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人教版高中数学选修2-2-1椭圆及其标准方程 (2)ppt课件_图文

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2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 【课标要求】 1. 了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,椭圆标准方程 的推导与化简过程. 2. 掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 【核心扫描】 1. 利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程.(重点) 2. 会求简单的与椭圆相关的轨迹问题.(难点) 自学导引 1. 椭圆的定义 距离之和等于常数(大于 |F1F2|) 平面内与两个定点F1、F2的__________________________ 的点的轨迹叫做椭 焦点 圆.这两个定点叫做椭圆的_____,_______________叫做椭圆的焦距. 两焦点间的距离 想一想 :在椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|” 的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么? 提示 当距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹就是线段F1F2;当距离之和小于 |F1F2|时,动点的轨迹不存在. 2. 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 _________ (a> b>0) ________ ( -c,0),(c,0) _______________ 焦点在y轴上 __________ ( a>b>0) ________ (0 ,-c),(0,c) ______________ 标准方程 焦点坐标 a,b,c 的关系 2-b2 c2=a ______ 试一试:已知椭圆的标准方程中a=5,b=4,则椭圆的标准方程是什么? x2 y2 提示 当焦点在 x 轴上时,其标准方程为 + = 1,当焦点 25 16 y2 x2 在 y 轴上时,其标准方程为 + = 1. 25 16 名师点睛 1. 椭圆的定义的应用 (1)应用椭圆的定义和方程,把几何问题转化为代数问题,再结合代数知识解 题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密,因此,涉及线段的问题常 利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理. (2)椭圆的定义式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),在解题中经常将|PF1|· |PF2|看 成一个整体或者配方等灵活运用. 2. 椭圆标准方程的特点 (1)a、b、c三个基本量满足a2=b2+c2且a>b>0,其中2a表 示椭圆上的点到两焦点的距离之和,可借助如图所示的 几何特征理解并记忆. (2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小,即看 x2,y2的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴 上.较大的分母是a2,较小的分母是b2. 3. 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法,即根据椭圆的定义,判断出轨迹是椭圆,然后写出其方程. (2)待定系数法,即设出椭圆的标准方程,再依据条件确定a2、b2的值,可归纳为 “先定型,再定量”,其一般步骤是: ①定类型:根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上,还是两种情况都有可能,并 设椭圆方程为 x2 y2 y2 x2 + =1(a>b>0)或 2+ 2= 1(a>b>0); a2 b2 a b ②确定未知量:根据已知条件列出关于a、b、c的方程组,解方程组,可得a、b 的值,然后代入所设方程即可. 题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程 【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和 是10; (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); (3)经过点( 6 2 2 , 3)和点( ,1). 3 3 [思路探索] 对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求解,但要注意焦点位 置.对于(3)由于题中条件不能确定椭圆焦点在哪个坐标轴上,所以应分类讨论 求解,为了避免讨论,还可以设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)然 后代入已知点求出A,B. 解 (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上, x2 x2 ∴设它的标准方程为 2+ 2= 1(a>b>0). a b ∵ 2a= 10,∴ a= 5, 又∵ c= 4,∴ b2= a2- c2= 52- 42= 9. x2 x2 ∴所求椭圆的标准方程为 + = 1. 25 9 (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为 2+ 2= 1(a>b>0). a b ∵椭圆经过点 (0, 2)和 (1, 0), 0 ?4 2 ?a2+b2= 1 ? ?a = 4, ∴? ?? 2 1 ? ?b = 1, ?0 + = 1 ?a2 b2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + x2= 1. 4 (3)法一 ①当椭圆的焦点在 x 轴上时,设椭圆的方程为 x2 y2 + = 1(a>b>0). a2 b2 6 2 2 ∵点 ( , 3)和点 ( , 1)在椭圆上, 3 3 ? ?( 6)2 2 ( 3 ) 3 ? + = 1, ? a2 b2 ∴? ? 2 2 2 ?( 3 ) 12 + 2= 1. ? ? a2 b 2 ? ?a = 1, ∴? 2 而 ? ?b = 9. a>b>0. ∴ a2= 1, b2= 9 不合题意, 即焦点在 x 轴上的椭圆的方程不存在. ②当椭圆的焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 y2 x2 + = 1(a>b>0). a2 b2 6 2 2 ∵点 ( , 3)和点 ( , 1)在椭圆上, 3 3 ? 6 2 ? 2 ( ) ( 3 ) 3 ? + = 1, ?a2= 9, ? a2 b2 ? ∴? ∴? 2 ? 2 2 2 ?b = 1. ? ?12 ( 3 ) = 1. ? ?a2+ b2 y2 ∴所求椭圆的方程为 + x2= 1. 9 法二 设椭圆的方程为 mx2+ ny2= 1(m>0, n>0, m≠ n). 6 2 2 ∵点 ( , 3)和点 ( , 1)都在椭圆上, 3 3 ? 6 2 ?2m 2 ( 3) = 1, ? + 3n= 1, ?m·( 3 ) + n·

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