 cos α 的符号相反,所以原式=0. 答案 0 三、解答题 4.已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合;

α (2)求2终边所在的象限; α α α (3)试判断 tan 2sin 2cos2的符号. 解 (1)由 sin α<0,知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上; 由 tan α>0,知 α 在第一、三象限, 故 α 角在第三象限,其集合为
? ? 3π ?α|?2k+1?π<α<2kπ+ ,k∈Z?. 2 ? ?

3π (2)由(2k+1)π<α<2kπ+ 2 , π α 3π 得 kπ+2<2<kπ+ 4 ,k∈Z, α 故2终边在第二、四象限. α α α α (3)当2在第二象限时,tan 2<0,sin 2>0,cos 2<0, α α α 所以 tan 2sin 2cos 2取正号; α α α α 当2在第四象限时,tan 2<0,sin 2<0,cos 2>0, α α α 所以 tan 2sin 2cos 2也取正号. α α α 因此,tan 2sin 2cos 2取正号. 学生用书?第 51 页

第2讲 [最新考纲]

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

sin α 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin 2α+cos 2α=1,cos α=tan α. π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2± α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公 式.

知 识 梳 理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系:cos α=tan α. 2.三角函数的诱导公式 一 角 2kπ+α (k∈Z) sin α cos α tan α 二 π+α -sinα -cosα tanα 三 -α -sinα cosα -tanα 四 π-α sinα -cosα -tanα 函数名改变,符号看象限 五 π 2-α cosα sinα 六 π 2+α cosα -sinα

正弦

余弦

正切

口诀

函数名不变,符号看象限 3.特殊角的三角函数值 0° 0 0 1 0 30° π 6 1 2 3 2 3 3 45° π 4 2 2 2 2 1 60° π 3 3 2 1 2 3 90° π 2 1 0

角α 的弧度 数

120° 2π 3 3 2 1 -2 - 3

in α

150° 5π 6 1 2 3 -2 3 -3

18

os α



an α

辨 析 感 悟 1.对三角函数关系式的理解

(1)若 α,β 为锐角,sin2 α+cos2β=1. sin α (2)若 α∈R,则 tan α=cos α恒成立.

(×) (×)

4 3 ?π ? (3)(教材练习改编)已知 sin α=5,α∈?2,π?,则 cos α=5.(×) ? ? 2.对诱导公式的认识 (4)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角. (√) π (5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指2的 奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.

(√) (6)角 π+α 和 α 终边关于 y 轴对称.(×) 3.诱导公式的应用 1 1 (7)若 cos(nπ-θ)=3(n∈Z),则 cos θ=3.

(×) 1 ?5π ? 1 (8)(2013· 广东卷改编)已知 sin? 2 +α?=5,则 cos α=-5.(×) ? ? [感悟· 提升] 1.一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中

π α≠2+kπ,k∈Z,如(1)、(2). 2.两个防范 一是利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,

需要根据角 α 的范围确定,如(3);二是利用诱导公式化简求值时,先利用公式 化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函 数名称和符号的确定.

考点一

同角三角函数基本关系式的应用 2sin α-3cos α =___________, 4sin α-9cos α

【例 1】 (1)已知 tan α=2,则

4sin2 α-3sin αcos α-5cos2α=________. 1 π π (2)(2014· 山东省实验中学诊断)已知 sin θ· cos θ=8,且4<θ<2,则 cos θ-sin θ 的值为________. 解析 (1)
2

2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 = = =-1, 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9
2

4sin2α-3sin αcos α-5cos2α 4sin α-3sin αcos α-5cos α= sin2 α+cos2α 4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 = = =1. tan2α+1 4+1 π π (2)当4<θ<2时,sin θ>cos θ, ∴cos θ-sin θ<0, 1 3 又(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=1-4=4, 3 ∴cos θ-sin θ=- 2 . 答案 (1)-1 1 3 (2)- 2 学生用书?第 52 页 规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用,对于 sin α+cos α,sin α-cos α, sin αcos α 这三个式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α 可以知一求二. (2)关于 sin α,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. 1 【训练 1】 (1)已知 sin α+cos α=5,0<α<π,则 tan α=______. (2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α=________. 解析 (1)法一 联立方程

1 ? ?sin α+cos α= , 5 ? ? ?sin2α+cos2α=1,

① ②

1 由①得 cos α=5-sin α,将其代入②, 整理得 25sin2α-5sin α-12=0. 4 sin α = ? ? 5, 又 0<α<π,∴? 3 cos α =- ? ? 5, 4 ∴tan α=-3.

1 ?1? 法二 ∵sin α+cos α=5,∴(sin α+cos α)2=?5?2, ? ? 1 24 即 1+2sin αcos α=25,∴2sin αcos α=-25, 24 49 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+25=25. 12 ∵sin αcos α=-25<0 且 0<α<π, ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0, 7 ∴sin α-cos α=5, 1 4 ? ? ?sin α+cos α=5, ?sin α=5, 4 由? 得? ∴tan α=-3. 7 3 ?sin α-cos α=5, ?cos α=-5, ? ? (2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β,① tan2α=9tan2β,② 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β,③ ①+③得:sin2α+9cos2α=4, 3 6 ∵cos2α+sin2α=1,∴cos2α=8,即 cos α=± 4 . 4 答案 (1)-3 6 (2)± 4 考点二 利用诱导公式化简三角函数式

【例 2】 (1)sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )=________.

(2) 设 f(α) =

2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? ? 23π? ?- 6 ? = (1 + 2sin α ≠ 0) , 则 f ? ? ?3π ? ? 2 2?π 1+sin α+cos? 2 +α?-sin ?2+α? ? ? ? ?

________. 解析 (1)原式=-sin 1 200° cos 1 290° -cos 1 020° sin1 050° =- sin(3×360° + 120° )cos(3×360° + 210° ) - cos(2×360° + 300° )sin(2×360° + 330° ) =-sin 120° cos 210° -cos 300° sin 330° =-sin(180° -60° )cos(180° +30° )-cos(360° -60° )· sin(360° -30° ) 3 3 1 1 =sin 60° cos 30° +cos 60° sin 30° = 2 × 2 +2×2=1. (2)∵f(α)= ?-2sin α??-cos α?+cos α 1+sin2α+sin α-cos2α

2sin αcos α+cos α cos α?1+2sin α? 1 = = =tan α, 2 2sin α+sin α sin α?1+2sin α? ? 23π? ∴f?- 6 ?= ? ? 1 = 23 π π? ? ? ? tan?- 6 ? tan?-4π+6? ? ? ? ? 1

1 = π= 3. tan 6 答案 (1)1 (2) 3

规律方法 (1)诱导公式应用的原则:负化正、大化小,化到锐角为终了. (2)诱导公式应用的步骤: 任意负角的三角函数 → 任意正角的三角函数 → 0~2π 的角的三角函数 →锐角三角函数 注意:诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号. 【训练 2】 (1)sin(-1 071° )sin 99° +sin(-171° )sin(-261° )+tan(-1 089° )tan(- 540° )=________. 3π? ? tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ? (2)化简: =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α? 解析 (1)原式=(-sin 1 071° )· sin 99° +sin 171° · sin 261° +tan 1 089° · tan 540°

=-sin(3×360° -9° )sin(90° +9° )+sin(180° -9° )· sin(270° -9° )+tan(3×360° +9° )· tan(360° +180° ) =sin 9° cos 9° -sin 9° cos 9° +tan 9° · tan 180° =0+0=0. π?? ? ? tan αcos αsin?-2π+?α+2?? ? ? ?? (2)原式= cos?3π+α?[-sin?3π+α?] ?π ? tan αcos αsin?2+α? ? ? tan αcos αcos α = = ?-cos α?sin α ?-cos α?sin α tan αcos α sin α cos α =- sin α =-cos α· sin α =-1. 答案 (1)0 (2)-1 考点三 利用诱导公式求值

?π ? 1 ?π ? 【例 3】 (1)已知 sin?3-α?=2,则 cos?6+α?=______; ? ? ? ? 3 ?π ? ?5 ? (2)已知 tan?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________. ? ? ? ? ?π ? ?π ? π 解析 (1)∵?3-α?+?6+α?=2, ? ? ? ? π ?π ?π ?? ?π ? ? 1 -α??=sin? ?3-α?= . ∴cos?6+α?=cos?2-? 3 ? ?? ? ? ? ? 2 ? π 5π 5 ? ? ? ? ? ? (2)∵?6-α?+? 6 +α?=π,∴tan?6π+α?= ? ? ? ? ? ? 3 ? ?5 ?? ?π ? -tan?π-?6π+α??=-tan?6-α?=- 3 . ? ? ?? ? ? 1 3 答案 (1)2 (2)- 3 π π 规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有3-α 与6+α; π π π π π 2π π 3π 3+α 与6-α;4+α 与4-α 等,常见的互补关系有3+θ 与 3 -θ;4+θ 与 4 -θ 等. 11π? ?7π ? 2 ? 【训练 3】 (1)已知 sin?12+α?=3,则 cos?α- 12 ?=________; ? ? ? ? 1 (2)若 tan(π+α)=-2,则 tan(3π-α)=________.

11π? ? ?11π ? ? ?π ?? 解析 (1)cos?α- 12 ?=cos? 12 -α?=cos?π-?12+α?? ? ? ? ? ? ? ?? ?π ? =-cos?12+α?, ? ? ?π ? π ?? ?7π ? ?π ? 2 + α ? ? ?12+α?= , 而 sin?12+α?=sin?2+? = cos ?12 ?? ? ? ? ? 3 ? 11π? 2 ? 所以 cos?α- 12 ?=-3. ? ? 1 (2)因为 tan(π+α)=tan α=-2, 1 所以 tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan α=2. 2 答案 (1)-3 1 (2)2

1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方 关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确 取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切 sin x 互化法:主要利用公式 tan x=cos x化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法:如利 用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1= π sin2 θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2 θ)=tan 4=?.

方法优化 2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值 10 【典例】 (2013· 浙江卷)已知 α∈R,sin α+2cos α= 2 ,则 tan 2α=

(

).

4 A.3

3 B.4

3 C.-4

4 D.-3

10 10 [一般解法] 由 sin α+2cos α= 2 ,得 sin α= 2 -2cos α,① 又 sin2α+cos2α=1,② 3 10 ? ?sin α= 10 , 联立①②,解得? 10 ? ?cos α= 10 sin α 1 所以 tan α=cos α=3 或-3. 当 tan α=3 时,tan 2α= 2×3 2tan α 3 2 = 2=- ; 4 1-tan α 1-3 ? 1? 2×?-3? ? ? 3 =- 4. ? 1? 1-?-3?2 ? ? 10 ? ?sin α=- 10 , 或? 3 10 ? ?cos α= 10 .

1 2tan α 当 tan α=-3时,tan 2α= = 1-tan2 α 3 综上,tan 2α=-4.故选 C. [优美解法] 法一

(直接法)两边平方,再同时除以

1 2tan α cos2 α, 得 3tan2 α-8tan α-3=0, tan α=3 或 tan α=-3, 代入 tan 2α= , 1-tan2 α 3 得到 tan 2α=-4. 法二 (猜想法),由给出的数据及选项的唯一性,记 sin α= 3 1 ,cos α= , 10 10

10 这时 sin α+2cos α= 2 符合要求,此时 tan α=3,代入二倍角公式得到答案 C. [答案] C [反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式, 特别是要注意公式中的符号 问题; (2)注意公式的变形应用,如 sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,1=sin2α+cos2α 及 sin α=tan α· cos α 等.这是解题中常用到的变形,也是解决问题时简化解题过 程的关键所在. 【自主体验】

π? 4? (2013· 东北三校模拟)已知 sin θ+cos θ=3?0<θ<4?,则 sin θ-cos θ 的值为 ? ? ( 2 A. 3 解析 法一 ). 2 B.- 3 1 C.3 1 D.-3

π ∵0<θ<4,∴cos θ>sin θ,

16 又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ= 9 , 7 ∴2sin θcos θ= , 9 7 2 ∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-9=9, 2 ∴sin θ-cos θ=- 3 . π? 4 ? 法二 ∵sin θ+cos θ=3,且 θ∈?0,4?. ? ? π ?π π? ? π? 4 ∴θ+4∈?4,2?,sin θ+cos θ= 2sin ?θ+4?=3, ? ? ? ? ? π? 2 2 ? π? 即 sin?θ+4?= 3 ,又 cos?θ+4?= ? ? ? ? ? π? 1-sin2?θ+4?= ? ? ?2 2?2 1 ?= , 1-? ? 3 ? 3

2 ? π? ∴sin θ-cos θ=-(cos θ-sin θ)=- 2cos?θ+4?=- 3 . ? ? 答案 B

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 π 1.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=-3,则 sin α 等于( 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.-2 1 D.2 ).

π 解析 因为 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以 α+β=2kπ+2(k∈Z).又 β π 5π 1 =-3,所以 α=2kπ+ 6 (k∈Z),即得 sin α=2. 答案 D 29π 25π ? 29π? 2.(2014· 临川一中一调)sin 6 +cos?- 3 ?-tan 4 =( ? ? A.0 1 B.2 C.1 1 D.-2 ).

5π π π 解析 原式=sin(4π+ 6 )+cos(-10π+3)-tan(6π+4) 5π π π =sin 6 +cos3-tan4 1 1 =2+2-1=0. 答案 A 3.(2014· 郑州模拟) 1-2sin?π+2?cos?π-2?=( A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2 C.± (sin 2-cos 2) D.cos 2-sin 2 解析 1-2sin?π+2?cos?π-2?= 1-2sin 2cos 2 ).

= ?sin 2-cos 2?2=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2. 答案 A sin α+3cos α =5,则 sin2 α-sin αcos α 的值是( 3cos α-sin α ).

4.(2014· 石家庄模拟)已知 2 A.5 2 B.-5

C.-2 D.2

解析 由

sin α+3cos α tan α+3 =5 得 =5 3cos α-sin α 3-tan α
2

sin2 α-sin αcos α tan2 α-tan α 2 即 tan α=2,所以 sin α-sin αcos α= = =5. sin2 α+cos2 α tan2 α+1 答案 A 5.若 sin α 是 5x2-7x-6=0 的根,则

3π? ?3π ? ? sin?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan2?2π-α? ? ? ? ? =( π π ? ? ? ? - α + α ? ? ? ? cos 2 cos sin?π+α? ? ? ?2 ? 3 A.5 解析 5 B.3 4 C.5 5 D.4

).

3 3 由 5x2 - 7x - 6 = 0 , 得 x = - 5 或 2. ∴ sin α = - 5 . ∴ 原 式 =

cos α?-cos α?· tan2α 1 5 = =3. sin α· ?-sin α?· ?-sin α? -sin α 答案 B 二、填空题 1 ?3 ? 6.(2014· 杭州模拟)如果 sin(π+A)=2,那么 cos?2π-A?的值是________. ? ? 1 1 解析 ∵sin(π+A)=2,∴-sin A=2. 1 ?3 ? ∴cos?2π-A?=-sin A=2. ? ? 1 答案 2 π? 1 7π? ? ? 7.已知 sin?α+12?=3,则 cos?α+12?的值为________. ? ? ? ? π ? π? 7π? ?? ? α+12?+ ? 解析 cos?α+12?=cos?? ? 2? ? ? ?? π? 1 ? =-sin?α+12?=-3. ? ? 1 答案 -3 π ?π ? 1 ?π ? 8. (2013· 江南十校第一次考试)已知 sin?12-α?=3, 且-π<α<-2, 则 cos?12-α? ? ? ? ? =________. ?π ? 1 解析 ∵sin?12-α?=3, ? ? π 又-π<α<-2, 7π π 13π ∴12<12-α< 12 ,

?π ? ∴cos?12-α?=- ? ? 2 2 答案 - 3 三、解答题 9.化简:

2 2 ?π ? 1-sin2?12-α?=- 3 . ? ?

sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] (k∈Z). sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?

解 当 k=2n(n∈Z)时, 原式= sin?2nπ-α?cos[?2n-1?π-α] sin[?2n+1?π+α]cos?2nπ+α?

sin?-α?· cos?-π-α? -sin α?-cos α? = = =-1; sin?π+α?· cos α -sin α· cos α 当 k=2n+1(n∈Z)时, sin[?2n+1?π-α]· cos[?2n+1-1?π-α] 原式= sin[?2n+1+1?π+α]· cos[?2n+1?π+α] sin?π-α?· cos α sin α· cos α = = =-1. sin α· cos?π+α? sin α?-cos α? 综上,原式=-1. 1 10.已知在△ABC 中,sin A+cos A=5. (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 1 解 (1)∵sin A+cos A=5,① 1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A=25, 12 ∴sin Acos A=-25, 12 (2)由 sin Acos A=-25<0,且 0<A<π, 可知 cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. 24 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+25=25, 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,

7 ∴sin A-cos A=5,② 4 3 ∴由①,②可得 sin A=5,cos A=-5, sin A ∴tan A=cos A= 4 3=-3. -5 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 4 5

一、选择题 1.(2012· 辽宁卷)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A.-1 解析 法一 2 B.- 2 2 C. 2 D.1 ).

