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高中数学北师大版必修五课件:1.3.3.2.2-数列求和习题课ppt讲练课件

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第一章 数 列 第 2 课时 数列求和习题课 分组转化法求和 已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 b2=3,b3= 9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和. 【解】 b3 9 (1)等比数列{bn}的公比 q= = =3, b2 3 b2 所以 b1= q =1,b4=b3q=27. 设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27, 所以 1+13d=27,即 d=2. 所以 an=2n-1(n=1,2,3,…). (2)由第一问知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1 n n(1+2n-1) 1-3n 3 -1 2 = + =n + . 2 2 1-3 如果一个数列的通项公式可写成 cn=an±bn 的形式, 而数列{an}, {bn}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列,那么 可采用分组转化法求和. 1.(1)Sn = 3 + 33 + 333 + … + ________. 1 1 1 (2)已知数列{cn}:1 ,2 ,3 ,…,试求{cn}的前 n 项和. 2 4 8 = 解:(1)数列 3,33,333,…, 1 n an= (10 -1). 3 的通项公式 1 1 2 1 n 所以 Sn= (10-1)+ (10 -1)+…+ (10 -1) 3 3 3 n 10 ( 1 - 10 ) n 1 n 1 2 n = (10+10 +…+10 )- = × - 3 3 3 3 1-10 10 n n 10 n n = (10 -1)- ,故填 (10 -1)- . 27 3 27 3 ? ?1?n? 1 1 1 (2)令{cn}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=1 +2 +3 +…+?n+?2? ? 2 4 8 ? ? ? ? ?1?n? ?1 1 1 =(1+2+3+…+n)+? + + +…+?2? ? ? ? ? ?2 4 8 1? ?1?n? ?1-? ? ? ?1?n n(n+1) 2? ?2? ? n(n+1) = + = +1-?2? . 2 1 2 ? ? 1- 2 ?1?n n2+n 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn= +1-?2? . 2 ? ? 裂项相消法求和 设数列{an}满足 a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通项公式; ? ? an ? ? ? (2)求数列 2n+1?的前 ? ? ? ? n 项和. 【解】 (1)因为 a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当 n≥2 时, a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1). 两式相减得(2n-1)an=2, 2 所以 an= (n≥2). 2n-1 又由题设可得 a1=2, 2 从而{an}的通项公式为 an= (n∈N+). 2n-1 an (2)记{ }的前 n 项和为 Sn. 2n+1 an 2 1 1 由(1)知 = = - . 2n+1 (2n+1)(2n-1) 2n-1 2n+1 1 1 1 1 1 1 2n 则 Sn= - + - +…+ - = . 1 3 3 5 2n-1 2n+1 2n+1 对于通项公式是分式的一类数列,在求和时常用“裂项 法”.可用待定系数法对通项公式进行拆项

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