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人教版-简单的线性规划问题(一)_图文

时间:2018-05-21

例 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品, 每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件 乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件 厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算, 该厂所有可能的日生产安排是什么?
把有关数据列表如下: A配件 甲产品/每件 乙产品/每件 日生产满足

B配件

耗时(h)

4 0
≤16

0 4
≤12

1 2
≤8

解:设甲、乙两种产品分别生产x、y件,得
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

且x, y ? ?

画出上述不等式组所表示的平面区域,如图

思考:若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产 品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?

利润:z ? 2 x ? 3 y
作直线l: 2x ? 3 y ? 0

2 z ? y ?? x? 3 3

z 平移直线 l ,当直线 l经过点 A时, ? 取最大值, ? z取最大值 3

? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

?x ? 4 联立? 解得x ? 4, y ? 2 ?x ? 2 y - 8 ? 0

y
4 2
y?3

?点A的坐标为( 4,2)

? ?max ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ? 14
答:生产甲产品4件、乙产品2件时利润 最大,最大利润为14万元。

A

o

2

4

6

x ? 2y ? 8 ? 0

8

x

x?4
2x ? 3 y ? 0

线性规划问题

线性目标函数

线性约束条件
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

问题:求z ? 2 x ? 3 y的最大值
可行解 满足约 束条件 的解
y?3
A

y
4

可行域 所有可行 解组成的 集合

2

最优解
2 4 6

o

x?4
2x ? 3 y ? 0

x ? 2 y ? 取得最值的 8?0

8

x使目标函数
可行解

1、设元,写出线性约束条件和线性目标函数
2、画出可行域,找到最优解,求出最大(小)值 3、还原实际问题

1、画:画出线性约束条件所表示的可行域 2、作:作出目标函数经过原点的直线 3、移:平移直线确定最优解(点) 4、求:求出目标函数的最大值或最小值

求z ? 2x ? y的最大值和最小值
解:画出可行域,如图

? z ? 2 x ? y ? y ? ?2 x ? z
作直线l : 2 x ? y ? 0
平移直线l ,当直线l经过点A时,z取最大值
?x ? y ? 5 联立? , 解得x ? 3, y ? 2, ? x ? 3 y ? ?3 ?点A的坐标为( 3, 2) ? ? max ? 2 ? 3 ? 2 ? 8
4 当直线l过点B(1, )时,z取最小值 3 4 10 ? z min ? 2 ? 1 ? ? 3 3

?x ? y ? 5 ? ? x ? 3 y ? ?3 ?x ? 1 ?

y
5 4 3 2 1 C A
x-3y+3=0

l

B

-3 -2 -1 0

1 2 3 4 5 6 x=1

7

x

x+y-5=0

求z ? 2x ? y的最大值和最小值

y
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 C

l

?x ? y ? 5 ? ? x ? 3 y ? ?3 ?x ? 1 ?

A
x-3y+3=0

B 1 2 3 4 5 6 x=1 7

x

x+y-5=0

你能设计一个目标函数,使得 z 取最 大值或最小值时最优解有无穷多个?

?x ? y ? 5 ? ? x ? 3 y ? ?3 ?x ? 1 ?

5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0

C

A
x-3y+3=0

B 1 2 3 4 5 6 x=1 7

x

x+y-5=0

1、线性规划问题的一些概念: 线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解 2、用图解法解决简单的线性规划问题:画,作,移,求 应用题:列表,设元,列出约束条件,写出目标函数, 画出可行域,找到最优解,求出最值,还原实际问题 (注意:实际意义的约束) 3、求线性目标函数最值的关键:几何意义
A z x ? ( AB ? 0) B B z 当B ? 0时,纵截距 取最大值时,z取最大值 B z 当B ? 0时,纵截距 取最小值时,z取最大值 B z ? Ax ? By ? y ? -

4、线性规划问题的最优解:可行域的顶点、可行域的边界

课本 91页 练习1.(1)

求z ? 2x ? y的最大值和最小值
解:画出可行域,如图

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?
y
2

? z ? 2 x ? y ? y ? ?2 x ? z
作直线

l : 2x ? y ? 0

平移直线 l ,当直线 l 过点C时,目标函数取最大值

?x ? y -1 ? 0 联立? ? y ? ?1 解得x ? 2, y ? -1 , ?点C的坐标为( 2, -1 ) ? ? max ? 2 ? 2 ? (?1) ? 3
-1

y?x?0
A

1

o
-1

1

2

x
C

y ? ?1 B

当直线l过点B(? 1,?1 )时,目标函数取最小 值 ? zmin ? 2 ? (?1) ? (?1) ? ?3

x ? y ?1 ? 0

2x ? y ? 0

问:各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少? 解:设需截第一种钢板 x张,第二种钢板 y张,共需截这两张钢板 z张,则目 z ? x? y 标函数为
?2 x ? y ? 15 ?x ? 2 y ? 1 ? ? ? x ? 3 y ? 27 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

画出可行域,如图 ? z ? x ? y ? y ? ?x ? z
当直线z ? x ? y经过可行域上点 M时,截距z最小
? x ? 3 y ? 27 18 39 解方程组? 得点M的坐标为( , ) 5 5 ?2 x ? y ? 15

y 18 16

14 12 10 8
6 4 2 0

B(3,9)
M

C(4,8)
x ? 3 y ? 27

18 39 ? x, y ? N ?点M( , )不是最优整数解 5 5

经调整得最优解 B(3, 9)和C(4, 8),得zmin ? 12

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
2 x ? y ? 15

x

答:第一种钢板截3张,第二种钢板截9张; 第一种钢板截4张,第二种钢板截8张。 两种截法都最少要两种钢板12张。

x ? 2 y ? 18

y 18 16 14 12 10
M

B(3,9)
M

8
6 4 2 0 2 4

C(4,8)

x ? 3 y ? 27 ? 0
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
x ? y ? 12 2 x ? y ? 15 ? 0 x ? 2 y ? 18 ? 0

26 28

x

7 ? x ? y ? ? 2 ? 1、已知x, y满足约束条件? x ? 0 且x, y为整数,则z ? x ? y的最大值最小值分别为 ?y ? 0 ? ?

y
5 4 B 3 2 1

A -3 -2 -1 0 C 1 2 3 4 5 6
x? y ?0
x? y? 7 ?0 2

7 8 9

x

? x ? y ? ?1 y ? 2、已知x, y满足约束条件? x ? y ? 5 ,求z ? 的最大值和最小值。 x ? 3 ?x ? 0 ?

把z看作常数时,它表示可 行域内的点( x, y)与点( 3,0)的连线的斜率

y
5 x ? y ?1 ? 0 4 A 3 2 1C -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x ? y ?5 ? 0

B

x

? x ? y ? ?1 ? 3、已知x, y满足约束条件? x ? y ? 5 ,求z ? x 2 ? y 2的最大值和最小值。 ?x ? 0 ?

把z看作常数时,它表示可 行域内的点( x, y)到点( 0,0)的距离的平方

y
5 x ? y ?1 ? 0 4 A 3 2 1C -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x ? y ?5 ? 0

B

x

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 4、若x, y满足约束条件?2 x ? y ? 0 ,则点P(2 x ? y, x ? y )表示区域的面积为 ?x ? 1 ?
提示:变量代换

?y ? 0 ? 5、若x, y满足约束条件? x ? y ? 0 ,求z ? xy的最大值。 ?2 x ? y ? 2 ?
提示:根据可行域可知 ,z ? xy表示可行域中的点到两 坐标轴距离的乘积, 即过该点向两坐标轴作 垂线与两坐标轴所围成 的矩形的面积。


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