因为 sin α-cos α= 2,

π? π? ? ? 所以 2sin?α-4?= 2,所以 sin?α-4?=1. ? ? ? ? 因为 α∈(0,π),所以 α= 3π ,所以 tan α=-1. 4

法二 因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,所以 sin 2α=-1.因为 α 3π 3π ∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= 2 ,所以 α= 4 ,所以 tan α=-1. 答案 A ?π ? 2.(2014· 衡水质检)已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos?2+β?+5=0,tan(π+α) ? ? +6sin(π+β)=1, 则 sin α 的值是( 3 5 A. 5 3 7 B. 7 ). 3 10 C. 10 1 D.3

解析 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得 tan α=3,又 sin2α+cos2α=1,α 为锐角. 3 10 故 sin α= 10 . 答案 C 二、填空题

3.sin21° +sin22° +?+sin290° =________. 解析 sin21° + sin22° + ? + sin290° = sin21° + sin22° + ? + sin244° + sin245° +

cos244° +cos243° +? +cos21° =(sin21° +cos21° )+(sin22° +cos22° )+ ?+(sin244° 1 91 +cos244° )+sin245° +sin290° =45+2= 2 . 答案 91 2

三、解答题 ? π π? ?π ? 4. 是否存在 α∈?-2,2?, β∈(0, π), 使等式 sin(3π-α)= 2cos?2-β?, 3cos(- ? ? ? ? α)=- 2cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请说明理由. 解 假设存在角 α,β 满足条件, ?sin α= 2sin β, 则由已知条件可得? ? 3cos α= 2cos β, 由①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2. 1 2 ∴sin2α=2,∴sin α=± 2 . π ? π π? ∵α∈?-2,2?,∴α=± 4. ? ? π 3 当 α=4时,由②式知 cos β= 2 , 又 β∈(0,π), π ∴β=6,此时①式成立; π 3 当 α=-4时,由②式知 cos β= 2 , 又 β∈(0,π), π ∴β=6,此时①式不成立,故舍去. π π ∴存在 α=4,β=6满足条件. 学生用书?第 53 页 第3讲 [最新考纲] 三角函数的图象与性质 ① ②

1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性. ? π π? 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在?-2,2?上的性质. ? ?

知 识 梳 理 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中 k∈Z). 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

{x|x∈R,且x≠
定义域 值域 周期性 奇偶性 R [-1,1] 2π 奇函数 π π? ? ?2kπ-2,2kπ+2? ? ? π 3π? ? ?2kπ+2,2kπ+ 2 ? ? ? (kπ,0) π x=kπ+2 辨 析 感 悟 1.周期性的判断 (1)(教材习题改编)由 sin(30° +120° )=sin 30° 知,120° 是正弦函数 y=sin x(x∈R) 的一个周期. (×) (√) R [-1,1] 2π 偶函数 [2kπ-π,2kπ] [2kπ,2kπ+π] π ? ? ?kπ+2,0? ? ? x=kπ
? π kπ+2,k∈Z? ?

R π 奇函数 π π? ? ?kπ-2,kπ+2? ? ? 无 ?kπ ? ? 2 ,0? ? ? 无

递增区间

递减区间

对称中心 对称轴

π? π ? (2)函数 y=tan?2x+3?的最小正周期为2. ? ? 2.判断奇偶性与对称性

3π? ? (3)函数 y=sin?2x+ 2 ?是奇函数. ? ?

(×)

π (4)函数 y=sin x 的对称轴方程为 x=2kπ+2(k∈Z).(×) 3.求三角函数的单调区间 π π? ? (5)函数 f(x)=sin(-2x)与 f(x)=sin 2x 的单调增区间都是?kπ-4,kπ+4?(k∈Z). ? ?

(×) (6)函数 y=tan x 在整个定义域上是增函数. 4.求三角函数的最值 (7)存在 x∈R,使得 2sin x=3.

(×) π? π? 2 ? ? (8)(教材习题改编)函数 f(x)=sin?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为- 2 . ? ? ? ?

(√) [感悟· 提升] 1.一点提醒 求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意 ω 的符号,只有当

ω>0 时,才能把 ωx+φ 看作一个整体,代入 y=sin t 的相应单调区间求解. 2.三个防范 一是函数 y=sin x 与 y=cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高

点或最低点且平行于 y 轴的直线, 如 y=cos x 的对称轴为 x=kπ, 而不是 x=2kπ(k ∈Z). 二 是 对 于 y = tan x 不 能 认 为 其 在 定 义 域 上 为 增 函 数 , 应 在 每 个 区 间 π π? ? ?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)内为增函数,如(6). ? ? 三是函数 y=sin x 与 y=cos x 的最大值为 1, 最小值为-1, 不存在一个值使 sin x 3 =2,如(7). 学生用书?第 54 页

考点一

三角函数的定义域、值域问题

【例 1】 (1)函数 y= sin x-cos x的定义域为________. ?π 7π? (2)当 x∈?6, 6 ?时,函数 y=3-sin x-2cos2x 的最小值是________,最大值是 ? ? ________. 解析 (1)法一 要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.利用图象,

在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示. π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为4, 4 ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π, 所以原函数的定义域为
? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ 4 4 ? ? ?

,k∈Z?.
? ?

? ?

法二 利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).∴定义 域为
? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z 4 4 ? ? ? ? ? ?. ? ?

π ? π? 法三 sin x-cos x= 2sin?x-4?≥0, 将 x-4视为一个整体, 由正弦函数 y=sin x ? ? π 的图象和性质可知 2kπ≤x-4≤π+2kπ,k∈Z, π 5π 解得 2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z.
? ? ? ? ? π 5π 所以定义域为?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z ?. ? ? ? ? ?

(2)y=3-sin x-2cos2x =3-sin x-2(1-sin2x)=2sin2 x-sin x+1, ? 1 ? 令 sin x=t∈?-2,1?, ? ? ? 1? 7 ? 1 ? ∴y=2t2-t+1=2?t-4?2+8,t∈?-2,1?, ? ? ? ? 7 ∴ymin=8,ymax=2.

? ? ? π 5π 答案 (1)?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z ? ? ?

? ? ? ? ?

7 (2)8

2

规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 (组),常借助三 角函数线或三角函数图象来求解. (2)三角函数值域的不同求法 ①利用 sin x 和 cos x 的值域直接求. ②把形如 y=asin x+bcos x 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式求值域. ③利用 sin x± cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域. 【训练 1】 (2014· 广州模拟)已知函数 f(x)= 和值域. π 解 由 cos 2x≠0 得 2x≠kπ+2,k∈Z, kπ π 解得 x≠ 2 +4,k∈Z,
? ? kπ π 所以 f(x)的定义域为?x|x∈R,且x≠ 2 +4,k∈Z?.

6cos4 x+5sin2x-4 ,求 f(x)的定义域 cos 2x

6cos4 x+5sin2 x-4 6cos4 x+5-5cos2x-4 f(x)= = cos 2x 2cos2x-1 ?2cos2x-1??3cos2x-1? = =3cos2x-1. 2cos2x-1 ? ? 1 1 所以 f(x)的值域为?y|-1≤y<2,或2<y≤2?. ? ? 考点二

?

?

三角函数的奇偶性、周期性和对称性

3π? ? 【例 2】 (1)已知函数 f(x)=sin?2x+ 2 ?(x∈R),下面结论错误的是 ? ?

( A.函数 f(x)的最小正周期为 π B.函数 f(x)是偶函数 π C.函数 f(x)的图象关于直线 x=4对称 π? ? D.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ?

).

?4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为 ? ?

( π A.6 π B.4 π C.3 π D.2

).

3π? ? 解析 (1)f(x)=sin?2x+ 2 ?=-cos 2x,故其最小正周期为 π,A 正确;易知函数 ? ? f(x)是偶函数,B 正确;由函数 f(x)=-cos 2x 的图象可知,函数 f(x)的图象不关 π? π ? 于直线 x=4对称,C 错误;由函数 f(x)的图象易知,函数 f(x)在?0,2?上是增函 ? ? 数,D 正确,故选 C. 4π ? ? ?2π ? (2)由题意得 3cos?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ+2π? ? ? ? ? 2π π ?2π ? =3cos? 3 +φ?=0,∴ 3 +φ=kπ+2,k∈Z, ? ? π ∴φ=kπ-6,k∈Z,取 k=0, π 得|φ|的最小值为6. 答案 (1)C (2)A

规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)或 y= 2π Acos(ω x+φ)的形式,则最小正周期为 T=|ω|;奇偶性的判断关键是解析式是否 为 y=Asin ωx 或 y=Acos ωx+b 的形式. π (2)求 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的对称轴,只需令 ωx+φ=2+kπ(k∈Z),求 x;求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)即可. ? π? 【训练 2】 (1)函数 y=2cos2?x-4?-1 是 ? ?

( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数

).

π C.最小正周期为2的奇函数 π D.最小正周期为2的偶函数 π? π ? (2)函数 y=2sin(3x+φ)?|φ|<2?的一条对称轴为 x=12,则 φ=________. ? ? π? 2π ? π? ? 解析 (1)y=2cos2?x-4?-1=cos?2x-2?=sin 2x 为奇函数,T= 2 =π. ? ? ? ? π (2)由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+2(k∈Z), π π 所以 3×12+φ=kπ+2(k∈Z), π 得 φ=kπ+4(k∈Z), π π 又|φ|<2,∴k=0,故 φ=4. π 答案 (1)A (2)4 考点三 三角函数的单调性

【例 3】 (2014· 临沂月考)设函数 f(x)=sin(-2x+φ)(0<φ<π),y=f(x)图象的一 π 条对称轴是直线 x=8. (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调区间. π π 审题路线 令(-2)×8+φ=2+kπ,k∈Z?解得 φ=?又 0<φ<π?得出 φ 值? 把 f(x)=sin(-2x+φ),化为 f(x)=-sin(2x-φ)?令 g(x)=sin(2x-φ)?求出 g(x) 的单调区间?利用 f(x)与 g(x)的关系求 f(x)的单调区间. π π 解 (1)令(-2)×8+φ=kπ+2,k∈Z, 3π ∴φ=kπ+ 4 ,k∈Z, 3π 又 0<φ<π,∴φ= 4 . 3π? 3π? ? ? (2)由(1)得 f(x)=sin?-2x+ 4 ?=-sin?2x- 4 ?, ? ? ? ? 3π? ? 令 g(x)=sin?2x- 4 ?, ? ?

π 3π π 由-2+2kπ≤2x- 4 ≤2+2kπ,k∈Z, π 5π 得8+kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, 5π ?π ? 即 g(x)的单调增区间为?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z; ? ? π 3π 3π 由2+2kπ≤2x- 4 ≤ 2 +2kπ,k∈Z, 5π 9π 得 8 +kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, 9π ?5π ? 即 g(x)的单调减区间为? 8 +kπ, 8 +kπ?(k∈Z), ? ? 9π ?5π ? 故 f(x)的单调增区间为? 8 +kπ, 8 +kπ?(k∈Z); ? ? 5π ?π ? 单调减区间为?8+kπ, 8 +kπ?(k∈Z). ? ? 学生用书?第 55 页 规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成 y=Asin(ωx+φ)形 式,再求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把 ωx+φ 看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间内即可,注意要先把 ω 化为正数. π? ? 【训练 3】 (2013· 安徽卷)已知函数 f(x)=4cos ωx· sin?ωx+4?(ω>0)的最小正周期 ? ? 为 π. (1)求 ω 的值; π (2)讨论 f(x)在区间[0,2]上的单调性. π 解 (1)f(x)=4cos ωx· sin(ωx+4)=2 2sin ωx· cos ωx+2 2cos2ωx= 2(sin 2ωx+ π cos 2ωx)+ 2=2sin(2ωx+4)+ 2. 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 2π 从而有2ω=π,故 ω=1. π (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+4)+ 2.

π π π 5π 若 0≤x≤2,则4≤2x+4≤ 4 . π π π π 当4≤2x+4≤2,即 0≤x≤8时,f(x)单调递增; π π 5π π π 当2≤2x+4≤ 4 ,即8≤x≤2时,f(x)单调递减. π π π 综上可知,f(x)在区间[0,8]上单调递增,在区间[8,2]上单调递减.

1.求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象. 2.判断函数奇偶性,应先判定函数定义域的对称性,注意偶函数的和、差、积、 商仍为偶函数; 复合函数在复合过程中, 对每个函数而言, 一偶则偶, 同奇则奇. 3.三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本三角函数标准式,然后 通过同解变形或利用数形结合方法求解.对复合函数单调区间的确定,应明确是 对复合过程中的每一个函数而言,同增同减则为增,一增一减则为减. 4.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数的式子, 否则很容易出现错误.一般地,经过恒等变形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx +φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.

答题模板 5——三角函数的最值(或值域)问题 1? ? 【典例】 (12 分)(2013· 陕西卷)已知向量 a=?cos x,-2?,b=( 3sin x,cos 2x), ? ? x∈R,设函数 f(x)=a· b. (1)求 f(x)的最小正周期; π? ? (2)求 f(x)在?0,2?上的最大值和最小值. ? ? 1? ? [规范解答] f(x)=?cos x,-2?· ( 3sin x,cos 2x) ? ? 1 = 3cos xsin x-2cos 2x (2

分) 3 1 = 2 sin 2x-2cos 2x π? ? =sin?2x-6?. ? ? (4 分) 2π 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= ω = 2 =π, 即函数 f(x)的最小正周期为 π. (6 分) π (2)∵0≤x≤2, π π 5π ∴-6≤2x-6≤ 6 . (8 分) 由正弦函数的性质,得 π π π 当 2x-6=2,即 x=3时,f(x)取得最大值 1. π π 当 2x-6=-6, 1 即 x=0 时,f(0)=-2, π 5π π ?π? 1 当 2x-6= 6 ,即 x=2时,f?2?=2, ? ? 1 ∴f(x)的最小值为- . 2 (11 分) π? 1 ? 因此,f(x)在?0,2?上最大值是 1,最小值是-2. ? ? [反思感悟] 求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围, 由于 三角函数的周期性, 正弦函数、 余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间

(12 分

的端点处取得,因此要把这两个最值点弄清楚.如本例中有学生直接把 x=0 和 π x=2代入求得最值,这显然是错误的. 答题模板 求函数 f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a,b]上值域的一般步骤: 第一步:三角函数式的化简,一般化成形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式或 y= Acos(ωx+φ)+k 的形式. 第二步:由 x 的取值范围确定 ωx+φ 的取值范围,再确定 sin(ωx+φ)(或 cos(ωx +φ))的取值范围. 第三步:求出所求函数的值域(或最值). 【自主体验】 π? ? ? π? ? π? 已知函数 f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4?. ? ? ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴; ? π π? (2)求函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域. ? ? π? ? ? π? ? π? 解 (1)f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4? ? ? ? ? ? ? 1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) 1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+sin2x-cos2x π? 1 3 ? =2cos 2x+ 2 sin 2x-cos 2x=sin?2x-6?. ? ? 2π ∴最小正周期 T= 2 =π, π π kπ π 由 2x-6=kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +3(k∈Z). kπ π ∴函数图象的对称轴为 x= 2 +3(k∈Z). π ? π 5π? ? π π? (2)∵x∈?-12,2?,∴2x-6∈?-3, 6 ?, ? ? ? ? π? 3 ? ∴- 2 ≤sin?2x-6?≤1. ? ? ? 3 ? ? π π? 即函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域为?- ,1?. ? ? 2 ? ?

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2013· 青岛质检)下列函数中周期为 π 且为偶函数的是( π? ? A.y=sin?2x-2? ? ? ? π? C.y=sin?x+2? ? ? π? ? B.y=cos?2x-2? ? ? ? π? D.y=cos?x+2? ? ? ).

π? ? 解析 y=sin?2x-2?=-cos 2x 为偶函数,且周期是 π. ? ? 答案 A π? 2π ? 2.(2014· 南昌联考)已知函数 f(x)=sin ?ωx+6?-1(ω>0)的最小正周期为 3 ,则 ? ? f(x)的图象的一条对称轴方程是( ).

π π π π A.x=9 B.x=6 C.x=3 D.x=2 2π 2π π π 解析 依题意得,|ω|= 3 ,|ω|=3,又 ω>0,因此 ω=3,所以 3x+6=kπ+2, kπ π π 解得 x= 3 +9,当 k=0 时,x=9. π 因此函数 f(x)的图象的一条对称轴方程是 x=9. 答案 A π? ? ?π ? 3. (2014· 广州测试)若函数 y=cos?ωx+6?(ω∈N*)的一个对称中心是?6,0?, 则ω ? ? ? ? 的最小值为( ). D.8

A.1 B.2 C.4

π π ? π π? + ?=0, (ω+1)=kπ+ ,ω=6k+2(其中 k∈Z);又 ω 解析 依题意得 cos?ω· 6 2 ? 6 6?

是正整数,因此 ω 的最小值是 2. 答案 B 4.(2014· 济南调研)已知 f(x)=sin2 x+sin xcos x,则 f(x)的最小正周期和一个单调 增区间分别为( A. π ,[0,π] ? π π? D.2π,?-4,4? ? ? 解析 由 f(x)=sin2x+sin xcos x 1-cos 2x 1 = +2sin 2x 2 π? 1 2? 2 2 ? ? 1 2 =2+ 2 ? sin 2x- cos 2x?=2+ 2 sin?2x-4?. ? ? 2 2 ? ? 2π π π π ∴T= 2 =π.又∵2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2, π 3π ∴kπ-8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z)为函数的单调递增区间.故选 C. 答案 C ?π ? ?π ? 5.(2014· 三明模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意 x 都有 f?6+x?=f?6-x?, ? ? ? ? ?π? 则 f?6?等于( ? ? A.2 或 0 ). B.-2 或 2 C.0 D.-2 或 0 ). ? π 3π? B. 2π , ?-4, 4 ? ? ? ? π 3π? C . π, ?-8, 8 ? ? ?

π ?π ? ?π ? ?π? 解析 由 f?6+x?=f?6-x?知,函数图象关于 x=6对称,f?6?是函数 f(x)的最大值 ? ? ? ? ? ? 或最小值. 答案 B 二、填空题 6.函数 y=lg(sin x)+ 1 cos x-2的定义域为________.

sin x>0, ? ? 解析 要使函数有意义必须有? 1 cos x-2≥0, ? ?

sin x>0, ? ? 即? 1 cos x≥2, ? ?

2kπ<x<π+2kπ?k∈Z?, ? ? 解得? π π - +2kπ≤x≤3+2kπ?k∈Z?, ? ? 3

π ∴2kπ<x≤3+2kπ(k∈Z),
? ? π ∴函数的定义域为?x|2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z?. ? ?

