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【答案】几何概型练习题

时间:2015-03-16

几何概型练习题答案 练习 1 答案 1.解析:设事件 M 为“劣弧 的长度小于 1”,则满足事件 M 的点 B 可以在定点 A 的两侧与定点 A 构成的弧长小于 1 的弧上随机取一点,由几何概型的概率公式 2 得:P(M)=3. 2 答案:3 600 S 2. 解析:设所求的面积为 S,由题意得1000=5× 12,∴S=36. 答案:36 1 4 3 8× 3πa π 3.解析:P= a3 =6. π 答案:6 4.解析:由题意得 A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3},由几何概型知:在集合 A 中 1 任取一个元素 x,则 x∈A∩B 的概率为 P=6. 1 答案:6 2 5.答案:5 6.解析:连结圆心 O 与 M 点,作弦 MN 使∠MON=90° ,这 样的点有两个,分别记为 N1,N2,仅当点 N 在不包含点 M 的 半圆弧上取值时,满足 MN> 2R,此时∠N1ON2=180° ,故 180° 1 所求的概率为360° =2. 1 答案:2 7.解析:如图,区域 Ω 表示的平面区域为△AOB 边界 及其内部的部分,区域 E 表示的平面区域为△COD 边 界及其内部的部分,所以点 P 落入区域 E 的概率为 1 × 2× 4 S△COD 2 2 = = . 1 9 S△AOB × 6× 6 2 2 答案:9 8.解析:f(1)=-1+a-b>0,即 a-b>1,如图: 9 2 S△ABC 9 9 A(1,0),B(4,0),C(4,3),S△ABC=2,P= =4× = 4 32. S矩

9 答案:32 3 1 9.解析:f′(x)=2x2+a,故 f(x)在 x∈[-1,1]上单调递增,又因为函数 f(x)=2x3+ 1 1 ax-b 在[-1,1]上有且仅有一个零点,即有 f(-1)· f(1)<0 成立,即(-2-a-b)(2+

?0≤b≤1 ?1 1 1 a-b)<0, 则(2+a+b)(2+a-b)>0, 可化为? +a-b>0 2 ? ?1 2+a+b>0

0≤a≤1

?0≤b≤1 ?1 或? +a-b<0, 2 ? ?1 2+a+b<0

0≤a≤1

由线性规划知识在平面直角坐标系 aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域, 1 再由几何概型可以知道,函数 f(x)=2x3+ax-b 在[-1,1]上有且仅有一个零点的 概率为可行域的面积除以直线 a=0,a=1,b=0,b=1 围成的正方形的面积,计 7 算可得面积之比为8. 7 答案:8 10.解:(1)设集合 A 中的点(x,y)∈B 为事件 M,区域 A 的面积为 S1=36,区域 B 的面积为 S2=18, S2 18 1 ∴P(M)=S =36=2. 1 (2)设点(x,y)在区域 B 为事件 N,甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x,y)的个数 21 7 为 36 个,其中在区域 B 中的点(x,y)有 21 个,故 P(N)=36=12. 11. 解: (1)因为 a, b∈N,(a, b)可取(0,1),(0,2),(0,3), (1,1),(1,2),(1,3), (2,1), (2,2),(2,3)共 9 组. 令函数 f(x)=ax+b· 2x-1,x∈[-1,0], 则 f′(x)=a+bln2· 2x. 因为 a∈[0,2],b∈[1,3],所以 f′(x)>0, 即 f(x)在[-1,0]上是单调递增函数. b f(x)在[-1,0]上的最小值为-a+2-1. b 要使 A∩B≠?,只需-a+2-1<0, 即 2a-b+2>0. 所以(a,b)只能取(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)7 组. 7 所以 A∩B≠?的概率为9. (2)因为 a∈[0,2],b∈[1,3], 所以(a,b)对应的区域为边长为 2 的正方形(如图),面积 为 4. 由(1)可知,要使 A∩B=?,

b 只需 f(x)min=-a+2-1≥0?2a-b+2≤0, 所以满足 A∩B=?的(a, b)对应的区域是 如图阴影部分. 1 4 1 1 1 1 所以 S 阴影=2× 1× 2=4,所以 A∩B=?的概率为 P=4=16. 12. 解:设第一段的长度为 x,第二段的长度为 y, 第三段的长度为 1-x-y, 则基本事件组所对应的几何区域可表示为 Ω={(x,y)|0<x<1,0<y<1,0<x+y< 1 1},此区域面积为2. 1 事件“三段的长度都不超过 a(3≤a≤1)”所对应的几何区域可表示为 A={(x,y)|(x, y)∈Ω,x<a,y<a,1-x-y<a}. 1 1 即图中六边形区域,此区域面积:当3≤a≤2时,为(3a- 1 1)2/2,此时事件“三段的长度都不超过 a( ≤a≤1)”的概率 3 2 (3a-1) /2 为 P= 1/2 =(3a-1)2; 2 1 1 3(1-a) 当2≤a≤1 时, 为2- .此时事件“三段的长度都不超 2 1 过 a(3≤a≤1)”的概率为 P=1-3(1-a)2.

练习 2 答案: 1 3 3 5 1 1 a?r 1. ;2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. ; 5 16 4 9 8 3 a 25 3? 8. 1;9. ;10. 0.875; 72 16 11.解:由已知可得,海豚的活动范围在 26× 16 ㎡的区域外, 26 ?16 ? 0.308 . 所以海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率为 P ? 1 ? 30 ? 20


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