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2013届全国名校高三模拟调研考试(一)文科数学(新课标)

时间:2013-04-03

2013 届全国名校高三模拟调研考试(一) 文科数学(新课标)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.复数

2i ? a 是纯虚数,则实数 a = 1? i
B.-1 C.-2 D. ? 2

A.1

, } 2.定义集合运算 A * B ? { z | z ? xy ? x ? y, x? A y? B ,已知 P ? { x | x ? sin Q ? {1, 2} ,则 P * Q =
A. ??1,1, 2,3,5? B. ??1,0,1, 2? C. ??1,1, 2? D. ?0,1,2,3?

k? , k ? Z }, 2

3.已知向量 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么 | a ? 3b | 等于 A. 7 B. 10 C. 13 D.4

? ?

?

?

4.为得到函数 y ? cos(2 x ?

?
3

) 的图像,只需要将函数 y ? sin 2 x 的图像 5? 个单位 12 5? D.向右平移 个单位 6
B.向右平移

5? 个单位 12 5? C.向左平移 个单位 6
A.向左平移

? x ? 2 y ? 4, ? 5.实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 3x ? 5 y 的最大值为 ? x ? 0, ?
A.12 B.9 C.8 D.3

6. 已知等比数列 ?an ? 中, 各项均为正数, n 项和为 Sn , 4a3 ,a5 ,2a4 成等差数列, a1 ? 1 , 前 且 若 则 S4 = A.7 B.8 C.15 D.16

3 7. 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) , 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且当 x ??0,1? 时,f ( x) ? x ,

则方程 f ( x) ? log4 | x | 的根的个数是
第 1 页 (共 6 页)

A.2

B.4

C.6

D.无数多

8.已知过抛物线 y 2 ? 6 x 焦点的弦长为 12,则此弦所在直线的倾斜角是 A.

? 5? 或 6 6
3? 4

B.

? 3? 或 4 4

C.

? 2? 或 3 3

D.

? 2

9.函数 y ? sin x ? cos x 的其中一条对称轴方程为 A. x ? B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

D. x ?

?
4

10.下面四个命题: ①“直线 a ∥直线 b ”的充分条件是“直线 a 平行于直线 b 所在的平面” ; ②“直线 l ⊥平面 ? ”的充要条件是“直线 l ⊥平面 ? 内无数条直线” ; ③“直线 a , b 不相交”的必要不充分条件是“直线 a , b 为异面直线” ; ④“平面 ? ∥平面 ? ”的必要不充分条件是“平面 ? 内存在不共线三点到平面 ? 的距离相等” . 其中正确命题的序号是 A.①② B.②③

C.③④

D.④

11.已知函数 f ( x) ? ? ? ? log 2 x ,若实数 x0 是方程 f ( x) ? 0 的解,且 0 ? x1 ? x0 ,则 f ( x1 ) 的值为 A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0

?1? ? 3?

x

x2 y 2 12. 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上有一点 P , 1 , 2 为双曲线的两个焦点, F PF2 ? 90? , F F ? 1 a b
且△ F PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的渐近线方程为 1 A. y ? ?2 x B. y ? ?2 2x C. y ? ?2 3x D. y ? ?2 6x

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.命题 p : ?x ??0, ??? , (log3 2) x ? 1 的否定为 14.设 x, y ?R , a ? 1, b ? 1 ,若 a ? b ? 3 , a ? b ? 2 3 ,则
x y



1 1 ? 的最大值为 x y



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15.对于函数 f ( x ) ,在使 f ( x) ? M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 中的最大值称为函数

x2 ? 1 f ( x) 的“下确界” ,则函数 f ( x) ? 的下确界为 ( x ? 1)2



16.已知 O, A, B 是同一平面内不共线的三点,且 OM ? ?OA ? ?OB ,则下列命题正确的 是 ①若 ? ? . (写出所有正确命题的编号)

???? ?

??? ?

??? ?

1 1 , ? ? ,则点 M 是线段 AB 的中点; 2 2

②若 ? ? ?1, ? ? 2 ,则 M , A, B 三点共线;

? ? ③若 ? ? ??? , ? ? ??? ,则点 M 在 ?AOB 的平分线上;
④若 ? ?

1 | OA |

1 | OB |

1 1 , ? ? ,则点 M 是△ OAB 的重心. 3 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 . (本 小题 满分 12 分 )在 △ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所 对的边 分别是 a 、 b 、 c , 且

b2 ? c 2 ? a 2 8 ? S? ABC (其中 S? ABC 为△ ABC 的面积) . 2 3
B?C ? cos 2 A ; 2 (2)若 b ? 2 ,△ ABC 的面积为 3,求 a .
(1)求 sin
2

C

C

E

B E D B

D

F

A

F

A

18. (本小题满分 12 分) 如图 a 所示, 在直角梯形 ABCD 中,AB ? AD ,AD ∥ BC ,F 为 AD 的中点, E 在 BC 上,且 EF ∥ AB .已知 AB ? AD ? CE ? 2 ,沿线段 EF 把四边形 CDEF 折 起如图 b 所示,使平面 CDEF ? 平面 ABEF . (1)求证: AF ? 平面 CDEF ; (2)求三棱锥 C ? ADE 的体积.

第 3 页 (共 6 页)

19. (本小题满分 12 分)某校为了解学生的视力情况,随机 抽查了一部分学生的视力,将调查结果分组,分组区间为

分组

频数 3 6 25

频率

?3.9, 4.2?

0.06 0.12

?3.9, 4.2 , ? 4.2, 4.5? ,??, ?5.1,5.4? ,经过数据处理, ? 4.2, 4.5? ?
得到如下频率分布表: (1)求频率分布中未知量 n, x, y , z 的值; (2)从样本中视力在 ? 3.9, 4.2? 和 ? 5.1,5.4? 的所有同学中随 机抽取两人,求两人视力差的绝对值低于 0.5 的概率.

? 4.5, 4.8? ? 4.8,5.1? ?5.1,5.4?
合计

x
z
0.04

y
2

n

1.00

20. (本小题满分 12 分)椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(0, 2) ,离心率 a 2 b2

e?

6 . 3

(1)求椭圆的方程; (2)直线 l : y ? kx ? 2(k ? 0) 与椭圆相交于不同的两点 M , N 满足 MP ? PN , AP ? MN ? 0 , 求k . 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x .
2

????

??? ?

??? ???? ? ?

(1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)若 g ( x ) ? f ( x ) ?

2 在 ?1, ?? ? 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围. x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请写清题号. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何选讲】 A ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H , 如图,已知△

?B ? 60? , F 在 AC 上,且 AE ? AF .
(1)证明: B, D, H , E 四点共圆; (2)证明: CE 平分 ?CEF .
第 4 页 (共 6 页) B

E H

F

D

C

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 l 的参数方程为 ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 ( t 为参数) ,在极坐标系(与直角 ? y ? 5 ? 2 t, ? ? 2
坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为

? ? 2 5 sin ? .
(1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ,若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求 | PA | ? | PB | .

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| , g ( x) ?| x ? 4 | . (1)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)不等式 f ( x) ? g ( x) ? m ? 1的解集为 R ,求实数 m 的取值范围.

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数 学 试 题 参 考 答 案
一、选择题,本题考查基础知识,基本概念和基本运算能力 题号 答案 二、填空题.本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13. 14. 15. 三、解答题 17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

16.

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