π ? ? 答案 ?2kπ,3+2kπ?(k∈Z) ? ? 7.函数 y= sin x+1 (0<x<π)的最小值为________. sin x

1 1 解析 令 sin x=t∈(0,1],则函数 y=1+ t ,t∈(0,1].又 y=1+ t 在 t∈(0,1]上是 减函数,所以当 t=1 时,y 取得最小值 2. 答案 2 π 8.已知函数 f(x)=3sin(ωx-6)(ω>0)和 g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全 π? ? 相同,若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是______. ? ? 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故 ω= π? π? ? ? 2,所以 f(x)=3sin?2x-6?,那么当 x∈?0,2?时, ? ? ? ? π π 5π -6≤2x-6≤ 6 , ? 3 ? 答案 ?-2,3? ? ? 三、解答题 9.(2013· 潮州二模)已知函数 f(x)= 3(sin2 x-cos2x)-2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)设 x∈?-3,3?,求 f(x)的单调递增区间. ? ? 解 (1)∵f(x)=- 3(cos2x-sin2 x)-2sin xcos x π? ? =- 3cos 2x-sin 2x=-2sin?2x+3?, ? ? ∴f(x)的最小正周期为 π. 1 π ? 3 ? 所以-2≤sin(2x-6)≤1,故 f(x)∈?-2,3?. ? ?

π π ? π π? (2)∵x∈?-3,3?,∴-3≤2x+3≤π, ? ? π? ? 当 y=sin?2x+3?单调递减时,f(x)单调递增. ? ? π π π π ∴2≤2x+3≤π,即12≤x≤3. ? π π? 故 f(x)的单调递增区间为?12,3?. ? ? π?? π π? ? 10.(1)求函数 y=2sin ?2x+3??-6<x<6?的值域; ? ?? ? (2)求函数 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域. π π π 2π 解 (1)∵-6<x<6,∴0<2x+3< 3 , π? ? ∴0<sin?2x+3?≤1, ? ? π? ? ∴y=2sin?2x+3?的值域为(0,2]. ? ? (2)y=sin xcos x+sin x+cos x ?sin x+cos x?2-1 ? π? ?x+4? = + 2sin 2 ? ? ? π? ? π? 1 =sin2?x+4?+ 2sin?x+4?-2 ? ? ? ? ? ? π? 2? ? π? =?sin?x+ ?+ ?2-1,所以当 sin?x+4?=1 时, ? ? ? ? 4? 2 ? 1 1 y 取最大值 1+ 2-2=2+ 2. 2 ? π? 当 sin?x+4?=- 2 时,y 取最小值-1, ? ? 1 ? ? ∴该函数的值域为?-1,2+ 2?. ? ? 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 ωx ωx 1.(2013· 安徽师大附中模拟)设 ω>0,m>0,若函数 f(x)=msin 2 cos 2 在区间

? π π? ?-3,3?上单调递增,则 ω 的取值范围是( ? ? 2? ? A. ?0,3? ? ? D.[1,+∞) 3? ? B. ?0,2? ? ?

). ?3 ? C. ?2,+∞? ? ?

ωx ωx 1 T ? π π? 解析 f(x)=msin 2 cos 2 =2msin ωx, 若函数在区间?-3,3?上单调递增, 则2 ? ? 3? π π π 2π ? =ω≥3+3= 3 ,即 ω∈?0,2?. ? ? 答案 B ? π π? 2.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小 ? ? 值等于( 2 A.3 3 B.2 ). C.2 D.3

π 2kπ 解析 ∵f(x)=2sin ωx(ω>0)的最小值是-2,此时 ωx=2kπ-2,k∈Z,∴x= ω π π 2kπ π 3 -2ω,k∈Z,∴-3≤ ω -2ω≤0,k∈Z,∴ω≥-6k+2且 k≤0,k∈Z,∴ωmin 3 =2. 答案 B 二、填空题 3.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:当 sin x≤cos x 时,f(x)=cos x,当 sin x> cos x 时,f(x)=sin x. 给出以下结论: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的最小值为-1; ③当且仅当 x=2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值; π ④当且仅当 2kπ-2<x<(2k+1)π(k∈Z)时,f(x)>0; ⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2π. 其中正确的结论序号是________. 解析 易知函数 f(x)是周期为 2π 的周期函数.

函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示.

2 5π 由图象可得,f(x)的最小值为- 2 ,当且仅当 x=2kπ+ 4 (k∈Z)时,f(x)取得最小 π 值;当且仅当 2kπ-2<x<(2k+1)π(k∈Z)时,f(x)>0;f(x)的图象上相邻两个最 低点的距离是 2π.所 以正确的结论的序号是①④⑤. 答案 ①④⑤ 三、解答题 x ? ? 4.(2013· 荆门调研)已知函数 f(x)=a?2cos22+sin x?+b. ? ? (1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若 x∈[0,π]时,函数 f(x)的值域是[5,8],求 a,b 的值. 解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b ? π? = 2asin?x+4?+a+b. ? ? ? π? (1)当 a=-1 时,f(x)=- 2sin?x+4?+b-1, ? ? π π 3π 由 2kπ+2≤x+4≤2kπ+ 2 (k∈Z), π 5π 得 2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z), π 5π? ? ∴f(x)的单调增区间为?2kπ+4,2kπ+ 4 ?(k∈Z). ? ? (2)∵0≤x≤π, π π 5π ∴4≤x+4≤ 4 , 2 ? π? ∴- 2 ≤sin?x+4?≤1,依题意知 a≠0. ? ? ? 2a+a+b=8, (ⅰ)当 a>0 时,? ?b=5,

∴a=3 2-3,b=5. ?b=8, (ⅱ)当 a<0 时,? ? 2a+a+b=5, ∴a=3-3 2,b=8. 综上所述,a=3 2-3,b=5 或 a=3-3 2,b=8. 学生用书?第 56 页 第4讲 [最新考纲] 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解 参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些 简单实际问题. 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

知 识 梳 理 1.“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、 最低点及与 x 轴相交的三个交 点,作图时的一般步骤为: (1)定点:如下表所示. x φ -ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

(2)作图: 在坐标系中描出这五个关键点, 用平滑的曲线顺次连接得到 y=Asin(ωx +φ)在一个周期内的图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得 y=Asin(ωx+φ)在 R 上的图象. 2.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径

3.函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动时,A 叫做振幅, 2π 1 T= ω 叫做周期,f=T叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. 辨 析 感 悟 1.对图象变换的认识 (1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中向左或向 右平移的长度一样. (×) π? π ? (2)将 y=sin 2x 的图象向右平移3个单位,得到 y=sin?2x-3?的图象. ? ?

(×) (3)(2013· 湖北卷改编)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个 π 单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是6.

(√) 2.对函数 f(x)=Asin(ωx+φ)性质的认识 (4)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A,最小值为-A.

(×) (5)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.

(×) ?π ? (6)(2014· 广州二模改编)若函数 y=cos ωx(ω∈N*)的一个对称中心是?6,0?,则 ω ? ? 的最小值为 3.

(√) [感悟· 提升] 1.图象变换两种途径的区别 由 y=sin x 的图象,利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的 图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿 x 轴的 伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先 |φ| 周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是 ω 个单位,如(1)、(2). 2.两个防范 一是平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱

导公式化为同名函数; 二是解决三角函数性质时,要化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,但最大值、最小值与 A 的符号有关,如(4);而 y=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半 个周期,如(5). 学生用书?第 57 页

考点一

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象画法与变换

π? ? 【例 1】 (1)(2013· 广东六校教研协作体二联)已知 f(x)=sin?ωx+3?(ω>0)的图象 ? ? 与 y=-1 的图象的相邻两交点间的距离为 π,要得到 y=f(x)的图象,只需把 y =cos 2x 的图象 ( π A.向左平移12个单位 5π C.向左平移12个单位 π B.向右平移12个单位 5π D.向右平移12个单位 ).

π? ? (2)已知函数 y=2sin?2x+3?. ? ? ①求它的振幅、周期、初相; ②用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? ? ③说明 y=2sin?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. ? ? (1)解析 2π π 依题意 T=π, ∴T=π= ω , ∴ω=2, ∴f(x)=sin(2x+3), ∴只需 y=cos

π π 2x=sin(2x+2)=sin2(x+4) 答案 B (2)解

π f(x)=sin(2x+3).

π? 2π π ? ①y=2sin?2x+3?的振幅 A=2,周期 T= 2 =π,初相 φ=3. ? ?

π? π ? ②令 X=2x+3,则 y=2sin?2x+3?=2sin X. ? ? 列表,并描点画出图象: x X y=sin X π? ? y=2sin?2x+3? ? ? - 0 0 0 π 6 π 12 π 2 1 2 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -2 5π 6 2π 0 0

③法一

π ? π? 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移3个单位, 得到 y=sin?x+3?的图 ? ?

1 ? π? 象;再把 y=sin?x+3?的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得 ? ? π? π? ? ? 到 y=sin?2x+3?的图象;最后把 y=sin?2x+3?的图象上所有点的纵坐标伸长到 ? ? ? ? π? ? 原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ?

1 法二 将 y=sin x 的图象上所有点的横坐标 x 缩短到原来的2倍(纵坐标不变), 得 π ? π? 到 y=sin 2x 的图象; 再将 y=sin 2x 的图象向左平移6个单位, 得到 y=sin 2?x+6? ? ? π? π? ? ? =sin?2x+3?的图象;再将 y=sin?2x+3?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 ? ? ? ? π? ? 2 倍(横坐标不变),得到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ? 规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种作法是五点作图法和 图象变换法. (1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设 z π 3 =ωx+φ,由 z 取 0,2,π,2π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点 坐标,描点后得出图象. (2)三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数,进行周期变换时,需要将 x 的系数变为原来的 ω 倍,要特别注意相位变换、周期变换的顺序,顺序不同, 其变换量也不同. 【训练 1】 (1)(2013· 合肥第一次质检)将函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的 π 图象向左平移2个单位,所得函数的图象与函数 y=f(x)的图象关于 x 轴对称,则 ω 的值不可能是 ( A.2 B.4 C.6 D.10 ).

π ? ? (2)(2014· 合肥模拟)设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 ? ? 3 ?π? π,且 f?4?= 2 . ? ? ①求 ω 和 φ 的值; ②在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象.

(1)解析

ωπ ? π? ? ? π? ? ? ? 依题意, f?x+2?=Asin?ω?x+2?+φ?=Asin?ωx+ 2 +φ?的图象与 y=f(x) ? ? ? ? ? ? ? ?

ωπ ? ? 的图象关于 x 轴对称,于是有 Asin?ωx+ 2 +φ?+Asin(ωx+φ)=0;注意到 ω=4 ? ? 4π ? ? 时,Asin?4x+ 2 +φ?+Asin(4x+φ)=2Asin(4x+φ)不恒等于 0,故选 B. ? ? 答案 B (2)解 2π ①∵T= ω =π,ω=2,

π 3 3 ?π? ? ? 又 f?4?=cos?2×4+φ?= ,∴sin φ=- , 2 2 ? ? ? ? π π 又-2<φ<0,∴φ=-3. π? ? ②由①得 f(x)=cos?2x-3?,列表: ? ? π 2x-3 π -3 π 2 3 2π 5 3π

0

π

x

0

π 6

5 12π

2 3π

11 12π

π

f(x)

1 2

1

0

-1

0

1 2

图象如图.

考点二 由图象求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

【例 2】 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象 如图所示,则函数 f(x)的解析式为________.

解析 由图可知 A= 2, 法一 T 7π π π 4=12-3=4,所以 T=π,故 ω=2,因此 f(x)= 2sin(2x+φ),

π π ?π ? 又?3,0?对应五点法作图中的第三个点,因此 2×3+φ=π,所以 φ=3,故 f(x) ? ? π? ? = 2sin?2x+3?. ? ? ?π ? ?7π ? 法二 以?3,0?为第二个“零点”,?12,- 2?为最小值点, ? ? ? ? π +φ=π, ? ?ω· 3 列方程组? 7π 3π ? ?ω· 12+φ= 2 , π? ? 故 f(x)= 2sin?2x+3?. ? ? π? ? 答案 f(x)= 2sin?2x+3? ? ? 规律方法 已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比 较容易看图得出,困难的是求待定系数 ω 和 φ,常用如下两种方法: 2π (1)由 ω= T 即可求出 ω;确定 φ 时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下 降)的“零点”横坐标 x0,则令 ωx0+φ=0(或 ωx0+φ=π),即可求出 φ. (2)代入点的坐标, 利用一些已知点(最高点、 最低点或“零点”)坐标代入解析式, 再结合图形解出 ω 和 φ,若对 A,ω 的符号或对 φ 的范围有要求,则可用诱导公 式变换使其符合要求. 学生用书?第 58 页 ω=2, ? ? 解得? π φ=3, ? ?

π π 【训练 2】 (2013· 四川卷)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, -2<φ<2)的部分图象如图 所示,则 ω,φ 的值分别是 π A.2,-3 π B.2,-6 ( ).

π C.4,-6 π D.4,3 4?5π ? π?? 2π - ?? 解析 由图象知 f(x)的周期 T=3?12-? ? 3??=π,又 T= ω ,ω>0,∴ω=2.由于 ? π π 5π ?5π ? f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-2<φ<2)的一个最高点为?12,2?,故有 2×12+φ=2kπ ? ? π π π π π +2(k∈Z),即 φ=2kπ-3,又-2<φ<2,∴φ=-3,选 A. 答案 A 考点三 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质应用

π 【例 3】 (2014· 济南模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω,A>0,0<φ<2)的 π 最大值为 2,最小正周期为 π,直线 x=6是其图象的一条对称轴. (1)求函数 f(x)的解析式; π? ? π? ? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ? 2π 解 (1)由题意,得 A=2,ω= π =2, π π ? ? 当 x=6时,2sin?2×6+φ?=± 2, ? ? π π ?π ? 即 sin?3+φ?=± 1,所以3+φ=kπ+2, ? ? π π π 解得 φ=kπ+6,又 0<φ<2,所以 φ=6. π? ? 故 f(x)=2sin?2x+6?. ? ? π ? π? π ? π? ? ? ? ? x-12?+ ?-2sin?2?x+12?+ ? (2)g(x)=2sin?2? ? 6? ? 6? ? ? ? ? π? ? =2sin 2x-2sin?2x+3? ? ? ?1 ? 3 =2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2x? 2 ?2 ? π? ? =sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x-3?. ? ?

π π π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z, π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. π 5π? ? 所以函数 g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ? 规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 π (1)奇偶性:φ=kπ 时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+2(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数. 2π (2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小正周期为 T= ω . π (3)单调性:根据 y=sin t 和 t=ωx+φ(ω>0)的单调性来研究,由-2+2kπ≤ωx π π 3π +φ≤2+2kπ(k∈Z)得单调增区间;由2 +2kπ≤ωx+φ≤ 2 +2kπ(k∈Z)得单调减 区间. (4)对称性:利用 y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令 ωx+φ=kπ(k∈Z), 求得 x、ω. π π 利用 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+2(k∈Z)求解, 令 ωx+φ=kπ+2(k∈Z)得其对称 轴. 【训练 3】 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π, ω>0)为偶函数, π 且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2. ?π? (1)求 f?8?的值; ? ? ? π? (2)求函数 y=f(x)+f?x+4?的最大值及对应的 x 的值. ? ? 解 (1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) ? 3 ? 1 =2? sin?ωx+φ?- cos?ωx+φ?? 2 ?2 ? π? ? =2sin?ωx+φ-6?. ? ? 因为 f(x)为偶函数,

π π 2π 2π 则 φ-6=2+kπ(k∈Z),所以 φ= 3 +kπ(k∈Z),又因为 0<φ<π,所以 φ= 3 , π? ? 所以 f(x)=2sin?ωx+2?=2cos ωx. ? ? 2π π 由题意得 ω =2· 2,所以 ω=2. π ?π? 故 f(x)=2cos 2x.因此 f?8?=2cos 4= 2. ? ? ? π? (2)y=2cos 2x+2cos 2?x+4? ? ? π? ? =2cos 2x+2cos?2x+2?=2cos 2x-2sin 2x ? ? ?π ? =2 2sin?4-2x?. ? ? π π 令4-2x=2kπ+2(k∈Z),y 有最大值 2 2, π 所以当 x=-kπ-8(k∈Z)时,y 有最大值 2 2.

1.在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平 移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个 变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变 化多少. 2.由图象确定函数解析式:由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A,ω,φ 的题型, 常常以“五点法”中的五个点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点” 和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 3.对称问题:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心, 经过该图象上坐标为(x,± A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴, 这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距 离).

易错辨析 5——三角函数图象平移变换时因自变量系数致误 π 【典例】 (2013· 山东卷改编)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移8个单位 后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为

( 3π A. 4 π B.4 3π C. 8 π D.-4

).

[错解]

向左平移 π ? ? y=sin(2x+φ) ― ― → y=sin?2x+8+φ? ? ? π 个单位 8

π π 3π 则由8+φ=2得 φ= 8 .故选 C. [答案] C [错因] π π ? ? 函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移8个单位得到 y=sin?2x+8+φ? ? ?

是错误的,应注意警惕. [正解] 向左平移 π π π ? ? π? ? ? ? y=sin(2x+φ) ― ― → y=sin?2?x+8?+φ?=sin?2x+4+φ?, 则由4+φ=2 ? ? ? ? ? ? π 8个单位

π +kπ(k∈Z),根据选项检验可知 φ 的一个可能取值为4.故选 B. 答案 B [防范措施] 对于三角函数图象的平移变换问题,其平移变换规则是“左加、右

减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量 x,如果 x 的系数不是 1,就要把 这个系数提取后再确定变换的单位和方向.另外,当两个函数的名称不同时,首 φ? ? 先要将函数名称统一, 其次要把 ωx+φ 变换成 ω?x+ω?, 最后确定平移的单位并 ? ?

φ 根据ω的符号确定平移的方向. 【自主体验】 π (2014· 湖州二模)将函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象向左平移4个单位长度,所得图 象对应的函数解析式可以是 A.y=cos 2x+sin 2x C.y=sin 2x-cos 2x ( ). B.y=cos 2x-sin 2x D.y=sin xcos x

π?向左平移 ? ? π? π? ? x+ ?+ ? 解析 y=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+4? π― ― → y= 2sin?2? ? ? 4个单位 ? ? 4? 4? π π? ? = 2sin?2x+4+2? ? ? π? ? = 2cos?2x+4? ? ? =cos 2x-sin 2x. 答案 B

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 ? π? 1. (2014· 北京石景山二模)把函数 y=sin?x+6?图象上各点的横坐标缩短到原来的 ? ? 1 π ( 纵坐标不变 ) ,再将图象向右平移 2 3个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 ( ).

