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高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案

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高中数学选修2-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 导数及其应用 1.4 定积分与微积分基本定理

一、学习任务 1. 了解定积分的实际背景,体会定积分的基本思想;了解定积分的概念,能用定义求简单的定 积分;掌握定积分的概念及几何意义的简单应用. 2. 了解微积分基本定理的含义,并能利用其计算简单的定积分;掌握微积分基本定理及其应 用. 二、知识清单
定积分的概念与计算 定积分的应用

三、知识讲解
1.定积分的概念与计算 描述: 定积分定义与性质
如果函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续,用分点
a = x 0 < x 1 < ? < x i?1 < x i < ? < x n = b

将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间 [x i?1 , x i ] 上任取一点 ξi (i = 1,2 ,?,n ),作和式
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n

b?a f (ξi ), n

当 n → ∞ 时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分(definite integral),记作 ∫ ab f (x)dx,即

b a

f (x)dx = lim ∑
n→∞ i =1

n

b?a f (ξi ), n

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 [a, b] 叫做积分区间,函数 f (x) 叫做被积函数,x 叫做积分 变量,f (x)dx 叫做被积式. 从几何上看,如果在区间 [a, b] 上函数 f (x) 连续且恒有 f (x) ? 0,那么定积分 ∫ ab f (x)dx 表示由直线 x = a, 义.
b x = b (a ≠ b) ,y = 0 和曲线 y = f (x) 所围成的曲边梯形(如下图)的面积.这就是定积分 ∫ a f (x)dx 的几何意

由定积分的定义,可以得到定积分的如下性质: (1)∫ ab kf (x)dx = k ∫ ab f (x)dx(k 为常数); (2)∫ ab [f 1 (x) ± f 2 (x)]dx = ∫ ab f 1 (x)dx ± ∫ ab f 2 (x)dx; 微积分基本定理 一般地,如果 f (x) 是区间 [a, b] 上的连续函数,并且 F ′ (x) = f (x),那么

b a

(3)∫ ab f (x)dx = ∫ ac f (x)dx + ∫ cb f (x)dx(其中 a < c < b ).

f (x)dx = F (b) ? F (a).

这个结论叫做微积分基本定理(fundamental theorem of calculus),又叫做牛顿-莱布尼茨公式(NewtonLelbniz formula). 其中 F (x) 叫做 f (x) 的一个原函数,由于 [F (x) + c] ′ = f (x),所以 F (x) + c 也是 f (x) 的原函数,其中 c 为常 数.为了方便,我们常常把 F (b) ? F (a) 记成 F (x)| b a ,即

b a

f (x)dx = F (x)| b a = F (b) ? F (a).

例题: 利用定积分定义计算: (1)∫ 1 (1 + x)dx;(2)∫ 0 xdx. 解:(1)因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续,将区间 [1, 2] 分成 n 等份,则每个区间的
2 1

1 i?1 i i?1 ,在 [x i?1 , x i ] = [1 + ( , 1 + ] 上取 ξi = xi?1 = 1 + n n n n i = 1 ,2 ,3 ,?,n),于是
长度为 Δx i =

f (ξi ) = f (xi?1 ) = 1 + 1 +
从而

i?1 i?1 =2+ , n n

∑ f (ξi )Δxi = ∑ (2 +
i=1

n

n

2 i?1 + ) n n2 i=1 2 1 = ?n+ [0 + 1 + 2 + ? + (n ? 1)] n n2 1 n(n ? 1) = 2+ ? 2 n2 n?1 = 2+ , 2n = ∑(

i=1 n

i?1 1 )? n n

所以



2 1

(1 + x)dx = lim ∑ (2 +
n→∞ i=1

n

n?1 1 5 ) =2+ = . 2n 2 2 i?1 i , ]( n n

(2)①分割:将区间 [0, 1] 分为 n 等份,形成 n 个小区间 [xi , xi?1 ] = [

i = 1 ,2 ,3 ,?,n),且每个小区间的长度为 Δx =
②近似代替:取 ξ i =
1

i (i = 1 ,2 ,3 ,?,n),则 n
n

1 . n
n

( )

n



1 0

n n i i 1 1 n 1 n(n + 1) n+1 xdx ≈ S n = ∑ f ( ) Δx = ∑ ? = = . ∑i = 2 ? 2 n n n 2 2n n i=1 n i=1 i=1

③取极限:


利用定积分的几何意义求:
2

1 0

xdx = lim S n = lim
n→∞

n→∞

n+1 1 = . 2n 2

(1)∫ 0 (2x + 1)dx ;(2)∫ 0 √4 ? x2 dx. 解:(1)如图所示,所求的定积分为阴影部分的面积,而面积为
2 ∫ 0 (2x + 1)dx = 6.

2

? ? ? ? ?

