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02 同角三角函数关系及诱导公式

时间:2014-04-12


§02 同角三角函数的基本关系及诱导公式
【知识再现】 4 1.已知 sinα = 5,并且 α 是第二象限角,则 cosα= 3 解:-5 3π 2.已知 tanα =3,且 π<?< 2 , 则 cosα = 解:- 10 3 10 ,- 10 10 . ,sinα= . ,tanα= .

2sinα-cosα 3.已知 tanα=2,则 的值为 sinα+2cosα 3 解: 4 4π 5π 4π 4.① sin · cos · tan(- )= 3 6 3 ② sin(- 35π )= 4 ; ③ . tan(-1560° )=



3 3 2 解:①- ;②- ;③ 3 4 2 3 π 5. 已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- ,则 cos( +α)的值为 5 2 4 解: 5 .

【典型例题】 sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+π) 例 1. 已知 f (α)= ; -tan(-α-π)sin(-π-α) (1)化简 f (α); 3π 1 (2)若 α 是第三象限角,且 cos (α- )= ,求 f (α)的值. 2 5 sinα· cosα· (-tanα) 解 : (1)f(α)= =-cosα. tanα· sinα 3π (2)∵cos(α- )=-sinα, 2 1 2 ∴sinα=- ,cosα=- 6, 5 5 ∴f(α)= 2 6. 5

选题意图:领会诱导公式的化归功能,弄清“奇变偶不变,符号看象限” ;利用平方关系式

可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,另外要注意开方运算结果的符号选取,需要根据角 的范围确定. 变式 1 sin(2π-α)sin(π+α)cos(α+π) 已知 tanα=2,且 sinα+cosα<0,求 的值. sin(3π-α)cos(π-α)

2 解:所求式=sinα=-5 5,

例2

tanα 求值: 已知 =-1,求下列各式的值: tanα-1 ① sinα-3cosα ;②sin2α+sinαcosα+2 sinα+cosα

1 解: 由题意得 tanα=2 sinα-3cosα tanα-3 5 ① = =-3; sinα+cosα tanα+1 sin2α+sinαcosα+2 3sin2α+sinαcosα+2cos2α 3tan2α+tanα+2 ②sin2α+sinαcosα+2= = = sin2α+cos2α sin2α+cos2α tan2α+1 = 13 5

选题意图:掌握商数关系的弦、切互化功能;另外掌握同角关系式公式的逆用: sinα =tanα,1=sin2α+cos2α. cosα 补充例题:已知 tanα, 1 是关于实数 x 的方程 x2-kx+k2-3=0 的两实数根,且 3π <α< tanα

7 π ,求 cosα+sinα 的值. 2 1 解:∵tanα· = k2-3=1,∴k=±2; tanα 又 tanα 与 1 7 1 同号,且 3π <α< π ,∴tanα+ =k=2 tanα 2 tanα 2 ;则 sinα+cosα=- 2. 2

∴tanα=1;∴sinα=cosα=-

1 π 例 3. 已知-2<x<0,sin x+cos x=5. 1 (1)求 sin x-cos x 的值; (2)求 tanx 的值; (3)将 2 用 tanx 表示,并求值. cos x-sin2x 1 1 24 解: (1)(sin x+cos x)2=25,∴1+2 sin x cos x=25∴2 sin x cos x=- 25 49 π (sin x-cos x)2=1-2 sin x cos x=25,∵-2<x<0∴sin x-cos x<0

7 ∴sin x-cos x=-5. 1 7 3 4 3 (2)由 sin x+cos x=5且 sin x-cos x=-5,得 sin x=-5 cos x=5∴tanx=-4. cos2x+sin2x 1+tan2x 25 1 (3) 2 = = = . cos x-sin2x cos2x-sin2x 1-tan2x 7 选题意图:对于 sinα+cos α,sinα-cosα,sinαcosα 知一求二 变式 3 π π 1 已知 α∈( , ) ,sinαcosα= , (1)求 cosα-sinα 的值; 4 2 8

π sin( -α)tan(α-π) 2 (2)求 的值. sin(π+α)cos(3π-α)

解: (1)cosα-sinα=-

3 2

1 5 (2)所求式= , (cosα+sinα)2=(cosα-sinα)2+4 sinαcosα= 4 cosα ∴sinα+cosα= 1 5? 3 5 ∴cosα= ∴所求式= = 2 cos α 2( 5 ? 3) 4

π 1 5π π 备用题: (1) 已知 sin(x+ )=4,求 sin( -x)+sin2( -x)的值. 6 6 3 (2)化简 ?

? 1+ sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? ?

?? 1+ cos ? 1 ? cos ? ?? ?? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ??

? ? ? ?

π π π π π 解: (1)所求式=sin[π-(x+ )]+sin2[ -(x+ )]=sin(x+ )+ cos2(x+ ) 6 2 6 6 6 π π 19 = sin(x+ )+1-sin2(x+ )= 6 6 16

?4, 当? 是第一、三象限角 (2)原式= ? ??4,当? 是第二、四象限角
【课后强化】 11π 1.cos(- )= 3 . . . (用 k 表示) .

10π 19π 13π 2.sin - 2cos(- )+tan(- )= 3 4 3 3.Cos(-80°)=k,则 tan100°= 4.设 cos(π+α)=

3 3π (π<α< ),那么 sin(2π-α)的值为 2 2

15 π 5. 已知 sin(π-α)= ,α∈( ,π) ,则 tanα= 17 2 π 2 2π 6.已知 cos( -α)= ,则 sin(α- )= 6 3 3 7.已知 2sinαtanα=3,则 cosα 的值为 1-2sin40° cos40° 8.化简 = cos40° - 1-sin250° . . .



9. (1)已知 tanθ=2,求 sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ 的值; sinθ+cosθ 3π (2)若 =2,求 sin(θ-5π)sin( -θ)的值. 2 sinθ-cosθ 3 tanA-tanB 1 10.若 A 为锐角,sinA=5, =-2,求 tanB. 1+tanAtanB 11.已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根为 sinθ 和 cosθ,且 θ∈(0,2π) ①求 sin2θ cosθ + 的值; sinθ-cosθ 1-tanθ

②求 m 的值; ③求方程的两根及此时的 θ 的值.

【参考答案】 课后强化: 1 1. ; 2 2 6.- ; 3 3 3 2.1- ; 2 1 7. ; 2 3.- 8. 1; 1-k2 k ; 1 4. ; 2 15 5.- ; 8

4 sinθcosθ tanα 3 9. (1) ; (2)tanθ=3,所求式=sinθcosθ= = = sin2θ+cos2θ tan2α+1 10 5 10.tanB=2. 11.① 3+1 3 3 1 π π ;② ;③x= , ;θ= , 2 2 2 2 6 3


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