π π π π A.x=-2 B.x=-4 C.x=8 D.x=4 1 ? π? 解析 将 y=sin?x+6?图象上各点的横坐标缩短到原来的2(纵坐标不变),得到函 ? ? π? π ? ? π? π? ? x- ?+ ?= 数 y=sin?2x+6?;再将图象向右平移3个单位,得到函数 y=sin?2? ? ? ? ? 3? 6?

π? π ? sin?2x-2?,x=-2是其图象的一条对称轴方程. ? ? 答案 A 2.(2014· 深圳二模)如果函数 f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为 T,且当 x=2 时,f(x)取得最大值,那么( π A.T=2,θ=2 B.T=1,θ=π π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=2 2π π 3π 解析 T= π =2,当 x=2 时,由 π×2+θ=2+2kπ(k∈Z),得 θ=- 2 +2kπ(k π ∈Z),又 0<θ<2π,∴θ=2. 答案 A π 3.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为2,直 π 线 x=3是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( π? ? A.y=4sin?4x+6? ? ? π? ? B.y=2sin?2x+3?+2 ? ? ). ).

π? π? ? ? C.y=2sin?4x+3?+2 D.y=2sin?4x+6?+2 ? ? ? ? ?A+k=4, ?A=2, 解析 由题意得? 解得? ?-A+k=0, ?k=2. π 又函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的最小正周期为2, 2π 所以 ω= π =4,所以 y=2sin(4x+φ)+2. 2 π 又直线 x=3是函数图象的一条对称轴, π π 5π 所以 4×3+φ=kπ+2(k∈Z),所以 φ=kπ- 6 (k∈Z), π? ? 故可得 y=2sin?4x+6?+2 符合条件,所以选 D. ? ? 答案 D

π? π ? 4.(2014· 长春模拟)函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后是奇函数, ? ? π? ? 则函数 f(x)在?0,2?上的最小值为( ? ? 3 A.- 2 解析 1 B.-2 1 C.2 3 D. 2 ).

π? π ? ? π? 函数 f(x) = sin(2x + φ) ?|φ|<2? 向左平移 6 个单位后得到函数为 f ?x+6? = ? ? ? ?

π π ? ? π? ? ? ? sin?2?x+6?+φ?=sin?2x+3+φ?,因为此时函数为奇函数,所以3+φ=kπ(k∈Z), ? ? ? ? ? ? π? π π π ? 所以 φ=-3+kπ(k∈Z). 因为|φ|<2, 所以当 k=0 时, φ=-3, 所以 f(x)=sin?2x-3?. ? ? π? π π π 2π π π ? 当 0≤x≤2时,-3≤2x-3≤ 3 ,即当 2x-3=-3时,函数 f(x)=sin?2x-3?有最 ? ? 3 ? π? 小值为 sin?-3?=- 2 . ? ? 答案 A

π? ? ? π 5π? 5.(2014· 宁德质检)如图是函数 y=sin(ωx+φ)?ω>0,0<φ<2?在区间?-6, 6 ? ? ? ? ? π 上的图象,将该图象向右平移 m(m>0)个单位后,所得图象关于直线 x=4对称, 则 m 的最小值为( π A.12 π π π B.6 C.4 D.3 ).

5 π 2π 解析 令 f(x)=y=sin(ωx+φ),由三角函数图象知,T=6π+6=π,所以 ω =π, π π ? π ? 所以 ω=2.因为函数 f(x)过点?-6,0?,且 0<φ<2,所以-6×2+φ=0,所以 φ ? ? π? π ? =3,所以 f(x)=sin?2x+3?,将该函数图象向右平移 m 个单位后,所得图象的解 ? ? π π π ? ? 析式是 g(x)=sin?2x+3-2m?, 因为函数 g(x)的图象关于直线 x=4对称, 所以 2×4 ? ? π π π kπ π +3-2m=2+kπ(k∈Z),解得 m=6- 2 (k∈Z),又 m>0,所以 m 的最小值为6.

答案 B 二、填空题 6.函数 y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图 象如图所示, 则 ω=________. 3 2 2π 解析 由图象可以看出2T=π,∴T=3π= ω ,因此 ω=3. 答案 3 7. (2014· 山东省实验中学诊断)已知函数 y=g(x)的图象由 f(x)=sin 2x 的图象向右 平移 φ(0<φ<π)个单位得到, 这两个函数的部分图象如图所示, 则 φ=________.

π π 解析 函数 f(x)=sin 2x 的图象在 y 轴右侧的第一个对称轴为 2x=2,所以 x=4, π π 3π 8关于 x=4对称的直线为 x= 8 ,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为 x 3π 17π 17π 3π π = 8 的点平移到 x= 24 ,所以 φ= 24 - 8 =3. π 答案 3 π? ? 8.设函数 f(x)=sin?2x+6?,则下列命题: ? ? π ?π ? ①f(x)的图象关于直线 x=3对称;②f(x)的图象关于点?6,0?对称;③f(x)的最小 ? ? π? π ? 正周期为 π,且在?0,12?上为增函数;④把 f(x)的图象向右平移12个单位,得到 ? ? 一个奇函数的图象. 其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上). π π? 5π 1 π ?π? ? 解析 对于①, f?3?=sin?2×3+6?=sin 6 =2, 不是最值, 所以 x=3不是函数 f(x) ? ? ? ?

π π? ?π? ? ?π ? 的图象的对称轴, 该命题错误; 对于②, f?6?=sin?2×6+6?=1≠0, 所以点?6,0? ? ? ? ? ? ? 不是函数 f(x)的图象的对称中心,故该命题错误;对于③,函数 f(x)的周期为 T π? 2π π ?π π? ? ?π π? = 2 =π,当 x∈?0,12?时,令 t=2x+6∈?6,3?,显然函数 y=sin t 在?6,3?上 ? ? ? ? ? ? π? ? 为增函数,故函数 f(x)在?0,12?上为增函数,所以该命题正确;对于④,把 f(x) ? ? π ? π? π ? ? x-12?+ ?=sin 2x,是 的图象向右平移12个单位后所对应的函数为 g(x)=sin?2? ? 6? ? ? 奇函数,所以该命题正确.故填③④. 答案 ③④ 三、解答题 π? ? 9. (2014· 苏州调研)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?其中A>0,ω>0,0<φ<2?的周 ? ? ?2π ? 期为 π,且图象上有一个最低点为 M? 3 ,-3?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; 3 (2)求使 f(x)<2成立的 x 的取值集合. 解 (1)由题意知:A=3,ω=2, ?4π ? 由 3sin? 3 +φ?=-3, ? ? 4π π 得 φ+ 3 =-2+2kπ,k∈Z, -11π 即 φ= 6 +2kπ,k∈Z. π π 而 0<φ<2,所以 k=1,φ=6. π? ? 故 f(x)=3sin?2x+6?. ? ? π? 3 3 ? (2)f(x)<2等价于 3sin ?2x+6?<2, ? ? π? 1 ? 即 sin?2x+6?<2, ? ? 7π π π 于是 2kπ- 6 <2x+6<2kπ+6(k∈Z),

2π 解得 kπ- 3 <x<kπ(k∈Z),
? ? 2π 3 故使 f(x)<2成立的 x 的取值集合为?x|kπ- 3 <x<kπ,k∈Z?. ? ?

10.(2013· 济宁测试)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2 x-1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,再把 π 所得到的图象向左平移6个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x) ? π π? 在区间?-6,12?上的值域. ? ? 解 (1)因为 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2x-1 π? ? = 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x-6?, ? ? ∴函数 f(x)的最小正周期为 T=π, π π π 由-2+2kπ≤2x-6≤2+2kπ,k∈Z, π π ∴- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 6 3 π ? π ? ∴f(x)的单调递增区间为?-6+kπ,3+kπ?,k∈Z. ? ? 1 (2)函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,得到 y π? ? =2sin?4x-6?; ? ? π ? ? π? π? x+ ?- ? = 再 把 所 得 到 的 图 象 向 左 平 移 6 个 单 位 长 度 , 得 到 g(x) = 2sin ?4? ? ? 6? 6? π? ? 2sin?4x+2?=2cos 4x, ? ? ? π π? ? 2π π? 当 x∈?-6,12?时,4x∈?- 3 ,3?, ? ? ? ? 所以当 x=0 时,g(x)max=2, π 当 x=-6时,g(x)min=-1. ? π π? ∴y=g(x)在区间?-6,12?上的值域为[-1,2]. ? ?

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 ?sin 2x cos 2x? ?a1 a2? ?=a1a4-a2a3,若函数 f(x)=? ?,则 1.(2014· 长沙一模)定义? ?a3 a4? ?1 3 ? π 将 f(x)的图象向右平移3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( π π π A.x=6 B.x=4 C.x=2 D.x=π π? ? 解析 由定义可知, f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x-6?, 将 f(x)的图象向右平移 ? ? 5π? π 5π π ? ? π? π? ? ?2?x- ?- ? ?2x- 6 ?,由 2x- = +kπ(k∈Z),得 3个单位得到 y=2sin? ? 3? 6?=2sin? 6 2 ? 2π kπ 2π π π 对称轴为 x= 3 + 2 (k∈Z),当 k=-1 时,对称轴为 x= 3 -2=6. 答案 A ).

2.(2014· 江南十校联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0) 的部分图象如图所示,下列结论: ①最小正周期为 π; π ②将 f(x)的图象向左平移6个单位,所得到的函数是偶函数; ③f(0)=1; ?12π? ?14π? ④f? 11 ?<f? 13 ?; ? ? ? ? ?5π ? ⑤f(x)=-f? 3 -x?. ? ? 其中正确的是( A.①②③ C.①④⑤ ).

B.②③④ D.②③⑤

T 7 π π 7 3π 解析 由题图可知,A=2,4 =12π-3=4?T=π?ω=2,2×12π+φ=2kπ+ 2 , π? π π ? ? π? ? φ=2kπ+3(k∈Z).所以 f(x)=2sin?2x+3??f(0)= 3,f?x+6?=2sin?2x+3 ? ? ? ? ? π? 2π? kπ π ? +3?=2sin?2x+ 3 ?,所以②,③不正确;f(x)的对称轴为直线 x= + (k∈Z), 2 12 ? ? ? 13π ?5π ? 一个对称中心为? 6 ,0?,所以 f(x)的图象关于直线 x= 12 对称,且 f(x)的最大值 ? ? π 13π 14π π ?13π? 12π 13π ?12π? ?14π? 为 f? 12 ?, 11 - 12 = > 12 - 13 = ,所以 f? 11 ?<f? 13 ?,即④ ? ? ? ? ? ? 11×12 13×12 π? ? 正确;设(x,f(x))为函数 f(x)=2sin?2x+3?的图象上任意一点,其关于对称中心 ? ? π? ?5π ? ?5π ? ? ?5π ? ? 6 ,0?的对称点? 3 -x,-f?x??也在函数 f(x)=2sin?2x+3?的图象上, 即 f? 3 -x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5π ? =-f(x)?f(x)=-f? 3 -x?,故⑤正确.综上所述,①④⑤正确.选 C. ? ? 答案 C 二、填空题 π π? ? 3.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ≤2?的图象上的两个相邻的最高点 ? ? 1? ? 和最低点的距离为 2 2,且过点?2,-2?,则函数解析式 f(x)=________. ? ? 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 2,可得 ?T?2 ?2 ? +?1+1?2=2 2, ? ?

1? 2π π ?πx ? ? 解得 T=4,故 ω= T =2,即 f(x)=sin? 2 +φ?,又函数图象过点?2,-2?,故 f(2) ? ? ? ? 1 π π π ?π ? ?πx π? =sin?2×2+φ?=-sin φ=-2,又-2≤φ≤2,解得 φ=6,故 f(x)=sin? 2 +6?. ? ? ? ? ?πx π? 答案 sin? 2 +6? ? ? 三、解答题 4.(2013· 淄博二模)已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx+ 1 π cos 2ωx-2(ω>0),其最小正周期为2. (1)求 f(x)的表达式;

π (2)将函数 f(x)的图象向右平移8个单位, 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间 π? ? ?0,2?上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. ? ? 1 解 (1)f(x)= 3sin ωx· cos ωx+cos2ωx-2 cos 2ωx+1 1 π? 3 ? = 2 sin 2ωx+ -2=sin?2ωx+6?, 2 ? ? π 2π π π 由题意知 f(x)的最小正周期 T= ,T= = = , 2 2ω ω 2 π? ? 所以 ω=2,所以 f(x)=sin?4x+6?. ? ? π? π ? (2)将 f(x)的图象向右平移8个单位后,得到 y=sin?4x-3?的图象;再将所得图象 ? ? π? ? 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x-3?的图象,所 ? ? π? ? 以 g(x)=sin?2x-3?, ? ? π π π 2π ? 3 ? 因为 0≤x≤2,所以-3≤2x-3≤ 3 ,所以 g(x)∈?- ,1? ? 2 ? π? ? 又 g(x)+k=0 在区间?0,2?上有且只有一个实数解,即函数 y=g(x)与 y=-k 在 ? ? π? 3 3 ? 区间?0,2?上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知- 2 ≤-k< 2 或-k ? ? =1, 3 3 解得- 2 <k≤ 2 或 k=-1, ? 3 3? 所以实数 k 的取值范围是?- , ?∪{-1}. 2? ? 2 步骤规范练 —— 三角函数及三角函数的 图象与性质 (建议用时:90 分钟)

一、选择题 1.若角 α 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2α 的值为( ).

4 A.-3

4 B.3

3 C.4

3 D.-4

-2 解析 tan α= 1 =-2, tan 2α= 2×?-2? 4 2tan α =3. 2 = 1-tan α 1-4

答案 B 2.(2014· 广州一测)函数 y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)是( π? ? A.奇函数且在?0,2?上单调递增 ? ? ?π ? B.奇函数且在?2,π?上单调递增 ? ? π? ? C.偶函数且在?0,2?上单调递增 ? ? ?π ? D.偶函数且在?2,π?上单调递增 ? ? 解析 y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,∴函数是偶函数 π? ? 且在?0,2?上单调递增. ? ? 答案 C ? π? 3.(2013· 温岭中学模拟)函数 f(x)=sin xsin?x+2?的最小正周期为( ? ? A.4π B.2π C.π π D.2 ). ).

1 ? π? 解析 f(x)=sin xsin?x+2?=sin xcos x=2sin 2x, ? ? 2π 故最小正周期为 T= 2 =π. 答案 C π? ? 4.(2014· 浙江五校联盟)要得到函数 y=sin?2x-4?的图象,只要将函数 y=sin 2x ? ? 的图象( ). π B.向右平移4单位 π D.向左平移8单位

π A.向左平移4单位 π C.向右平移8单位

π? 向右平移 ? π? ? x - 2 x - ? ? ? 解析 y=sin 2x π― ― → y = sin 2 = sin . 4? ? 8? ? ? 8个单位 答案 C 5.

已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的表达式为( ?3 π? A.f(x)=2sin?2x+4? ? ? ?3 5π? B.f(x)=2sin?2x+ 4 ? ? ? ?4 2π? C.f(x)=2sin?3x+ 9 ? ? ? ?4 25 ? D.f(x)=2sin?3x+18π? ? ?

).

3 5π ? π? 4π 解析 由函数的部分图象可知4T= 6 -?-6?,则 T= 3 ,结合选项知 ω>0,故 ω ? ? 2π 3 ?5π ? = T =2,排除 C,D;又因为函数图象过点? 6 ,2?,代入验证可知只有 B 项满 ? ? 足条件. 答案 B π? ? 6. (2014· 成都模拟)将函数 f(x)=3sin?4x+6?图象上所有点的横坐标伸长到原来的 ? ? π 2 倍,再向右平移6个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)图象的一条 对称轴是( π A.x=12 ). π B.x=6

π 2π C.x=3 D.x= 3 π? ? 解析 将函数 f(x)=3sin?4x+6?图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到 ? ? π? π ? ? π? π? ? x- ?+ ? = 函数 y = 3sin ?2x+6? ,再向右平移 6 个单位长度,得到 y = 3sin ?2? ? ? ? ? 6? 6?

π? π? π π π ? ? 3sin?2x-6?,即 g(x)=3sin?2x-6?.当 2x-6=kπ+2时,解得 x=kπ+3,又当 k ? ? ? ? π π =0 时,x=3,所以 x=3是一条对称轴,故选 C. 答案 C 7.已知函数 f(x)= 3sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相 邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是( π 5π? ? A.?kπ-12,kπ+12?,k∈Z ? ? 5π 11π? ? B.?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z ? ? π π? ? C.?kπ-3,kπ+6?,k∈Z ? ? π 2π? ? D.?kπ+6,kπ+ 3 ?,k∈Z ? ? π? ? 解析 f(x)= 3sin ωx+cos ωx=2sin?ωx+6?,由题设知 f(x)的最小正周期为 T= ? ? π? π π π π ? π,所以 ω=2,即 f(x)=2sin?2x+6?.由 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2(k∈Z)得,kπ-3 ? ? π ≤x≤kπ+6(k∈Z),故选 C. 答案 C π? ? 8.设函数 f(x)=|sin?2x+3?|,则下列关于函数 f(x)的说法中正确的是( ? ? A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期为 π ? π ? C.f(x)的图象关于点?-6,0?对称 ? ? ?π 7π? D.f(x)在区间?3,12?上是增函数 ? ? π π? ?π? ? ? π? ? ? ?-π? π?? ?+ ?? 解析 对于选项 A, 由于 f?3?=|sin?2×3+3?|=0, 而 f?-3?=?sin?2×? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? 3?? π? π 3 ?π? ? =|sin3|= 2 ≠f?3?,所以 f(x)不是偶函数;对于选项 B,由于 f(x)=sin?2x+3?的 ? ? ? ? π?? π? ? ? ? 周期为 π,而 f(x)=?sin?2x+3??的图象是将 f(x)=sin?2x+3?的 x 轴上方的图象保 ? ? ?? ? ? ). ).

