nbhkdz.com冰点文库

初高中数学竞赛平面几何中定理

时间:2017-07-17


初中数学竞赛平面几何中几个重要定理
定理 1 正弦定理
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
BC a a ? ? sin A? ? sin A ,即 ? 2 R ; 同理可得 BA? 2 R sin A

?ABC 中,设外接圆半径为 R ,则
证明:如图 1-1,图 1-2

过 B 作直径 BA? ,则 ?A? ? ?A, ?BCA? ? 90? ,故

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 当 ? A 为钝角时,可考虑其补角 ? ? A . 当 ? A 为直角时, sin A ? 1 ,故无论哪种情况正弦定理成立。

定理 2 余弦定理 ?ABC 中,有关系 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
有时也用它的等价形式

a ? b cos C ? c cos B b ? a cos C ? c cos A c ? a cos B ? b cos A

定理 3

梅涅(Menelaus)劳斯定理(梅氏线)
AF BD CE ? ? ? 1. FB DC EA

直线 DEF 截 ?ABC 的边 BC , CA, AB 或其延长线于 D, E, F . 则

定理 4 塞瓦定理(Ceva) (塞瓦点)
设 O 是 ?ABC 内任意一点, AD, BE , CF 分别交对边于 D, E, F 则

BD CE AF ? ? ?1 DC EA FB

定理 5 塞瓦定理逆定理
在 ?ABC 三边所在直线 BC, CA. AB 上各取一点 D, E, F ,若

BD CE AF ? ? ? 1 则 AD, BE , CF 平行或共点。: DC EA FB

定理 6 斯特瓦尔特定理
2 在 ?ABC 中,若 D 是 BC 上一点,且 BD ? p, DC ? q, AB ? c, AC ? b ,则 AD ?

b2 p ? c 2 q ? pq p?q

1/3

定理 7 托勒密定理
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆 AB ? CD ? BC ? AD ? AC ? BD 的充要条件是 A, B, C , D 四点共圆。

定理 8 西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上

?ABC 的三边 BC, CA. AB 上有点 P, Q, R ,则 AP, BQ, CR 共点的充要条件是

BP CQ AR ? ? ? 1。 PC QA RB

数学竞赛中几个重要定理 1、 梅涅劳斯定理:如果在△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 D、
BD CE AF ? ? E、F 且 D、E、F 三点共线,则 DC EA FB =1

2、 梅涅劳斯定理的逆定理:如果在△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上
BD CE AF ? ? 有点 D、E、F,且满足 DC EA FB =1,则 D、E、F 三点共线。

3、 塞瓦定理:设 O 是△ABC 内任意一点,AO、BO、CO 分别交对边于 N、P、
AM BN CP ? ? ?1 M,则 MB NC PA

4、 塞瓦定理的逆定理:设 M、N、P 分别在△ABC 的
AM BN CP ? ? ?1 边 AB、BC、CA 上,且满足 MB NC PA ,则 AN、BP、CM 相交于一点。

5、 广勾股定理的两个推论: 推论 1:平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。 推论 2:设△ABC 三边长分别为 a、b、c,对应边上中线长分别为 ma、mb、mc 1 1 1 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 2a 2 ? 2c 2 ? b 2 2a 2 ? 2b 2 ? c 2 则:ma= 2 ;mb= 2 ;mc= 2 6、 三角形内、外角平分线定理:

BD AB ? AC 内角平分线定理:如图:如果∠1=∠2,则有 DC
2/3

外角平分线定理:如图,AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交 BC 的延长线与 D,

BD AB ? AC 则有 DC

7、 托勒密定理:四边形 ABCD 是圆内接四边形,则有 AB·CD+AD·BC=AC·BD

8、 三角形位似心定理:如图,若△ABC 与△DEF 位似,则通过对应点的三直线 AD、BE、CF 共点于 P
a

9、 正弦定理、在△ABC 中有 sin A sin B sinC 余弦定理:a、b、c 为△ABC 的边,则有: a2=b2+c2-2bc·cosA; b2=a2+c2-2ac·cosB;

?

b

?

c

? 2R

(R 为△ABC 外接圆半径) c2=a2+b2-2ab·cosC;

10、西姆松定理:点 P 是△ABC 外接圆周上任意一点,PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,D、E、F 为垂足,则 D、E、F 三 点共线,此直线称为西姆松线。 11、欧拉定理:△ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 R,内切圆圆心为 I,半径为 r,记 OI=d,则有:d2=R2-2Rr. 12、 巴斯加线定理:圆内接六边形 ABCDEF(不论其六顶点排列次序如何) ,其三组对边 AB 与 DE、BC 与 EF、CD 与 FA 的交点 P、Q、R 共线。

3/3


初高中数学竞赛平面几何中定理.doc

初高中数学竞赛平面几何中定理_学科竞赛_高中教育_教育专区。初高中数学竞赛平面几

高中数学竞赛平面几何定理.doc

高中数学竞赛平面几何定理_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛专题讲座 ...(Brahmagupta)定理: 在圆内接四边形 ABCD 中,AC⊥BD,自对角 线的交点 P 向...