1 × (1 + 5) × 2 = 6,所以 2

(2)如图所示,所求的定积分为阴影部分的面积,阴影部分的面积为圆的面积的

? ? ? ? 2 ? ∫ 0 √4 ? x2 dx = π.

1 ,即 4

计算下列定积分: (1)∫ 13 (1 + x + x 2 )dx;(2)∫ 1e 解:(1)
3 1

π 2 dx;(3)∫ 0 2 (sin x ? cos x)dx. x



(1 + x + x2 ) = ∫

3 1

1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 ? 1) + (3 2 ? 1 2 ) + (3 3 ? 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +

1dx + ∫

3 1

xdx + ∫

3 1

x 2 dx

(2)



e 1

2 dx = 2 ln x| e 1 x = 2 ln e ? 2 ln 1 = 2.

(3)



π 2

0

(sin x ? cos x)dx = (? cos x ? sin x)| 02 = (? cos = 0.

π

π π ? sin ) ? (? cos 0 ? sin 0) 2 2

2.定积分的应用 描述: 形如 ∑
n

k=1

f (k) < c (c为常数)或 ∑ f (k) < g(n) 的不等式称为数列和型不等式,这类不等式常见于高中数学竞赛和
k=1

n

高考压轴题中,证明难度较大.其中有些不等式可以利用定积分的几何意义证明.

例题: 已知正整数

n > 1 ,求证

证明:构造函数 y = 1 并作图象如图所示.因函数 y = 1 在 (0, +∞) 上是凹函数,由函数图象可知,在区间
x x [n, 2n] 上的 n 个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,

1 1 1 25 . + +?+ < n+1 n+2 2n 36


2n 1 1 1 1 n + +?+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n ? ln n = ln 2, n+1 n+2 2n x n

因为ln 2 ≈ 0.6931 , 25 ≈ 0.6944 ,所以ln 2 < 25 .所以
36 36 1 1 1 25 + +?+ < . n+1 n+2 2n 36

求证:1 + 1 + 1 + ? + 1 < 5 (n ∈ N? ) .
23 33

4 n3 1 1 ?3 证明:构造函数 y = = x ,又 (? x ?2 ) ′ = x ?3 ,而函数 y = x ?3 在 (0, +∞) 上是凹函数,由图象知,在 3 2 x 区间 [2, n] 上的 n ? 2 个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,



n

∣ ∣ ∣

n

33

1

+

43

1

+?+

n n 1 1 1 1 ∣ < ∫ x ?3 dx = ? , ∣ = ? 8 2n 2 n3 2x 2 ∣ 2 2

所以
1+ 23 1 + 33 1 +?+ 1 9 1 1 5 1 5 < ? + = ? < . 8 2n 2 8 4 2n 2 4 n3 1 . n?1

若 n ∈ N,n ? 2 ,求证: 1 + 1 + ? + 1 < ln n < 1 + 1 + 1 + ? +
3 n 2 3 证明:构造函数 y = 1 ,因为 (ln x) ′ = 1 ,作 y = 1 的图象, x x x 2

由图知,在区间 [n ? 1, n](n ≥ 2) 上曲边梯形的面积大小在以区间长度 1 为一边长,以左右端点对应的函数值为 另一边长的两个矩形面积之间,即
n 1 1 1 <∫ dx < , n x n ? 1 n?1



n n?1

1 dx = ln x| n n?1 = ln n ? ln(n ? 1), x

故不等式
1 1 < ln n ? ln(n ? 1) < n n?1

成立,从而当 n ? 2 时,
1 < ln 2 ? ln 1 < 1, 2 1 1 < ln 3 ? ln 2 < , 3 2 ? 1 1 < ln n ? ln(n ? 1) < , n n?1

由累加法可得 1 + 1 + ? + 1 < ln n < 1 + 1 + 1 + ? +
2 3 n 2 3

1 成立. n?1

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 若 S 1 = ∫ 12 x 2 dx ,S 2 = ∫ 12 A.S 1 < S 2 < S 3
答案: B

1 dx ,S 3 = ∫ 12 ex dx ,则 S 1 , S 2 , S 3 的大小关系为 ( ) x B.S 2 < S 1 < S 3 C.S 2 < S 3 < S 1 D.S 3 < S 2 < S 1

2. 由曲线 y = x 2 ,y = x 3 围成的封闭图形面积为 ( A.

1 12

B.

1 4

)
C.

1 3

D.

7 12

答案: A 解析: 题中所表示阴影部分如图:

利用积分即得答案.
2 3. ∫ ?2 √4 ? x2 dx 的值是 (

? ? ? ? ?

A.

答案: C
1 4. 计算定积分 ∫ ?1 (x2 + sin x) dx =

π 2

)
B.π C.2π D.4π



答案: 解析:

1 由条件可得 ∫ ?1 (x2 + sin x) dx = ( x3 ? cos x) ∣

2 3

1 3

∣1 2 = . 3 ∣?1

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