π?? ? ? 持不变,x 轴下方的图象关于 x 轴对称到上方去,因此 f(x)=?sin?2x+3??的周期 ? ? ?? π? ? 为 f(x)=sin?2x+3?的周期的一半,故选项 B 不正确;对于选项 C,由于 f(x)= ? ? π?? ? ? ?sin?2x+3??的图象不是中心对称图形,因此也不正确;对于选项 D,由三角函 ? ? ?? π?? π π ? ? 数的性质可知,f(x)=?sin?2x+3??的单调递增区间是 kπ≤2x+3≤kπ+2(k∈Z), ? ? ?? kπ π kπ π ?π 7π? 即 2 -6≤x≤ 2 +12(k∈Z),当 k=1 时,x∈?3,12?,故选 D. ? ? 答案 D ? π? 9.(2014· 石狮模拟)函数 y=cos2?x+4?的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0), ? ? 所得图象关于 y 轴对称,则 a 的最小值为( 3π π π A.π B. 4 C.2 D.4 π? ? 1+cos?2x+2? 1-sin 2x π ? ? 1 1 ? ? 解析 y=cos2?x+4?= = = 函数图象向右平移 2 2 2-2sin 2x, ? ? 1 1 1 1 a 个单位得到函数 y= - sin[2(x-a)]= - sin(2x-2a), 要使函数的图象关于 y 2 2 2 2 π π kπ 轴对称,则有-2a=2+kπ,k∈Z,即 a=-4- 2 ,k∈Z,所以当 k=-1 时,a π 有最小值为4,选 D. 答案 D π 10. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<2)的图象在 y 轴上的截距为 1, 3 ? ? 在相邻两最值点(x0,2),?x0+2,-2?(x0>0)上 f(x)分别取得最大值和最小值.若 ? ? 函数 g(x)=af(x)+b 的最大值和最小值分别为 6 和 2,则|a|+b 的值为( A.5 B.6 C.7 D.8 ). ).

3? T ? 3 解析 由题意知 A=2,2 =?x0+2?-x0=2, ? ? 2π 2π ∴T=3,即|ω|=3,又 ω>0,∴ω= 3 .

π ?2π ? ∴f(x)=2sin? 3 x+φ?,又函数 f(x)过点(0,1),代入得 2sin φ=1,而|φ|<2,∴φ= ? ? π 6, ?2π π? ?2π π? ∴f(x)=2sin? 3 x+6?,g(x)=af(x)+b=2asin? 3 x+6?+b. ? ? ? ? ?2|a|+b=6, ?|a|=1, 由? 得? ∴|a|+b=5. ?-2|a|+b=2, ?b=4, 答案 A 二、填空题 11 . (2013· 宁波十校测试 ) 函数 y = sin(x + 10° ) + cos(x + 40° )(x ∈ R) 的最大值= ________. 解析 y=sin(x+10° )+cos(x+40° ) =sin(x+10° )+cos[(x+10° )+30° ] 3 1 =sin(x+10° )+ 2 cos(x+10° )-2sin(x+10° ) 1 3 =2sin(x+10° )+ 2 cos(x+10° ) =sin(x+10° +60° ) =sin(x+70° ), 故 ymax=1. 答案 1 12.

π? ? 如图所示的是函数 y=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?图象的一部分,则其函 ? ? 数解析式是________. T π ? π? π 解析 由图象知 A=1,4 =6-?-3?=2, 得 T=2π, 则 ω=1, 所以 y=sin(x+φ). ? ? π ?π ? 由图象过点?6 ,1?,可得 φ=2kπ+3(k∈Z), ? ? π 又|φ|<2,

π ? π? 所以 φ=3,所以所求函数解析式是 y=sin?x+3?. ? ? ? π? 答案 y=sin ?x+3? ? ? 13.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与直线 y=b(0<b< A)的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8,则 f(x)的单调递增区间是________. 2π π 解析 根据分析可得函数的周期为 6,即 ω =6,得 ω=3,由三角函数的对称性 ?π ? 可知,函数在 x=3 处取得最大值,即 Asin?3×3+φ?=A,即 sin φ=-1,所以 φ ? ? π π ?π π? =2kπ-2(k∈Z).又|φ|<π,所以 φ=-2,故函数的解析式为 f(x)=Asin?3x-2?, ? ? π π π π 令 2kπ-2≤3x-2≤2kπ+2(k∈Z),得 6k≤x≤6k+3(k∈Z).故函数 f(x)的单调递 增区间是[6k,6k+3](k∈Z). 答案 [6k,6k+3](k∈Z) 14.(2014· 淄博二模)下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π.
? ? ? ? ? kπ ②终边在 y 轴上的角的集合是?α?α= 2 ,k∈Z ?. ? ? ? ? ?

③在同一坐标系中,函数 y=sin x 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. π? π ? ④把函数 y=3sin?2x+3?的图象向右平移6个单位得到 y=3sin 2x 的图象. ? ? ? π? ⑤函数 y=sin?x-2?在(0,π)上是减函数. ? ? 其中真命题的序号是________. 2π 解析 ①化简得 y=-cos 2x,最小正周期为 2 =π.真命题.
? ? ? ? ? π ②终边在 y 轴上的角的集合是?α?α=kπ+2,k∈Z ?,假命题. ? ? ? ? ?

③在同一坐标系中,函数 y=sin x 的图象和函数 y=x 的图象,只有一个公共点, 假命题. π? π ? ? π? π? ? x- ?+ ?=3sin ④把函数 y=3sin?2x+3?的图象向右平移6个单位得到 y=3sin?2? ? ? ? ? 6? 3? 2x 的图象,真命题.

? π? ⑤函数 y=sin?x-2?在(0,π)上是增函数,假命题. ? ? 答案 ①④ 三、解答题 π? ? 15.(2013· 辽宁卷)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈?0,2?. ? ? (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a|=|b|,得 4sin2x=1. π? 1 ? 又 x∈?0,2?,从而 sin x=2, ? ? π 所以 x=6. (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2x 3 1 1 = 2 sin 2x-2cos 2x+2 π? 1 ? =sin?2x-6?+ , ? ? 2 π? π? π ? ? 当 x=3∈?0,2?时,sin?2x-6?取最大值 1. ? ? ? ? 3 所以 f(x)的最大值为2. 16.(2014· 衡水模拟)已知函数 f(x)=1+sin xcos x. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)若 tan x=2,求 f(x)的值. 1 解 (1)已知函数可化为 f(x)=1+ sin 2x, 2 2π 所以 T= 2 =π, π 3π 令2+2kπ≤2x≤ 2 +2kπ(k∈Z), π 3π 则4+kπ≤x≤ 4 +kπ(k∈Z),

3π ?π ? 即函数 f(x)的单调递减区间是?4+kπ, 4 +kπ?(k∈Z). ? ? sin2 x+sin xcos x+cos2x (2)由已知 f(x)= sin2 x+cos2x tan2 x+tan x+1 = , tan2 x+1 22+2+1 7 ∴当 tan x=2 时,f(x)= 2 =5. 2 +1 17.(2013· 合肥第二次质检)已知函数 f(x)=msin x+ 2m-1cos x. (1)若 m=2,f(α)= 3,求 cos α; π? ? (2)若 f(x)的最小值为- 2,求 f(x)在?-π,6?上的值域. ? ? 解 (1)由 m=2,∴f(α)=2sin α+ 3cos α= 3, 1 又 sin2α+cos2α=1,∴cos α=-7或 cos α=1. (2)f(x)=msin x+ 2m-1cos x= m2+2m-1sin(x+φ) ≤ m2+2m-1, ∴ m2+2m-1= 2, ∴m=1 或 m=-3(舍), ? π? ∴f(x)=sin x+cos x= 2sin?x+4?. ? ? π? ? 由 x∈?-π,6?, ? ? π ? 3π 5π? ∴x+4∈?- 4 ,12?, ? ? 2+ 6? ? π? ? ?, ∴sin?x+4?∈?-1, ? ? ? 4 ? ? 1+ 3? ?. 所以 f(x)的值域为?- 2, 2 ? ? 18.(2014· 江苏省七校联考)已知 m=(asin x,cos x),n=(sin x,bsin x),其中 a, π ?π? b,x∈R.若 f(x)=m· n 满足 f?6?=2,且 f(x)的导函数 f′(x)的图象关于直线 x=12 ? ? 对称. (1)求 a,b 的值;

π? ? (2)若关于 x 的方程 f(x)+log2k=0 在区间?0,2?上总有实数解,求实数 k 的取值 ? ? 范围. 解 (1)f(x)=m· n=asin2x+bsin xcos x. ?π? 由 f?6?=2,得 a+ 3b=8.① ? ? π ∵f′(x)=asin 2x+bcos 2x,且 f′(x)的图象关于直线 x=12对称, ?π? ∴f′(0)=f′?6?, ? ? 3 1 ∴b= 2 a+2b,即 b= 3a.② 由①②得,a=2,b=2 3. (2)由(1)得 f(x)=1-cos 2x+ 3sin 2x π? ? =2sin?2x-6?+1. ? ? π? ? ∵x∈?0,2?, ? ? π π 5π ∴- ≤2x- ≤ , 6 6 6 π? 1 ? ∴-2≤sin ?2x-6?≤1, ? ? π? ? ∴0≤2sin?2x-6?+1≤3,即 f(x)∈[0,3]. ? ? π? ? 又 f(x)+log2k=0 在?0,2?上有解, ? ? π? ? 即 f(x)=-log2k 在?0,2?上有解, ? ? 1 ?1 ? ∴-3≤log2k≤0,解得8≤k≤1,即 k∈?8,1?. ? ?

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第5讲 [最新考纲]

两角和与差的正弦、余弦和正切

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角 的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.

知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α± β)=sin_αcos_β± cos_αsin_β. cos(α?β)=cos_αcos_β± sin_αsin_β. tan(α± β)= tan α± tan β . 1?tan αtan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin_αcos_α. cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. tan 2α= 2tan α . 1-tan2α

3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan_αtan_β). (2)cos2α= 1+cos 2α 1-cos 2α 2 , sin α = . 2 2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1 -sin 2α= (sin α-cos α)2,sin α± cos α= 2 ? π? ?. sin?α± ? 4? 4.函数 f(α)=asin α+bcos α(a,b 为常数),可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+φ), b 其中 tan φ=a.

辨 析 感 悟 1.对两角和与差的三角函数公式的理解

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的.(√)

(2)存在实数 α,β,使等式 cos(α+β)=cos α+cos β.

(√)

1 (3)(教材练习改编)cos 80° cos 20° -sin 80° sin 20° =cos(80° -20° )=cos 60° =2.

(×) (4)(教材习题改编) 1-tan θ ?π ? =tan?4+θ?. ? ? 1+tan θ

(×) (5)(2014· 湘潭月考改编)设 tan α, tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β) =-3. 2.对二倍角公式的理解 θ θ (6)cos θ=2cos22-1=1-2sin22. (√)

(√) α 3 1 (7)若 sin 2= 3 ,则 cos α=-3.

(×) (8)y=sin 2xcos 2x 的最大值为 1.

(×) ?π ? (9)(2013· 四川卷改编)设 sin 2α=-sin α,α∈?2,π?,则 tan 2α= 3. ? ?

(√) [感悟· 提升] 一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件, 要注意和差、 倍角的相对性,

要注意升幂、降幂的灵活运用. 学生用书?第 60 页

考点一

三角函数式的化简、求值问题 ).

【例 1】 (1)(2013· 重庆卷)4cos 50° -tan 40° =( A. 2 B. C. 3 -1 cos2α-sin2α (2) =________. ?π ? 2?π ? 2tan?4-α?cos ?4-α? ? ? ? ? sin 40° 解析 (1)4cos 50° -tan 40° =4sin 40° -cos 40° 4sin 40° · cos 40° -sin 40° 2sin 80° -sin 40° = = cos 40° cos 40° 2sin ?120° -40° ?-sin 40° = cos 40° = 3cos 40° +sin 40° -sin 40° cos 40° 2+ 3 2

D. 2 2

= 3. (2)原式= cos2α-sin2α ?π ? 2sin?4-α? ? ? ? 2?π ?4-α? · cos π ? ? ? ? cos?4-α? ? ?

cos2α-sin2α = ?π ? ?π ? 2sin?4-α?cos?4-α? ? ? ? ? cos 2α cos 2α = =cos 2α=1. π ? ? sin?2-2α? ? ? 答案 (1)C (2)1

规律方法 (1)技巧:①寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;

②正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值; ③一些常规技巧:“1”的代换、和积互化等. (2)常用方法:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次, 切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化. 【训练 1】 (1)化简:[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280° =________. θ θ? ? ?1+sin θ+cos θ??sin 2-cos 2? ? ? (2)化简: (0<θ<π)=____; 2+2cos θ ? ? cos 10° + 3sin 10° ?· 解析 (1)原式=?2sin 50° +sin 10° · cos 10° ? ? ? 1 3 ? cos 10° + 2 sin 10° ? ?· 2 2sin 80° =? ? 2sin 50° +2sin 10° · cos 10° ? ? 2cos 10° =2 2[sin 50° · cos 10° +sin 10° · cos(60° -10° )] 3 =2 2sin(50° +10° )=2 2× 2 = 6. θ θ θ?? θ θ? ? ?2sin 2cos 2+2cos22??sin 2-cos 2? ? ?? ? (2)原式= θ 4cos22 θ θ? θ? θ cos 2?sin22-cos22? cos 2· cos θ ? ? = =- θ? θ? . ? ? ?cos 2? ?cos 2? ? ? ? ? θ π θ 因为 0<θ<π,所以 0<2<2,所以 cos 2>0, 所以原式=-cos θ. 答案 (1) 6 (2)-cos θ

考点二

三角函数的给角求值与给值求角问题

β? π 1 ? ?α ? 2 【例 2】 (1)已知 0<β<2<α<π,且 cos?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β) ? ? ? ? 的值; 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,求 2α-β 的值.

π 解 (1)∵0<β<2<α<π, π α π π β ∴-4<2-β<2,4<α-2<π, 5 ?α ? ?α ? ∴cos?2-β?= 1-sin2?2-β?= 3 , ? ? ? ? β? β? 4 5 ? ? sin?α-2?= 1-cos2?α-2?= 9 , ? ? ? ? α+β β? ?α ?? ?? ∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? β? ? α ? β? ?α ? ? ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 4 5 2 7 5 ? 1? =?-9?× 3 + 9 ×3= 27 , ? ? α+β 49×5 239 ∴cos(α+β)=2cos2 2 -1=2× 729 -1=-729. tan?α-β?+tan β (2)∵tan α=tan[(α-β)+β]= 1-tan?α-β?tan β 1 1 2-7 1 = 1 1=3>0, 1+2×7 π 2tan α ∴0<α<2,又∵tan 2α= = 1-tan2α π ∴0<2α<2, 3 1 4+7 tan 2α-tan β ∴tan(2α-β)= = 3 1=1. 1+tan 2αtan β 1-4×7 1 π ∵tan β=-7<0,∴2<β<π,-π<2α-β<0, 3π ∴2α-β=- 4 . 规律方法 (1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开,看需要求相关 角的哪些三角函数值, 然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式 即可. (2)通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函数,常遵照以下原 则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函 3 = >0, ?1?2 4 1-?3? ? ? 1 2×3

π? ? 数;若角的范围是?0,2?,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好; ? ? ? π π? 若角的范围为?-2,2?,选正弦较好. ? ? 1 13 π 【训练 2】 已知 cos α=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2, (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β. 1 π 4 3 解 (1)∵cos α=7,0<α<2,∴sin α= 7 , ∴tan α=4 3, ∴tan 2α= 2×4 3 2tan α 8 3 =- 47 . 2 = 1-tan α 1-48

π π (2)∵0<β<α<2,∴0<α-β<2, 3 3 ∴sin(α-β)= 14 , ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π ∴β=3. 考点三 三角变换的简单应用

1 ? ? ? π? ? π? 【例 3】 已知 f(x)=?1+tan x?sin2x-2sin?x+4?· sin?x-4?. ? ? ? ? ? ? (1)若 tan α=2,求 f(α)的值; ? π π? (2)若 x∈?12,2?,求 f(x)的取值范围. ? ? ? π? 解 (1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin?x+4?· ? ? π ? ? cos?x+4? ? ? 1-cos 2x 1 π? ? ?2x+2? = + sin 2 x + sin 2 2 ? ? 1 1 =2+2(sin 2x-cos 2x)+cos 2x

1 1 =2(sin 2x+cos 2x)+2. 2sin αcos α 2tan α 4 =5. 2 2 = 2 sin α+cos α tan α+1 2 2 cos α-sin α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 2 = 2 =- . 5 sin α+cos α 1+tan α 1 1 3 所以 f(α)=2(sin 2α+cos 2α)+2=5. 1 1 (2)由(1)得 f(x)=2(sin 2x+cos 2x)+2 由 tan α=2,得 sin 2α= π? 1 2 ? = 2 sin?2x+4?+2. ? ? π ?5π 5π? ? π π? 由 x∈?12,2?,得 2x+4∈?12, 4 ?. ? ? ? ? 2+1 π? 2 ? ∴- 2 ≤sin?2x+4?≤1,∴0≤f(x)≤ 2 , ? ? ? 2+1? ?. 所以 f(x)的取值范围是?0, 2 ? ? 学生用书?第 61 页 规律方法 (1)将 f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将 sin 2α,cos 2α 化为关于正切 tan α 的关系式,为第(1)问铺平道路. (2)把形如 y=asin x+bcos x 化为 y= a2+b2sin(x+φ), 可进一步研究函数的周期、 单调性、最值与对称性. ? π? 【训练 3】 已知函数 f(x)=4cos x· sin?x+6?-1. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ? ? π? 解 (1)因为 f(x)=4cos xsin?x+6?-1 ? ? ? 3 ? 1 =4cos x? sin x+ cos x?-1 2 ?2 ? = 3sin 2x+2cos2x-1= 3sin 2x+cos 2x π? ? =2sin?2x+6?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π.

π π π π 2π (2)因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 . π π 于是,当 2x+6=2, π 即 x=6时,f(x)取得最大值 2; π π π 当 2x+6=-6,即 x=-6时,f(x)取得最小值-1.

