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高中数学北师大版必修五课件:1.3.3.2.2-数列求和习题课ppt讲练课件_图文

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第一章 数 列 第 2 课时 数列求和习题课 分组转化法求和 已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3= 9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和. 【解】 b3 9 (1)等比数列{bn}的公比 q= = =3, b2 3 b2 所以 b1= q =1,b4=b3q=27. 设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27, 所以 1+13d=27,即 d=2. 所以 an=2n-1(n=1,2,3,…). (2)由第一问知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1 n n(1+2n-1) 1-3n 3 -1 2 = + =n + . 2 2 1-3 如果一个数列的通项公式可写成 cn=an±bn 的形式, 而数列{an}, {bn}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列,那么 可采用分组转化法求和. 1.(1)Sn = 3 + 33 + 333 + … + ________. 1 1 1 (2)已知数列{cn}:1 ,2 ,3 ,…,试求{cn}的前 n 项和. 2 4 8 = 解:(1)数列 3,33,333,…, 1 n an= (10 -1). 3 的通项公式 1 1 2 1 n 所以 Sn= (10-1)+ (10 -1)+…+ (10 -1) 3 3 3 n 10 ( 1 - 10 ) n 1 n 1 2 n = (10+10 +…+10 )- = × - 3 3 3 3 1-10 10 n n 10 n n = (10 -1)- ,故填 (10 -1)- . 27 3 27 3 ? ?1?n? 1 1 1 (2)令{cn}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=1 +2 +3 +…+?n+?2? ? 2 4 8 ? ? ? ? ?1?n? ?1 1 1 =(1+2+3+…+n)+? + + +…+?2? ? ? ? ? ?2 4 8 1? ?1?n? ?1-? ? ? ?1?n n(n+1) 2? ?2? ? n(n+1) = + = +1-?2? . 2 1 2 ? ? 1- 2 ?1?n n2+n 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn= +1-?2? . 2 ? ? 裂项相消法求和 设数列{an}满足 a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通项公式; ? ? an ? ? ? (2)求数列 2n+1?的前 ? ? ? ? n 项和. 【解】 (1)因为 a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当 n≥2 时, a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1). 两式相减得(2n-1)an=2, 2 所以 an= (n≥2). 2n-1 又由题设可得 a1=2, 2 从而{an}的通项公式为 an= (n∈N+). 2n-1 an (2)记{ }的前 n 项和为 Sn. 2n+1 an 2 1 1 由(1)知 = = - . 2n+1 (2n+1)(2n-1) 2n-1 2n+1 1 1 1 1 1 1 2n 则 Sn= - + - +…+ - = . 1 3 3 5 2n-1 2n+1 2n+1 对于通项公式是分式的一类数列,在求和时常用“裂项 法”.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消 去项的规律, 即消去哪些项, 保留哪些项. 常见的拆项公式有: 1 ? 1 1? ?1 ? - (1) =k· . ? ? n n + k n(n+k) ? ? (2)若{an}为等差数列,公差为 d, 1 ? 1 1? ?1 则 =d?a -a ? . ? + an·an+1 ? n n 1? 1 (3) = n+1- n. n+1+ n 2.等差数列{an}的各项均为正数, a1=3, 前n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且 S2b2=64,S3b3=960. (1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求 + +…+S . S1 S2 n 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q, 则 d 为正数,an=3+(n-1)d,bn=qn-1. ? ?S2b2=(6+d)q=64, 根据题意,得? 2 ? S b =( 9 + 3 d ) q =960, ? 3 3 6 ? d=- , ? 5 ?d=2, ? 解得? 或? ? ? q= 8 ?q=40. ? 3 因为 d 为正数, 6 ? ?d=-5, 所以? 不符合题意,舍去. 40 ?q= ? 3 所以 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n 1. - n[3+(2n+1)] (2)Sn= =n(n+2). 2 1 1 1 1 1 1 1 1 + +…+S = + + +…+ = (1- S1 S2 1×3 2×4 3×5 n(n+2) 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 + - + - +…+ - )= (1+ - - )= - n n+2 2 3 2 4 3 5 2 n+1 n+2 4 2n+3 . 2(n+1)(n+2) 错位相减法求和 已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2=6, a1a2=a3. (1)求数列{an}的通项公式; (2){bn}为各项非零的等差数列,其前 n 项和为 Sn.已知 S2n+1= ?bn? bnbn+1,求数列?a ?的前 ? n? n 项和 Tn. 【解】 (1)设{an}的公比为 q, 2 由题意知:a1(1+q)=6,a2 q = a q 1 1 . 又 an>0,解得:a1=2,q=2, 所以 an=2n. (2n+1)(b1+b

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