高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理.doc

高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理 - 平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1.塞瓦定理及其证明 定理:在 ? ABC 内一点 P,该点与 ? ABC 的三...

高中数学竞赛平面几何定理证明大全.doc

高中数学竞赛平面几何定理证明大全 - Gerrald 加油 Gerrald 加油 Gerrald 加油 坚持住 坚持住 坚持住 莫利定理:将任意三角形的各角三等分,则每两个角的相邻三等分...

高中数学竞赛平面几何定理证明大全.doc

高中数学竞赛平面几何定理证明大全_数学_高中教育_教育专区。高中数学竞赛平面几何定理证明大全,数学竞赛平面几何定理,高中数学竞赛平面几何怎么学,数学竞赛平面几何100题...

高中数学竞赛平面几何基本定理.doc

高中数学竞赛平面几何基本定理 - (高中)平面几何基础知识(基本定理、基本性质) 1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理) (广义勾股定理)(1)锐角对边的平方,等于其他两边之...

初高中数学竞赛平面几何中定理..pdf

初高中数学竞赛平面几何中定理. - 初中数学竞赛平面几何中几个重要定理 定理 1

全国高中数学竞赛中的4大-平面几何名定理.doc

全国高中数学竞赛中的4大-平面几何定理 - 4 大数学竞赛平面几何定理 四个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC 的三边 BC、CA、AB 或其...

高中数学竞赛平面几何基本定理.doc

高中数学竞赛平面几何基本定理 - (高中)平面几何基础知识(基本定理、基本性质) 1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理) (广义勾股定理)(1)锐角对边的平方,等于其他两边之...

高中数学竞赛平面几何基本定理.doc

高中数学竞赛平面几何基本定理 - 平面几何基础知识(基本定理、基本性质) 1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理) (广义勾股定理)(1)锐角对边的平方,等于其他两边之平方和,...

免费!!!高中数学竞赛平面几何定理证明大全.doc

免费!!!高中数学竞赛平面几何定理证明大全。Gerrald 加油 坚持住 Gerrald 加油 Gerrald 加油 Gerrald 加油 坚持住 坚持住 坚持住 莫利定理:将任意三角形的各角三...

高中数学竞赛平面几何定理.doc

高中数学竞赛平面几何定理_高一数学_数学_高中教育_教育专区。总结得算比较全面了 高中数学竞赛专题讲座 平面几何基础知识(基本定理、基本性质) 1. 勾股定理(毕达哥...

高中数学竞赛 平面几何的几个重要的定理_图文.pdf

学科竞赛| 平面几何| 数学竞赛|高中数学竞赛 平面几何的几个重要的定理_学科竞

初中数学竞赛平面几何中几个重要定理.doc

初中数学竞赛平面几何中几个重要定理 - 初中数学竞赛平面几何中几个重要定理 初中数学竞赛平面几何中几个重要定理 定理 1 正弦定理 ?ABC 中,设外接圆半径为 R ,...

高中数学联赛平面几何定理.doc

高中数学联赛平面几何定理_数学_高中教育_教育专区。高中数学联赛平面几何常用基本结论:鸡爪定理,托勒密定理,西姆松线,蝴蝶定理,九点圆定理,三弦定理。 ...

初中数学竞赛平面几何中几个重要定理.doc

初中数学竞赛平面几何中几个重要定理 - 智浪教育--普惠英才文库 初中数学竞赛平面几何中几个重要定理 定理 1 正弦定理 a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin...

自主招生高中数学竞赛平面几何基本定理.doc

自主招生高中数学竞赛平面几何基本定理 - (高中)平面几何基础知识(基本定理、基本性质) 1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理) (广义勾股定理)(1)锐角对边的平方,等于...

高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理托勒密定理.doc

高中数学竞赛 平面几何的几个重要定理托勒密定理 - 托勒密定理:圆内接四边形

人教版高中数学竞赛讲座:平面几何四个重要定理.doc

人教版高中数学竞赛讲座:平面几何四个重要定理 - 竞赛专题讲座 06 -平面几何四个重要定理 四个重要定理: 梅涅劳斯(Menelaus)定理(梅氏线) △ABC 的三边 BC、CA...

初中平面几何重要定理汇总.doc

初中平面几何重要定理汇总 1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)(直角三角形的两直角边...初中数学竞赛平面几何中... 2页 1下载券 初中阶段几何公式定理汇... 4...