1.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对 角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式: 对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证 明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异, 再选择适当的三角公式恒等变形. 2.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已知条件的和角进 行加减或二倍角后再加减, 观察是不是常数角, 只要是常数角, 就可以从此入手, 给这个等式两边求某一函数值,可使所求的复杂问题简单化. 3.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本节要重视公式的推导,既要熟悉三 角公式的代数结构, 更要掌握公式中角和函数名称的特征, 要体会公式间的联系, 掌握常见的公式变形, 倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角 公式及其变 形.

教你审题 3——三角函数求值中的变角问题 π? 4 π? ? ? 【典例】 (2012· 江苏卷)设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为 ? ? ? ? ________. π? 4 ? 审题 一审条件:cos?α+6?=5,α 为锐角, ? ? π? ? 二审问题:sin?2α+12?=? ? ?

π? π π π π ? 三找关系:2α+12=2α+3-4=2?α+6?-4,解题变得明朗化! ? ? π? 4 ? 解析 ∵α 为锐角且 cos?α+6?=5, ? ? π ?π 2π? ∴α+6∈?6, 3 ?, ? ? π? 3 ? ∴sin?α+6?=5. ? ? π? π? π? ? ? ? α+6?- ? ∴sin?2α+12?=sin?2? ? 4? ? ? ? ? π? π? π π ? ? =sin 2?α+6?cos 4-cos 2?α+6?sin 4 ? ? ? ? π? ? π? π? ? 2? ? ? = 2sin?α+6?cos?α+6?- 2 ?2cos2?α+6?-1? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 2? ?4? ? = 2×5×5- 2 ?2×?5?2-1? ? ? ? ? 12 2 7 2 17 2 = 25 - 50 = 50 . 答案 17 2 50

[反思感悟] 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当地拆 α+β ? β? ? α ? 角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有: 2 =?α-2?-?2-β?;α= (α ? ? ? ? π π ?π ? -β)+β 等;4+α=2-?4-α?;15° =45° -30° 等. ? ? 【自主体验】 π? 1 1 ? 已知 cos α=3,cos(α+β)=-3,且 α,β∈?0,2?,则 cos(α-β)的值为________. ? ? π? 1 ? 解析 ∵cos α=3,α∈?0,2?, ? ? 2 2 4 2 7 ∴sin α= 3 ,∴sin 2α= 9 ,cos 2α=-9. 1 2 2 又 cos(α+β)=-3,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)= 3 . ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)

? 7? ? 1? 4 2 2 2 23 =?-9?×?-3?+ 9 × 3 =27. ? ? ? ? 23 答案 27

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 郑州模拟)计算 cos 42° cos 18° -cos 48° sin 18° 的结果等于( ).

1 A.2

3 B. 3

2 C. 2

3 D. 2

解析 原式=sin 48° cos 18° -cos 48° sin 18° 1 =sin(48° -18° )=sin 30° =2. 答案 A ?π ? 1 2.(2013· 湖州模拟)已知 sin?2+α?=3,则 cos(π+2α)的值为( ? ? 7 A.-9 7 B.9 2 C.9 2 D.-3 ).

1 ?π ? 解析 由题意,得 sin?2+α?=cos α=3. ? ? 7 所以 cos(π+2α)=-cos 2α=-(2cos2α-1)=1-2cos2α=9. 答案 B ?π ? 3 3.(2013· 山东省实验中学诊断)已知 cos?4-x?=5,则 sin 2x=( ? ? 18 A.25 解析 7 B.25 7 C.-25 16 D.-25 ).

?π ? ?π ? ?π ? 因为 sin 2x=cos?2-2x?=cos 2?4-x?=2cos2?4-x? -1,所以 sin 2x= ? ? ? ? ? ?

18 7 ?3? 2×?5?2-1=25-1=-25. ? ? 答案 C

3 ? 4 ? ?π ? 4.(2013· 成都模拟)已知 α∈?π,2π?,且 cos α=-5,则 tan?4-α?等于( ? ? ? ? A.7 1 B.7 1 C.-7 D.-7

).

3 ? 4 3 ? 解析 因 α∈?π,2π?,且 cos α=-5,所以 sin α<0,即 sin α=-5,所以 tan α ? ? 3 ?π ? 1-tan α =4.所以 tan?4-α?= = ? ? 1+tan α 答案 B sin 2α-2cos2α π? 1 π ? 5.(2013· 金华十校模拟)已知 tan?α+4?=-2,且2<α<π,则 π? 等于 ? ? ? sin?α-4? ? ? ( ). 3 5 B.- 10 2 5 C.- 5 3 10 D.- 10 3 1-4 1+4 1 = 3 7.

2 5 A. 5 解析

sin 2α-2cos2α 2sin αcos α-2cos2α π? 1 ? ?α+4?=- ,得 = = 2 2cos α ,由 tan π? 2 ? ? ? 2 sin?α-4? ? sin α - cos α ? ? ? 2 1 tan α+1
2

tan α+1 1 π =-2,解得 tan α=-3,因为2<α<π,所以解得 cos α=- 1-tan α 10 2 5 ? 10? ?=- =- 10 ,所以原式=2 2cos α=2 2×?- 5 . ? 10 ? 答案 C 二、填空题 6.(2013· 湖南师大附中模拟)计算: sin 12° - 3 cos 12° 解析 原式= 2?2cos212° -1?sin 12° ?1 ? 3 ? 2? sin 12° - cos 12° 2 sin 12° - 3cos 12° ?2 ? =2sin 12° = cos 12° cos 24° sin 24° cos 24° 2sin?12° -60° ? = 1 =-4. 2sin 48° tan 12° - 3 =________. 2 ?4cos 12° -2?sin 12°

答案 -4 7.(2013· 南京模拟)设 f(x)= 1+cos 2x ? π? 2 ?x+4?的最大值为 2+3,则 + sin x + a sin ? ? ?π ? 2sin?2-x? ? ?

常数 a=________. 1+2cos2x-1 ? π? 2 ?x+4? 解析 f(x)= + sin x + a sin 2cos x ? ? ? π? =cos x+sin x+a2sin?x+4? ? ? ? π? ? π? = 2sin?x+4?+a2sin?x+4? ? ? ? ? ? π? =( 2+a2)sin?x+4?. ? ? 依题意有 2+a2= 2+3,∴a=± 3. 答案 ± 3 π? π? 2 ? ? 8 . (2014· 广州模拟 )已知 cos4 α - sin4 α = 3 ,且 α ∈ ?0,2? ,则 cos ?2α+3? = ? ? ? ? ________. 2 2 解析 ∵cos4 α-sin4 α=(sin2 α+cos2α)(cos2α-sin2 α)= ,∴cos 2α= ,又 α∈ 3 3 π? ? ?0,2?,∴2α∈(0,π), ? ? 5 ∴sin 2α= 1-cos22α= 3 , π? 1 3 ? ∴cos?2α+3?=2cos 2α- 2 sin 2α ? ? 1 2 3 5 2- 15 =2×3- 2 × 3 = 6 . 答案 2- 15 6

三、解答题 ? π? ?π ? 9.(2014· 浙江大学附属中学一模)已知函数 f(x)=cos?x-3?-sin?2-x?. ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; π? π? 3 ? ? (2)若 α∈?0,2?,且 f?α+6?=5,求 f(2α)的值. ? ? ? ?

1 3 解 (1)f(x)=2cos x+ 2 sin x-cos x 3 1 ? π? = 2 sin x-2cos x=sin?x-6?. ? ? ∴f(x)的最小正周期为 2π. ? π? (2)由(1)知 f(x)=sin?x-6?. ? ? π? π π? 3 ? ? 所以 f?α+6?=sin?α+6-6?=sin α=5, ? ? ? ? π? ? ∵α∈?0,2?,∴cos α= 1-sin2 α= ? ? 3 4 24 ∴sin 2α=2sin αcos α=2×5×5=25, 7 ?4? cos 2α=2cos2α-1=2×?5?2-1=25, ? ? π? 3 1 ? ∴f(2α)=sin?2α-6?= 2 sin 2α-2cos 2α ? ? 3 24 1 7 24 3-7 = 2 ×25-2×25= 50 . 10.(2013· 东莞模拟)已知函数 f(x)=- 3sin2 x+sin xcos x. ?25π? (1)求 f? 6 ?的值. ? ? 3 ?α? 1 (2)设 α∈(0,π),f?2?=4- 2 ,求 sin α 的值. ? ? 解 f(x) = - 3 sin2 x + sin xcos x = - 3 × 1-cos 2x 1 3 + 2 sin 2x = - 2 + 2 ?3? 4 1-?5?2= . ? ? 5

π? ? sin?2x+3?, ? ? 3 ?25π? ?25π π? (1)f? 6 ?=- 2 +sin? 3 +3?=0. ? ? ? ? π? 1 3 3 ?α? ? (2)f?2?=- 2 +sin?α+3?=4- 2 , ? ? ? ? π? 1 1 ? ∴0<sin?α+3?=4<2, ? ? π ?π 4π? π ?5π ? 又∵α∈(0,π),∴α+3∈?3, 3 ?.∴α+3∈? 6 ,π?, ? ? ? ?

π? π π? 15 ? ? ∴cos?α+3?=- 4 ,∴sin α=sin?α+3-3? ? ? ? ? 1 1 15 3 1+3 5 =4×2+ 4 × 2 = 8 . 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 π? 1 π? 2 ? ? 1.已知 tan(α+β)=5,tan?β-4?=4,那么 tan?α+4?等于( ? ? ? ? 13 A.18 13 B.22 3 C.22 1 D.6 ).

π π 解析 因为 α+4+β-4=α+β, π? π ? 所以 α+4=(α+β)-?β-4?, ? ? π? ? ? ? π?? 所以 tan?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? ? ? ? ? ?? π? 2 1 ? - tan?α+β?-tan?β-4? 5 4 ? ? 3 = = = 2 1 22. ? π? 1+tan?α+β?tan?β-4? 1+5×4 ? ? 答案 C π? ? 2.(2013· 潍坊模拟)已知 α,β∈?0,2?,满足 tan(α+β)=4tan β,则 tan α 的最大 ? ? 值是( 1 A.4 3 B.4 ). 3 C.4 2 3 D.2 tan α+tan β 3tan β =4tan β,解得 tan α= ,因 1-tan αtan β 1+4tan2β 3 3 =4,当 1 4tan β tan β·

解析 由 tan(α+β)=4tan β,得

π? 3 ? 为 β∈?0,2?,所以 tan β>0.所以 tan α= 1 ≤ ? ? tan β+4tan β 2

1 1 1 3 且仅当tan β=4tan β,即 tan2 β=4,tan β=2时取等号, 所以 tan α 的最大值是4. 答案 B

二、填空题 π? ? ?π ? 3.(2014· 永康模拟)若 sin?α+6?=3sin?2-α?,则 tan 2α=________. ? ? ? ? π? 3 1 3 5 ? 解析 由已知,得 sin?α+6?= 2 sin α+2cos α=3cos α,即 2 sin α=2cos α,所 ? ? 5 3 以 tan α= 3 , 5 3 2× 3 2tan α 5 3 所以 tan 2α= = =- 11 . 1-tan2 α ?5 3?2 ? 1-? ? 3 ? 5 3 答案 - 11 三、解答题 π? ? 4.(2012· 广东卷)已知函数 f(x)=2cos?ωx+6?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 ? ? 10π. (1)求 ω 的值; π? ? 5 ? 5 ? 16 6 ? ? (2)设 α,β∈?0,2?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= ,求 cos(α+β)的值. 5 ? ? ? ? ? ? 17 π? 2π 1 ? 解 (1)由题意知 f(x)=2cos?ωx+6?的最小正周期 T=10π= ω ,则 ω=5. ? ? ?1 π? (2)由(1)知 f(x)=2cos?5x+6?, ? ? π? ? 5π? 5π? 16 6 ? ? 又 α,β∈?0,2?,f?5α+ 3 ?=-5,f?5β- 6 ?=17, ? ? ? ? ? ? π? 3 8 ? 即 cos?α+2?=-5,cos β=17, ? ? 3 4 ∴sin α=5,cos α= 1-sin2α=5, 15 sin β= 1-cos2β=17, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 4 8 3 15 13 =5×17-5×17=-85. 学生用书?第 62 页

第6讲 [最新考纲]

正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

知 识 梳 理

1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 a b c = = sin A sin B sin C=2R (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C b2+c2-a2 cos A= 2bc ; cos B= a2+c2-b2 ; 2ac

内容

(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; 常见变形 a b c (2)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; 解决的问题

a2+b2-c2 cos C= 2ab (1)已知三边,求三个角;

(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他 两角 2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 两角

图形

关系式 解的个数

a=bsin A 一解 3.三角形中常用的面积公式

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

1 (1)S=2ah(h 表示边 a 上的高). 1 1 1 (2)S=2bcsin A=2absin C=2acsin B. 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 辨 析 感 悟 1.三角形中关系的判断 (1) 在 △ ABC 中 , sin A > sin B 的 充 分 不 必 要 条 件 是 A > B. (×) (2)(教材练习改编)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,则 A=60° 或 120° . (√) 2.解三角形 1 5 (3)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3,则 sin B=9. 9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A=16,则 b=6. (√)

(√) 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝角三角形.

(√) (6)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形.

(×) [感悟· 提升] 1.一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,

正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B,如(1). 2.判断三角形形状的两种途径 一是化边为角;二是化角为边,并常用正弦(余

弦)定理实施边、角转换. 学生用书?第 63 页

考点一

利用正弦、余弦定理解三角形

【例 1】 (1)(2013· 湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2asin B= 3b,则角 A 等于 π A.3 π B.4 π C.6 ( ). π D.12

(2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1, c=4 2,B=45° ,则 sin C=______. 解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理及已知得 2sin A· sin B= 3sin B, ∵B 为△ABC 的内角,∴sin B≠0. 3 ∴sin A= 2 .又∵△ABC 为锐角三角形, π? π ? ∴A∈?0,2?,∴A=3. ? ? 2 (2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=1+32-8 2× 2 =25,即 b=5. 2 4 2× 2 c· sin B 4 所以 sin C= b = =5. 5 4 答案 (1)A (2)5 规律方法 已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一 边的对角, 该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角 定理进行判断. 【训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C= ( A.30° B.45° C.45° 或 135° ). D.60°

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C =2 3sin B,则 A= ( ).

A.30°

B.60°

C . 120°

D.150° 2 3 2 2 解析 (1)由正弦定理,得sin 60° =sin C, 2 解得:sin C= 2 ,又 c<a,所以 C<60° ,所以 C=45° . (2)∵sin C=2 3sin B,由正弦定理,得 c=2 3b, ∴cos A= b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 = = = , 2bc 2bc 2bc 2

又 A 为三角形的内角,∴A=30° . 答案 (1)B (2)A 考点二 判断三角形的形状

【例 2】 (2014· 临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= 2bc =2,∴A=60° . (2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 ∴2sin B+ 2 cos B= 3,即 sin(B+30° )=1. ∵0° <B<120° ,∴30° <B+30° <150° . ∴B+30° =90° ,B=60° . ∴A=B=C=60° ,△ABC 为等边三角形. 规律方法 解决判断三角形的形状问题,一般将条件化为只含角的三角函数的关 系式, 然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的

关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.另外,在变形过程中要注意 A,B,C 的范围对三角函数值的影响. 【训练 2】 (1)(2013· 山东省实验中学诊断)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c,且 2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC 是

( A.钝角三角形 C.锐角三角形

).

B.直角三角形 D.等边三角形

(2)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,则△ABC 的形状是

( A.锐角三角形 C.等腰三角形
2 2 2

).

B.直角三角形 D.等腰或直角三角形
2 2 2

a2+b2-c2 1 解析 (1)由 2c =2a +2b +ab, 得 a +b -c =-2ab, 所以 cos C= 2ab = 1 -2ab 1 =- <C<180° ,即△ABC 为钝角三角形. 2ab 4<0,所以 90° (2)由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C, 得 b2[sin(A-B)+sin C]=a2[sin C-sin(A-B)], 即 b2sin Acos B=a2cos Asin B, 即 sin2 Bsin Acos B=sin2 Acos Asin B, 所以 sin 2B=sin 2A,由于 A,B 是三角形的内角, 故 0<2A<2π,0<2B<2π. 故只可能 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B=2. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 答案 (1)A (2)D 考点三 与三角形面积有关的问题

【例 3】 (2013· 新课标全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 正弦定理 审题路线 (1)a=bcos C+csin B ― ― → sin A=??sin(B+C)=??求出角 B. 边化角 1 ? ?S= acsin B, (2)由? 2 ?得出 a2 与 c2 的关系式?利用基本不等式求 ac 的 ? ?b2=a2+c2-2accos B 最大值即可. 解 (1)由已知及正弦定理, 得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B= . 4 1 2 (2)△ABC 的面积 S=2acsin B= 4 ac. 由已知及余弦定理,得 π 4=a2+c2-2accos4.又 a2+c2≥2ac, 故 ac≤ 4 ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2

因此△ABC 面积的最大值为 2+1. 1 1 1 规律方法 在解决三角形问题中, 面积公式 S=2absin C=2bcsin A=2acsin B 最常 用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 学生用书?第 64 页 【训练 3】 (2013· 湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已 知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小;

(2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. 解 (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1, 得 2cos2A+3cos A-2=0, 1 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得 cos A=2或 cos A=-2(舍去).因为 0<A<π, π 所以 A=3. 1 1 3 3 (2)由 S=2 bcsin A=2bc·2 = 4 bc=5 3,得 bc=20. 又 b=5,所以 c=4. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21, 故 a= 21. b c 又由正弦定理,得 sin Bsin C=asin A· asin A bc 20 3 5 = a2 sin2A=21×4=7.

1.在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题时要注意根 据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号,防止出现增解或漏解. 2.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,尤其是其变形应用时可相互转化.如 a2=b2+c2-2bccos A 可以转化为 sin2 A=sin2 B+sin2 C-2sin Bsin Ccos A,利用 这些变形可进行等式的化简与证明.

