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一类数列不等式的放缩证法

时间:2015-05-20


一类数列不等式的放缩证法
梁关化,2015,4,16
请看下面三道高考数列大题: 1。 (2014 年全国新课标卷数列大题) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

解: (Ⅰ)由 an?1 ? 3an ? 1 得 a n ?1 ? 又 a1 ?

1 1 ? 3(an ? ). 2 2

1 3 3 1? ? ? ,所以 ? an ? ? 是首项为 ,公比为 3 的等比数列。 2 2 2 2? ?

an ?

1 3n 3n ? 1 ? ,因此 ?an ? 的通项公式为 an ? 。 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 2 . ? n an 3 ? 1
n n ?1

因为当 n ? 1 时, 3 ? 1 ? 2 ? 3 于是

,所以

1 1 ? . 3 ? 1 2 ? 3n ?1
n

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 ? 1? 1 ? an 3 ? 1 3 ? . an 2

?

1 3 1 3 ? ( 1- n ) ? . n -1 3 2 3 2

所以

1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3

1. 的一般形式:

数列?a n ? 满足 ?a1 ? a (a ? 0, q ? 0, p ? 1) ? ?an ?1 ? pan ? q 1 1 1 1 p ? ? ? ...... ? ? a1 a 2 a3 a n a( p ? 1) q q ? p (an ? ) p ?1 p ?1

1)求数列?a n ?的通项公式; 2)证明:

略解:1)an ?1 ? pan ? q ? an ?1 ? 从而得an ? (a ?

q q ) p n ?1 ? p ?1 p ?1

2)

1 1 ? ? a( p ? 1) n ?1 an (a ? q ) p n ?1 ? q ( ) p ? p n ?1 ? 1 p ?1 p ?1 q a ? 0, q ? 0, p ? 1

p ?1 q

? p n ?1 ? 1 ? 0 a ( p ? 1) n ?1 a ( p ? 1) n ?1 ?( ) p ? p n ?1 ? 1 ? ( )p q q 1 1 1 ? ? an a p n ?1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ...... ? ? ( 0 ? 1 ? 2 ? ...... ? n-1 ) a1 a 2 a3 an a p p p p

1 1 ? ( )n 1 p ? 1 ? p p ? ? 1 ? ( )n ? ? ? 1 a 1? a ( p ? 1) ? p ? a( p ? 1) p
2. (2013 年江西卷数列大题)
2 正项数列{an}的前项和{an}满足: sn ? (n2 ? n ?1)sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2) 令 bn ?

5 n ?1 * , 数列{bn}的前 n 项和为 Tn 。 证明: 对于任意的 n ? N , 都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a

2 2 略解: (1)由 Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 。

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n2 ? n 。 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n 。 综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n 。 (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 。 2 (n ? 2)2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? 。 ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2)2 ? ?
2

Tn ? ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2)2 ? ?
2

1 ? 1 1 1 1? 2 ? ? ? 2 1 6? 2 n (? 1 ) n ? (

? ? ? 2) ?

1 1 5 。 (1 ? 2? ) 16 2 64

3.(2013 年广东卷数列大题)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知

a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有 略解:(Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

1 2 ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3 1 3 2 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2 S n ? nan ?1 ? n ? n ? n , 3 3 1 2 3 2 2S n ?1 ? ? n ? 1? an ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 a a a a 整理得 ? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 ? n ? 1 ,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1
故数列 ?

a1 ? an ? ? 是首项为 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 1 ?n?

所以

an ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ,所以 an ? n2 . n 1 7 1 1 1 5 7 (Ⅲ) 当 n ? 1 时, ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1? ? ? ; a1 4 a1 a2 4 4 4
当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 an n ? n ? 1? n n ? 1 n 1? ? 1 ?? ? ? ? n ?1 n ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1? ? ? ? ? 1? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1 a2 an 4 3 4 n 4 ? 2 3? ?3 4? 1 1 1 7 1 7 ? 1? ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4 1 1 1 7 综上,对一切正整数 n ,有 ? ? ? ? . a1 a2 an 4

1.的放缩是利用指数函数的单调性,放缩后用等比数列求和,3。中
n2变为n n ? n(n ? 1), 从而 1 1 ? ,以便裂项相消求和.但这里是从第三项开始 2 n n(n ? 1)

裂。2.也是裂项相消,但难度大些,因为这种类型学生平时做得少。以上试题的 特点是: 证明一个数列的前 n 项和小于一个常数,放缩的目的是数列的前 n 项和 能求得。怎么放,放到多大或缩到多小,要具体问题具体分析。另外,还要做一 些不同类型的题,积累经验。


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