答题模板 6——解三角形问题 【典例】 (12 分)(2013· 山东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, 7 c,且 a+c=6,b=2,cos B=9. (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. [规范解答] (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,

得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),

7 又 b=2,a+c=6,cos B=9, 所 以 ac = 9 , 解 得 a = 3 , c = 3 ,

(6 分) (2)在△ABC 中, 4 2 sin B= 1-cos2B= 9 , (7 分) 由正弦定理得 sin A= asin B 2 2 b = 3 .

(9 分) 因为 a=c,所以 A 为锐角, 1 所以 cos A= 1-sin2A=3.

(10 分) 10 2 因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B= 27 . (12 分) [反思感悟] (1)在处理三角形中的边角关系时, 一般全部化为角的关系, 或全部化 为边的关系. 题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般 采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题 时,注意角的限制范围. (2)在本题第(2)问中,不会判断角 A 为锐角,易造成求错 cos A,导致 sin(A-B) 的结果出错. 答题模板 第一步:定已知.即梳理已知条件,确定三角形中已知的边与角; 第二步:选定理.即根据已知的边角关系灵活地选用定 理和公式; 第三步:代入求值. 【自主体验】

已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 解 (1)由 c= 3asin C-ccos A 及正弦定理,得 3sin Asin C-cos A· sin C-sin C=0, π? 1 ? 由于 sin C≠0,所以 sin?A-6?=2, ? ? π π 5π π 又 0<A<π,所以-6<A-6< 6 ,故 A=3. 1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsin A= 3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8,解得 b=c=2.

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2013· 绍兴模拟)在△ABC 中,若 a2-c2+b2= 3ab,则 C=( A.30° B.45° C.60° D.120° a2+b2-c2 3ab 3 解析 由 a -c +b = 3ab,得 cos C= 2ab = 2ab = 2 ,所以 C=30° .
2 2 2

).

答案 A 3 2.(2014· 合肥模拟)在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 BC 的长为( 3 A. 2 ). B. 3 C.2 3 D.2

1 1 3 3 解析 S=2×AB· ACsin 60° =2×2× 2 AC= 2 ,所以 AC=1,所以 BC2=AB2 +AC2-2AB· ACcos 60° =3,所以 BC= 3. 答案 B

π π 3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=6,C=4, 则△ABC 的面积为( A.2 3+2 ). C.2 3-2 D. 3-1

B. 3+1

b c 解析 由正弦定理sin B=sin C及已知条件得 c=2 2, 2+ 6 1 2 3 2 又 sin A=sin(B+C)=2× 2 + 2 × 2 = 4 . 2+ 6 1 1 从而 S△ABC=2bcsin A=2×2×2 2× 4 = 3+1. 答案 B 4.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1,b= 3, 则 c=( A.2 3 ). B.2 C. 2 D.1

a b a b 1 3 3 解析 由sin A=sin B,得sin A=sin 2A,所以sin A=2sin Acos A,故 cos A= 2 , π π π 又 A∈(0,π),所以 A=6,B=3,C=2,c= a2+b2= 12+? 3?2=2. 答案 B 5.(2013· 陕西卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C +ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析 由正弦定理及已知条件可知 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2 A,即 sin(B+C) =sin2 A,而 B+C=π-A,所以 sin(B+C)=sin A,所以 sin2 A=sin A,又 0<A π <π,sin A>0,∴sin A=1,即 A=2. 答案 A 二、填空题 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sin B +cos B= 2,则角 A 的大小为________. π? π ? 解析 由题意知,sin B+cos B= 2,所以 2sin?B+4?= 2,所以 B=4,根据 ? ? ).

a b 2 2 1 π 正弦定理可知sin A=sin B,可得sin A= π,所以 sin A=2,又 a<b,故 A=6. sin4 π 答案 6 7.(2014· 惠州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+c2 -b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为________. 解析 由余弦定理,得 a2+c2-b2 3 = cos B ,结合已知等式得 cos B · tan B = 2ac 2 ,∴

3 π 2π sin B= 2 ,∴B=3或 3 . π 2π 答案 3或 3 8.(2013· 烟台一模)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1, 1 b=2,cos C=4,则 sin B 等于________. 1 解析 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=4,即 c=2.由 cos C=4得 sin C= 15 b c bsin C 2 15 15 .由正弦定理 = ,得 sin B= = × = (或者因为 c=2, 4 sin B sin C c 2 4 4 15 所以 b=c=2,即三角形为等腰三角形,所以 sin B=sin C= 4 ). 答案 15 4

三、解答题 1 9.(2014· 宜山质检)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 a=2 c+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 S△ABC= 3,b= 13,求 a+c 的值. 1 解 (1)由正弦定理,得 sin A=2sin C+sin Bcos C, 又因为 A=π-(B+C),所以 sin A=sin(B+C), 1 可得 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin C+sin Bcos C,

1 π 即 cos B=2,又 B∈(0,π),所以 B=3. 1 π (2)因为 S△ABC= 3,所以2acsin3= 3,所以 ac=4, 由余弦定理可知 b2=a2+c2-ac, 所以(a+c)2=b2+3ac=13+12=25,即 a+c=5. 10.(2013· 北京卷)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 3 解 (1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A,所以在△ABC 中,由正弦定理,得sin A 2 6 =sin 2A, 2sin Acos A 2 6 6 所以 sin A = 3 ,故 cos A= 3 . 6 3 (2)由(1)知 cos A= 3 ,所以 sin A= 1-cos2A= 3 . 又因为∠B=2∠A, 1 2 2 所以 cos B=2cos2A-1=3,所以 sin B= 1-cos2B= 3 . 在△ABC 中,sin C=sin(A+B) 5 3 =sin Acos B+cos Asin B= 9 . asin C 所以 c= sin A =5. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 → → 2 2 1.(2014· 温岭中学模拟)在锐角△ABC 中,若 BC=2,sin A= 3 ,则AB· AC的 最大值为( 1 A.3 4 B.5 ). C.1 D.3

1 4 解析 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bc×3=4,由基本不等式可得 4≥3bc,即 → → 1 bc≤3,所以AB· AC=bccos A=3bc≤1. 答案 C 2.(2013· 青岛一中调研)在△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a3+b3=c3,那么△ ABC 的形状为( ).

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上均有可能 解析 由题意可知 c>a,c>b,即角 C 最大, 所以 a3+b3=a· a2+b· b2<ca2+cb2,即 a2+b2-c2 c <ca +cb ,所以 c <a +b .根据余弦定理,得 cos C= 2ab >0,所以 0
3 2 2 2 2 2

π <C<2,即三角形为锐角三角形. 答案 A 二、填空题 1 3.(2013· 浙江卷)在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点.若 sin∠BAM=3, 则 sin∠BAC=________. 解析 如图,令∠BAM=β,∠BAC=α,故|CM|=|AM|sin(α-β), ∵M 为 BC 的中点,∴|BM|=|AM|sin(α-β).在△AMB 中,由正弦定理知,

|AM| |BM| sin B=sin β, |AM|· sin?α-β? |AM| 即 = , sin β ?π ? sin?2-α? ? ? 1 2 2 ∵sin β=3,∴cos β= 3 , 1 ?2 2 ? 1 ? ∴3=cos α· sin α-3cos α? ? 3 ?

2 2 1 = 3 sin αcos α-3cos2α, 整理得 1=2 2sin αcos α-cos2α, 2 2tan α-1 所以 =1, tan2 α+1 6 解得 tan α= 2,故 sin α= 3 . 答案 6 3

三、解答题 4.(2013· 长沙模拟)在△ABC 中,边 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且满足 bcos C=(3a-c)cos B. (1)求 cos B; → → (2)若BC· BA=4,b=4 2,求边 a,c 的值. 解 (1)由正弦定理和 bcos C=(3a-c)cos B, 得 sin Bcos C=(3sin A-sin C)cos B, 化简,得 sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B, 即 sin(B+C)=3sin Acos B, 1 故 sin A=3sin Acos B,所以 cos B=3. → → → → → → (2)因为BC· BA=4,所以BC· BA=|BC|· |BA|· → → cos B=4,所以|BC|· |BA|=12,即 ac=12.① 又因为 cos B= a2+c2-b2 1 =3,整理得,a2+c2=40.② 2ac

2 2 ?a +c =40, ?a=2, ?a=6, 联立①②? 解得? 或? ?ac=12, ?c=6 ?c=2.

学生用书?第 65 页 第7讲 [最新考纲] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问 解三角形应用举例

题.

知 识 梳 理 1.距离的测量 背景 可测元素 a,b,α 图形 目标及解法 求 AB:AB= a2+b2-2abcos α

点均可到达

有一点可到达

b,α,β

AB 求 AB:(1)α+β+B=π;(2)sin β=si

点都不可到达

a,α,β,γ,θ

求 AB:(1)△ACD 中,用正弦定理求 A (2)△BCD 中,用正弦定理求 BC; (3)△ABC 中,用余弦定理求 AB

2.高度的测量 可测元素 图形 目标及解法

背景

可到达

a,α

求 AB:AB=atan_α

不可到达

a,α,β

求 AB:(1)在△ACD 中用正弦定理求 AD; =ADsin_β

3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方时叫 仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图 1).

(2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的 方位角为 α(如图 2). (3)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 辨 析 感 悟 1.测量距离问题 (1)海上有 A,B,C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10n mile,∠BAC=60° ,∠ ABC=75° ,则 B,C 间的距离是 5 6 n mile.

(√) (2)如图 1,为了测量隧道口 AB 的长度,测量时应当测量数据 a,b,γ.

(√)

图1 2.测量高度问题

图2

(3)从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 的关系为 α+β =180° .(×) (4)如图 2,B,C,D 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点的 仰角分别为 β 和 α(α<β),则可以求出 A 点距地面的高度 AB.(√) 3.测量角度问题

(5)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系, π? ? 其范围均是?0,2?. ? ? (×) (6)若点 A 在点 C 的北偏东 30° 方向, 点 B 在点 C 的南偏东 60° 方向, 且 AC=BC, 则点 A 在点 B 北偏西 15° 方向. [感悟· 提升] 1.一个区别 “方位角”与“方向角”的区别:方位角大小的范围是[0,2π),方 (√)

π? ? 向角大小的范围一般是?0,2?. ? ? 2.解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的 关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算 的要求等. 学生用书?第 66 页

考点一

测量距离问题

【例 1】 要测量对岸 A,B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C,D 两点, 并测得∠ACB=75° ,∠BCD=45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° ,求 A,B 之间 的距离.

解 如图所示,在△ACD 中, ∠ACD=120° ,∠CAD=∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45° , ∠BDC=75° ,∠CBD=60° .

3sin 75° 6+ 2 ∴BC= sin 60° = 2 . 在△ABC 中,由余弦定理,得 6+ 2 ? 6+ 2?2 ? -2× 3× AB2=( 3)2+? 2 ×cos 75° ? 2 ? =3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5(km),∴A,B 之间的距离为 5 km. 规律方法 (1)测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题转化 为应用余弦定理求三角形的边长的问题. 然后把求未知的另外边长问题转化为只 有一点不能到达的两点距离测量问题,然后运用正弦定理解决. (2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为 已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解决. 【训练 1】 (2013· 茂名二模) 为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两 个桥位桩 A,B(如图),要测量 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC, 测得 BC=50 m,∠ABC=105° ,∠BCA=45° .就可以计算出 A,B 两点的距离为 ( ).

A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m 25 2 D. 2 m 解析 由正弦定理得 AB BC = , sin∠BCA sin∠CAB

BC· sin∠BCA ∴AB= = sin∠CAB 答案 A

2 50× 2 1 =50 2 (m). 2

考点二

测量高度问题

【例 2】 如图,某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西 60° 的方向以每小时 6 千米的速度步行了 1 分钟以后,在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α 的最大值为 60° . (1)求该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时,走了几分钟; (2)求塔的高 AB.

解 (1)依题意知,在△DBC 中,∠BCD=30° ,∠DBC=180° -∠DBF=180° - 45° =135° , 1 CD=6 000×60=100(米), ∠D=180° -135° -30° =15° , CD BC 由正弦定理得 = , sin∠DBC sin∠D ∴BC= CD· sin∠D 100×sin 15° = sin 135° sin∠DBC 6- 2 4 50? 6- 2? = =50( 3-1)(米). 2 2 2

100× =

AB 在 Rt△ABE 中,tan α=BE. ∵AB 为定长, ∴当 BE 的长最小时,α 取最大值 60° ,这时 BE⊥CD. 当 BE⊥CD 时,在 Rt△BEC 中,

3 EC=BC· cos∠BCE=50( 3-1)× 2 =25(3- 3)(米). 设该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时,走了 t 分钟, 25?3- 3? 3- 3 EC 则 t=6 000×60= 6 000 ×60= 4 (分钟). (2)由(1)知当 α 取得最大值 60° 时,BE⊥CD, 在 Rt△BEC 中,BE=BC· sin∠BCD, ∴AB=BE· tan 60° =BC· sin∠BCD· tan 60° 1 =50( 3-1)×2× 3=25(3- 3)(米). 即所求塔高 AB 为 25(3- 3) 米. 规律方法 (1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念. (2)分清已知和待求, 分析(画出)示意图, 明确在哪个三角形内应用正、 余弦定理. (3)注意竖直线垂直于地面构成直角三角形. 【训练 2】 (2014· 宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观,有个学生想搞清楚门洞拱 顶 D 到其正上方 A 点的距离,他站在地面 C 处,利用皮尺量得 BC=9 米,利用 26 测角仪测得仰角∠ACB=45° , 测得仰角∠BCD 后通过计算得到 sin∠ACD= 26 , 则 AD 的距离为 ( ).

A.2 米

B.2.5 米

C.3 米

D.4 米

解析 设 AD=x,则 BD=9-x,CD= 92+?9-x?2,在△ACD 中应用正弦定理 CD AD 得 = , sin∠DAC sin∠ACD 92+?9-x?2 x 即 = , 2 26 2 26 所以 2[92+(9-x)2]=26x2,即 81+81-18x+x2=13x2,

所以 2x2+3x-27=0, 即(2x+9)(x-3)=0,所以 x=3(米). 答案 C 考点三 测量角度问题

【例 3】 如图,在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向距 A 为( 3-1)海里的 B 处有 一艘走私船, 在 A 处北偏西 75° 方向, 距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3 海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间 (注: 6≈2.449).

学生用书?第 67 页 审题路线 分清已知条件和未知条件?设行驶 t 小时,则 CD,BD 可求?在△ ABC 中,用余弦定理求 BC,用正弦定理求 sin∠ABC?在△BCD 中,用正弦定 理求∠BCD?可推出 BD=BC?再求 t?回到实际问题中去. 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时, 才能最快截获(在 D 点)走私船, 则有 CD =10 3t(海里),BD=10t(海里). 在△ABC 中,∵AB=( 3-1)海里,AC=2 海里,∠BAC=45° +75° =120° ,根 据余弦定理,可得 BC= ? 3-1?2+22-2×2×? 3-1?cos 120° = 6(海里). 根据正弦定理,可得 3 2× 2 ACsin 120° 2 sin∠ABC= = =2. BC 6 ∴∠ABC=45° ,易知 CB 方向与正北方向垂直, 从而∠CBD=90° +30° =120° . 在△BCD 中,根据正弦定理,可得

sin∠BCD=

BDsin∠CBD 10t· sin 120° 1 = =2, CD 10 3t

∴∠BCD=30° ,∠BDC=30° , ∴BD=BC= 6海里, 6 则有 10t= 6,t= 10 ≈0.245 小时=14.7 分钟.故缉私船沿北偏东 60° 方向,需 14.7 分钟才能追上走私船. 规律方法 (1)对于和航行有关的问题,要抓住时间和路程两个关键量,解三角形 时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解. (2)根据示意图,把所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形解不出来, 需要先在其他三角形中求解相关量. 【训练 3】 如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30° ,相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援,则 cos θ 等于( 21 A. 7 21 B. 14 ). 3 21 C. 14 21 D. 28

解析 如图所示,在△ABC 中,AB=40 海里,AC=20 海里,∠BAC=120° ,由 余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos 120° =2 800,故 BC=20 7(海里). AB 21 由正弦定理,得 sin∠ACB=BC· sin∠BAC= 7 . 由∠BAC=120° ,知∠ACB 为锐角, 2 7 故 cos∠ACB= 7 . 故 cos θ=cos(∠ACB+30° )

21 =cos∠ACBcos 30° -sin∠ACBsin 30° = 14 . 答案 B

1.解三角形实际应用问题的一般步骤是:审题——建模(准确地画出图形)—— 求解——检验作答. 2.把生活中的问题化为二维空间解决,即在一个平面上利用三角函数求值. 3.解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正 弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形, 这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时 需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

教你审题 4——破解实际应用中的方向角问题 【典例】如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60° 方向? 的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲 同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向? 追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上? ,此时 到达 C 处. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值.

[审题]

一审条件?:“南偏西 60° ”转化到△ABC 中,即∠BAC=120° ;

二审条件?:“北偏东 α”可得∠BCA=α; 三审条件?:“刚好用两小时追上”指|AC|=20 海里. 解 (1)依题意知,∠BAC=120° ,AB=12 海里,AC=10×2=20(海里),∠BCA =α,在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos 120° =784. 解得 BC=28(海里). BC 所以渔船甲的速度为 2 =14(海里/时). (2)由(1)知 BC=28 海里,AB=12 海里,在△ABC 中, AB BC ∠BCA=α,由正弦定理得sin α=sin 120° . ABsin 120° 即 sin α= = BC 12× 3 2 3 3 28 = 14 .

[反思感悟] 本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系,这也是解三 角形问题在实际应用中的一个易错点, 破解此类问题的关键在于结合图形正确理 解“南偏西”、“北偏东”等概念,把相关条件转化为三角形中的内角和边长, 然后利用正弦定理、余弦定理进行求解. 【自主体验】 一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行, 30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏 东 70° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B,C 两点间的距离是 ( A.10 2海里 C.20 3海里 B.10 3海里 D.20 2海里 ).

解析 如图所示, 易知, 在△ABC 中, AB=20 海里, ∠CAB=30° , ∠ACB=45° , BC AB 根据正弦定理得sin 30° =sin 45° ,解得 BC=10 2(海里).

答案 A

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站北偏东 40° , 灯塔 B 在观察站南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ).

A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 10° D.南偏西 10° 解析

灯塔 A,B 的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80° ,∠CAB=∠CBA=50° , 则 α=60° -50° =10° ,即北偏西 10° . 答案 B 2.在某个位置测得某山峰仰角为 α,对着山峰在水平地面上前进 900 m 后测得 仰角为 2α,继续在水平地面上前进 300 3 m 后,测得山峰的仰角为 4α,则该山 峰的高度为( A.300 m ).

B.450 m D.600 m

C.300 3 m

解析 如图所示,易知,在△ADE 中,∠DAE=2α,∠ADE=180° -4α, AD=300 3 m,由正弦定理,得

900 300 3 3 sin 4α= sin 2α ,解得 cos 2α= 2 , 1 3 则 sin 2α=2,sin 4α= 2 , 3 所以在 Rt△ABC 中山峰的高度 h=300 3sin 4α=300 3× 2 =450(m). 答案 B 3.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两 观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45° ,30° ,在水平面上测得电视塔 与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为 120° ,甲、乙两地相距 500 m,则电视 塔的高度是( A.100 2 m 解析 ). B.400 m C.200 3 m D.500 m

由题意画出示意图,设塔高 AB=h m,在 Rt△ABC 中,由已知得 BC=h m,在 Rt△ABD 中,由已知得 BD= 3h m,在△BCD 中,由余弦定理 BD2=BC2+CD2 -2BC· CDcos∠BCD,得 3h2=h2+5002+h· 500,解得 h=500(m). 答案 D 4.(2014· 广州调研)如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤 的倾斜角为 α,则坡度值 tan α 等于( ).

231 A. 5

5 B.16

231 C. 16

11 D. 5

解析 由题意,可得在△ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且∠α +∠ACB=π.

由余弦定理, 可得 AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos∠ACB, 即 3.52=1.42+2.82 5 231 sin α -2×1.4×2.8×cos(π-α),解得 cos α=16,所以 sin α= 16 ,所以 tan α=cos α 231 = 5 . 答案 A 5.(2013· 哈尔滨模拟)

如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m,50 m,BD 为水平 面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( A.30° B.45° C.60° D.75° 解析 依题意可得 AD=20 10 m,AC=30 5 m,又 CD=50 m,所以在△ACD AC2+AD2-CD2 ?30 5?2+?20 10?2-502 中,由余弦定理,得 cos ∠ CAD= = = 2AC· AD 2×30 5×20 10 6 000 2 = 2 ,又 0° <∠CAD<180° ,所以∠CAD=45° ,所以从顶端 A 看建筑物 6 000 2 CD 的张角为 45° . 答案 B 二、填空题 6.在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75° ,∠CBA=60° , 则 A,C 两点之间的距离为______千米. 解析 由已知条件∠CAB=75° ,∠CBA=60° ,得∠ACB=45° .结合正弦定理, ).

AB AC 2 AC 得 = ,即sin 45° =sin 60° ,解得 AC= 6(千米). sin∠ACB sin∠CBA 答案 7. 6

(2013· 杭州一中测试)如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯 塔 S 在它的北偏东 75° 处,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h. 解析 设航速为 v n mile/h, 1 在△ABS 中,AB=2v,BS=8 2 n mile, ∠BSA=45° , 1 2v 8 2 由正弦定理,得sin 30° =sin 45° , ∴v=32 n mile/h. 答案 32 8.某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45° ,沿倾斜角为 30° 的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处,又测得山顶的仰角为 60° ,则山的高度 BC 为________m.

解析 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E,因为∠DAC=30° ,故∠ADE=150° .于是 ∠ADB=360° -150° -60° =150° .又∠BAD=45° -30° =15° , 故∠ABD=15° ,由正弦定理得 AB= 1 000sin 150° = sin 15° =500( 6+ 2)(m). 所以在 Rt△ABC 中,BC=ABsin 45° =500( 3+1)(m). 答案 500( 3+1) 三、解答题 ADsin∠ADB sin∠ABD

9.

如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测 点 C 与 D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰 角为 θ,求塔高 AB. 解 在△BCD 中,∠CBD=π-α-β, BC CD 由正弦定理得 = , sin∠BDC sin∠CBD 所以 BC= CDsin∠BDC s· sin β = , sin∠CBD sin?α+β? stan θsin β . sin?α+β?

在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB= 10.

(2014· 石家庄模拟)已知岛 A 南偏西 38° 方向,距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私 艇.岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛北偏西 22° 方向行驶,问缉 私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.5 小时能截住该走私船? ? 5 3 3 3? ?参考数据:sin 38° = 14 ,sin 22° = 14 ? ? ?

解 如图,设缉私艇在 C 处截住走私船,D 为岛 A 正南方向上一点,缉私艇的 速度为每小时 x 海里,则 BC=0.5 x,AC=5 海里,依题意,∠BAC=180° -38° -22° =120° ,

由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos 120° , 所以 BC2=49,BC=0.5 x=7,解得 x=14. 3 5× 2 AC· sin∠BAC 5 3 又由正弦定理得 sin∠ABC= = = BC 7 14 , 所以∠ABC=38° ,又∠BAD=38° ,所以 BC∥AD, 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶,恰好用 0.5 小时截住该走私 船. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高 度,某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的高度是 ( ). B.100 m C.120 m D.150 m

A.50 m

解析 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60° ,AC=h,AB =100,BC= 3h,根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos 60° ,即 h2 +50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 答案 A 2.

如图,在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30° ,测得湖中之影的 俯角为 45° ,则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( A.2.7 m C.37.3 m B.17.3 m D.373 m ).

解析 在△ACE 中,

CM-10 CE CM-10 tan 30° = AE= AE .∴AE= tan 30°(m). DE CM+10 在△AED 中,tan 45° = AE = AE , CM+10 ∴AE= tan 45°(m), CM-10 CM+10 ∴ tan 30°= tan 45°, ∴CM= 10? 3+1? =10(2+ 3)≈37.3(m). 3-1

答案 C 二、填空题 3.如图所示,福建省福清石竹山原有一条笔直的山路 BC,现在又新架设了一条 索道 AC.小明在山脚 B 处看索道 AC,此时张角∠ABC=120° ;从 B 处攀登 200 米到达 D 处,回头看索道 AC,此时张角∠ADC=150° ;从 D 处再攀登 300 米到 达 C 处.则石竹山这条索道 AC 长为________米.

解析 在△ABD 中,BD=200 米,∠ABD=120° . 因为∠ADB=30° ,所以∠DAB=30° . BD AD 由正弦定理,得 = , sin∠DAB sin∠ABD 200 AD 所以sin 30° =sin 120° . 所以 AD= 200×sin 120° =200 3(米). sin 30°

在△ADC 中,DC=300 米,∠ADC=150° , 所以 AC2 = AD2 + DC2 - 2AD×DC×cos ∠ ADC = (200 3)2 + 3002 - 2×200 3 ×300×cos 150° =390 000,所以 AC=100 39(米).故石竹山这条索道 AC 长为 100 39米.

答案 100 39

三、解答题

4. (2013· 江苏卷)如图, 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径. 一 种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直 线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出 发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C. 假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min, 山路 AC 长为 1 260 m, 经测量, cos 12 3 A=13,cos C=5. (1)求索道 AB 的长; (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 什么范围内? 12 3 解 (1)在△ABC 中,因为 cos A=13,cos C=5, 5 4 所以 sin A=13,sin C=5. 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C 5 3 12 4 63 =13×5+13×5=65. AB AC 由正弦定理sin C=sin B,得 AC 1 260 4 AB=sin B· sin C= 63 ×5=1 040(m). 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙 距离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得

12 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×13=200(37t2-70t+50), 1 040 因 0≤t≤ 130 ,即 0≤t≤8, 35 故当 t=37(min)时,甲、乙两游客距离最短. BC AC AC 1 260 5 (3)由正弦定理sin A=sin B,得 BC=sin B· sin A= 63 ×13=500(m). 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ v - 50 ≤3,解得 43 ≤v≤ 14 , 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制 ?1 250 625? 在? 43 , 14 ?(单位:m/min)范围内. ? ?

步骤规范练——三角恒等变换及解三角形 (建议用时:90 分钟)

一、选择题 1 sin2 35° -2

1.(2013· 山东师大附中月考)化简cos 10° =( cos 80° 1 A.-2 B.-2 1 sin2 35° -2 C.-1 D.1

).

1-cos 70° 1 1 - - 2 2 2cos 70° 解析 cos 10° = = =-1. cos 80° cos 10° · sin 10° 1 sin 20° 2 答案 C π 3 2.(2014· 潮州二模)在△ABC 中,A=3,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则边 AC 的长为( A.1 B. 3 ). C.2 D. 2

1 1 3 3 解析 由题意知 S△ABC=2×AB×AC×sin A=2×2×AC× 2 = 2 ,∴AC=1. 答案 A ?π ? 3. (2013· 成都五校联考)已知锐角 α 满足 cos 2α=cos?4-α?, 则 sin 2α 等于( ? ? 1 A.2 1 B.-2 2 C. 2 2 D.- 2 ).

π? π ? ? π π? 解析 ∵α∈?0,2?,∴2α∈(0,π),4-α∈?-4,4?. ? ? ? ? π π ?π ? 又 cos 2α=cos?4-α?,2α= -α 或 2α+ -α=0, 4 4 ? ? π π ∴α=12或 α=-4(舍). π 1 ∴sin 2α=sin 6=2,故选 A. 答案 A 3 4.(2014· 中山模拟)已知角 A 为△ABC 的内角,且 sin 2A=-4,则 sin A-cos A =( 7 A. 2 ). 7 B.- 2 1 C.-2 1 D.2

3 解析 ∵A 为△ABC 的内角, 且 sin 2A=2sin Acos A=-4<0,∴sin A>0,cos A <0,∴sin A-cos A>0. 7 又(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=4. 7 ∴sin A-cos A= 2 . 答案 A 5.(2013· 临沂一模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin2 A +sin2 C-sin2 B= 3sin Asin C,则角 B 为( π π 2 5 A.6 B.3 C.3π D.6π 解析 由正弦定理可得 a2+c2-b2= 3ac,所以 cos B= a2+c2-b2 3ac 3 = = 2ac 2ac 2, ).

π 所以 B=6. 答案 A 6.(2013· 湛江二模)若三条线段的长分别为 3,5,7,则用这三条线段( A.能组成直角三角形 C.能组成钝角三角形 B.能组成锐角三角形 D.不能组成三角形 32+52-72 =- 2×3×5 ).

解析 设能构成三角形的最大边为 a=7, 所对角为 A, 则 cos A= 1 2<0, 故 A 为钝角,即构成的三角形为钝角三角形. 答案 C

7.(2013· 安徽卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c =2a,3sin A=5sin B,则角 C=( π 2π 3π 5π A.3 B. 3 C. 4 D. 6 5 解析 由 3sin A=5sin B,得 3a=5b,∴a=3b, 7 代入 b+c=2a 中,得 c=3b.由余弦定理, a2+b2-c2 1 2π 得 cos C= 2ab =-2,∴C= 3 . 答案 B 5 3 8.(2013· 东北三校联考)设 α,β 都是锐角,且 cos α= 5 ,sin(α+β)=5,则 cos β =( 2 5 A. 25 ). 2 5 B. 5 5 2 5 D. 5 或 25 ).

2 5 2 5 C. 25 或 5

解析 α,β 都是锐角, 5 2 5 当 cos α= 5 时,sin α= 5 .

5 1 因为 cos α= 5 <2,所以 α>60° . 3 3 又 sin(α+β)=5< 2 , 所以 α+β<60° 或 α+β>120° . 显然 α+β<60° 不可能,所以 α+β 为钝角. 3 4 又 sin(α+β)=5,因此 cos(α+β)=-5, 所以 cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α 4 5 3 2 5 -4 5+6 5 2 5 =-5× 5 +5× 5 = = 25 . 25 答案 A 9.已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0, a=7,c=6,则 b=( A.10 B.9 C.8 ). D.5

1 解析 化简 23cos2A+cos 2A=0,得 23cos2A+2cos2A-1=0,解得 cos A=5.由 余弦定理,知 a2=b2+c2-2bccos A,代入数据,得 b=5. 答案 D π 10. (2013· 天津卷)在△ABC 中, ∠ABC=4, AB= 2, BC=3, 则 sin∠BAC=( 10 A. 10 10 B. 5 3 10 C. 10 5 D. 5 ).

解析 由余弦定理,得 AC2=BA2+BC2-2BA· π BCcos B=( 2)2+32-2× 2×3cos4=5. ∴AC= 5,由正弦定理 BC AC = ,得 sin∠BAC sin∠ABC

π 2 3×sin 4 3× 2 BC· sin∠ABC 3 10 sin∠BAC= = = = AC 10 . 5 5 答案 C 二、填空题

π? ?π ? 3 ? π 11.(2013· 浙江五校联盟联考)已知 sin?4-x?=4,且 x∈?-2,-4?,则 cos 2x ? ? ? ? 的值为________. ?π ? ?π ? 解析 sin 2x=cos?2-2x?=1-2sin2?4-x? ? ? ? ? 1 ?3? =1-2×?4?2=-8, ? ? π? π? ? π ? ∵x∈?-2,-4?,∴2x∈?-π,-2?. ? ? ? ? ∴cos 2x=- 1-sin2 2x=- 3 7 答案 - 8 12.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长为________. 解析 由△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,可得 B=60° .又在△ABD 中, AB=1,BD=2,由余弦定理可得 AD= AB2+BD2-2AB· BDcos B= 3. 答案 3 3 7 . 8

13.(2013· 济宁期末考试)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 b 2 =1,c= 3,C=3π,则 S△ABC=________. b c 1 解析 因为 c>b,所以 B<C,所以由正弦定理得sin B=sin C,即sin B= 3 2π= sin 3

1 π π 2π π 1 1 2, 即 sin B=2, 所以 B=6, 所以 A=π-6- 3 =6.所以 S△ABC=2bc sin A=2× 3 1 3 ×2= 4 . 答案 3 4

?π ? ?π π? 14.(2014· 天水模拟)f(x)=2sin2?4+x?- 3cos 2x-1,x∈?4,2?,则 f(x)的最小 ? ? ? ? 值为________ . ?π ? 解析 f(x)=2sin2?4+x?- 3cos 2x-1 ? ?

?π ? =1-cos 2?4+x?- 3cos 2x-1 ? ? π? π π ?π ? ? =-cos?2+2x?- 3cos 2x=sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x-3?,因为4≤x≤2,所以 ? ? ? ? π? π? π π 2π 1 ? ? ?2x-3?≤1,所以 1≤2sin?2x-3?≤2,即 1≤f(x)≤2, ≤ 2 x - ≤ ,所以 ≤ sin 6 3 3 2 ? ? ? ? 所以 f(x)的最小值为 1. 答案 1 三、解答题

15.(2013· 新课标全国Ⅰ卷)如图,在△ABC 中,∠ABC=90° ,AB= 3,BC=1, P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° . 1 (1)若 PB=2,求 PA; (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA. 解 (1)由已知得∠PBC=60° ,所以∠PBA=30° . 1 1 7 在△PBA 中,由余弦定理,得 PA2=3+4-2× 3×2cos 30° =4. 7 故 PA= 2 . (2)设∠PBA=α,由已知得 PB=sin α. 3 在△PBA 中,由正弦定理,得sin 150° = 化简得 3cos α=4sin α. 3 3 所以 tan α= 4 ,即 tan∠PBA= 4 . 16.(2013· 江西卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos C+(cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 解 (1)由已知得 sin α , sin?30° -α?

-cos(A+B)+cos Acos B- 3sin Acos B=0, 即有 sin Asin B- 3sin Acos B=0, 因为 sin A≠0,所以 sin B- 3cos B=0, 又 cos B≠0,所以 tan B= 3, π 又 0<B<π,所以 B=3. (2)由余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos B. 1? 1 1 ? 因为 a+c=1,cos B=2,所以 b2=3?a-2?2+4. ? ? 1 1 又 0<a<1,于是有4≤b2<1,即有2≤b<1. ?1 ? 故 b 的取值范围是?2,1?. ? ? 17.(2013· 潍坊一模)已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acos B+ 3bsin A=c. (1)求角 A 的大小; → → (2)若 a=1,AB· AC=3,求 b+c 的值. 解 (1)由 acos B+ 3bsin A=c,得 sin Acos B+ 3sin Bsin A=sin (A+B), 即 3sin Bsin A=cos Asin B,

3 π 所以 tan A= 3 ,故 A=6. → → π (2)由AB· AC=3,得 bccos 6=3,即 bc=2 3,① 又 a=1, π ∴1=b2+c2-2bccos 6,② 由①②可得(b+c)2=7+4 3,所以 b+c=2+ 3. 18.(2013· 重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+ b2+ 2ab=c2. (1)求 C;

3 2 cos?α+A?cos?α+B? 2 (2)设 cos Acos B= 5 , = 5 ,求 tan α 的值. cos2α 解 (1)因为 a2+b2+ 2ab=c2, a2+b2-c2 - 2ab 2 由余弦定理,得 cos C= 2ab = 2ab =- 2 , 3π 故 C= 4 . (4)由题意得 ?sin αsin A-cos αcos A??sin αsin B-cos αcos B? 2 = 2 cos α 5, 2 因此(tan αsin A-cos A)(tan αsinB-cos B)= 5 , 2 tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B= 5 , 2 tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B= 5 .① 3π π 因为 C= 4 ,所以 A+B=4, 2 所以 sin(A+B)= 2 , 因为 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B, 3 2 2 即 5 -sin Asin B= 2 , 3 2 2 2 解得 sin Asin B= 5 - 2 = 10 . 由①得 tan2α-5tan α+4=0, 解得 tan α=1 或 tan α=4. 学生用书?第 68 页

创造并非逻辑推理之结果,逻辑推理只是用来验证已有的创造设想。 ——艾伯特· 爱因斯坦(1879—1955,美国物理学家) 学校要求老师在教育过程中要像艺术家那样,创造性地劳动。首先,老师应该自 己就曾在这样的学校中成长。其次,老师应该有极大的自由去选择教授内容和教 授方法。——爱因斯坦


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