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福建省漳浦县道周中学2014年高考数学专题复习 三角函数与平面向量的综合应用教案 文

时间:2014-06-13


福建省漳浦县道周中学 2014 年高考数学专题复习 三角函数与 平面向量的综合应用教案 文
1.同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强,对公式的正用、逆用、变形应 用的技巧、方法要求较高,考查公式的灵活运用及变形能力.通过简单的恒等变换解 决三角函数的化简求值是高考必考内容,且一直是高考的热点. 2.研究三角函数的性质,一般要化为 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的形式,若是 奇函数,则可化为 f(x)=±Asin ω x;若是偶函数,则可化为 f(x)=±Acos ω x. 求三角函数的定义域,实际上是利用三角函数图象或三角函数线来确定不等式的解, 求函数的单调区间可以转化为求 y=sin x 与 y=cos x 的单调区间. 3.解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考查,通过三角变换化简, 然后运用正、余弦定理求值;二是与平面向量结合(主要是数量积),判断三角形形状 或结合正、余弦定理求值.试题一般为中档题,客观题、解答题均有可能出现. 4.平面向量的线性运算,为证明两线平行提供了重要方法.平面向量的数量积的运算解 决了两向量的夹角、垂直等问题 .特别是 平面向量的坐标运算与三角函数的有机结 合,体现了向量应用的广泛性. [难点正本 疑点清源] 1.三角函数问题一是化简求值问题,要熟练应用公式,紧扣角的范围,才可避免出错; 二是三角函数的性质,要先将函数式化简为 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的形式, 再研究其性质. 2.向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比,要理解它们的联 系与区别.要用向量的思想和方法去分析解决问题,一定要突出向量的工具性作用.

题型一 三角函数式的化简求值问题 例1 已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos x-1 (x∈R).
2

? π? (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间?0, ?上的最大值和最小值; 2? ?
6 ?π π ? (2)若 f(x0)= ,x0∈? , ?,求 cos 2x0 的值. 5 ?4 2? 探究提高 (1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的 运算规律”,对公式要会“正用”、“逆用”、“变形用”,记忆公式要注意角、三 角函数名称排列以及连接符号“+”, “-”的变化特点.(2)在使用三角恒等变换公
1

式解决问题时,“变换”是其中的精髓,在“变换”中既有公式的各种形式的变换, 也有角之间的变换.(3)本题的易错点是易用错公式和角的拆分不准确. 已知向量 m=(-1,cos ω x+ 3sin ω x),n=(f(x),cos ω x),其中 3 ω >0,且 m⊥n,又函数 f(x)的图象上任意两相邻对称轴的间距为 π . 2 (1)求 ω 的值; π ? 23 ?3 (2)设 α 是第一象限角,且 f? α + ?= , 2 2 ? 26 ? π? ? sin?α + ? 4? ? π +2α



的值.

题型二 三角形中的三角恒等变换 例2 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsin A.

(1)求 B 的大小; (2)求 cos A+sin C 的取值范围. 探究提高 本题的难点是第(2)问,求解三角函数式的取值范围,首先要根据三角形 内角之间的关系进行化简, 然后根据已知条件确定角 A 或角 C 的取值范围, 要利用锐 角三角形的每个内角都是锐角, 构造关于角 A 的不等式确定其取值范围, 最后利用三 角函数的图象和性质确定三角函数式的取值范围. 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c 且 3b +3c -3a =4 2
2 2 2

bc.
(1)求 sin A 的值; π? ? π? ? 2sin?A+ ?sin?B+C+ ? 4? 4? ? ? (2)求 的值. 1-cos 2A 题型三 平面向量与三角函数 例3

? ? 已知向量 m=? 3sin ,1?, 4 ? ?
x

x 2x? ? n=?cos ,cos ?.

?

4

4?

(1)若 m?n=1,求 cos?

?2π -x?的值; ? ? 3 ?

(2)记 f(x)=m?n, 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 且满足(2a-c)cos

B=bcos C,求函数 f(A)的取值范围.
探究提高 向量是一种解决问题的工具, 是一个载体, 通常是用向量的数量积运算或 性质转化成三角函数问题.

2

已知 A、 B 、C 的坐标分别为 A(3,0), B(0,3), C(cos α , sin α ) , α ∈?

?π ,3π ?. ? 2 ? ?2
→ → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin α +sin 2α → → (2)若AC?BC=-1,求 的值. 1+tan α
2

8.平面向量与三角函数的综合问题

试题:(12 分)设向量 a=(4cos α ,sin α ),b=(sin β ,4cos β ),c=(cos β , -4sin β ). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α +β )的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan α tan β =16,求证:a∥b. 审题视角 (1)利用向量的垂直关系, 将向量间的关系转化成三角函数式, 化简求值.(2) 根据向量模的定义, 将求模问题转化为求三角函数最值的问题.(3)转化成证明与向量 平行等价的三角函数式. 规范解答 (1)解 由 a 与 b- 2c 垂直, 得 a?(b-2c)=a?b-2a?c=0, 即 4sin(α +β )-8cos(α +β )=0,tan(α +β )=2. [4 分] (2)解 |b+c| =(b+c) =b +c +2b?c=sin β +16cos β +cos β +16sin β +
2 2 2 2 2 2 2 2

2(sin β cos β -16sin β cos β ) =17-30sin β cos β =17-15sin 2β , 最大值为 32,所以|b+c|的最大值为 4 2. (3)证明 由 tan α tan β =16, 得 sin α sin β =16cos α cos β , 即 4 cos α ?4cos β -sin α sin β =0,故 a∥b. [12 分] [8 分]

3

第一步:将向量间的关系转化成三角函数式. 第二步:化简三角函数式. 第三步:求三角函数式的值或分析三角函数式 的性质. 第四步:明确结论. 第五步:反思回顾.查看关键点,易错点和规范 解答.

批阅笔记 (1)本题是典型的向量与三角函数的综合,题目难度中档,属高考的重点题 型. (2)本题体现了转化与化归的思想方法.根据向量关系, 转化为三角函数式的问题, 利 用三角函数解决. (3)易错分析.在将向量关系转化为三角函数式时易出错.在第(3)问中, 学生不知道要 推出怎样的三角关系式才能说明 a∥b.事实上是学生忽略了 a∥b 的条件.

方法与技巧 1.研究三角函数的图象与性质的主要思想方法是数形结合思想, 这主要体现在运用三角 函数的图象研究三角函数的图象变换、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等知 识;运用三角函数的图象解决取值范围、交点个数、定义域等内容. 2.三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型,主要从以下两个方面进行考 查. (1)利用平面向量的知识(如向量的模、数量积、向量的夹角),通过向量的有关运算, 将向量条件转化为三角关系,然后通过三角变换及三角函数的图象与性质等解决问 题. (2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角 统一为一类问题考查. 3.加强数学思想方法的考查,转化思想主要体现在把向量问题转化为三角问题. 失误与防范 1.对于三角函数的化简求值问题,一要熟练应用公式化简,二要注意角的范围. 2.平面向量与三角函数问 题,一般是通过向量运算,将其转化为三角函数式,要注意 转化的准确性和灵活性.

4

专题三

三角函数与平面向量的综合应用

(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.已知向量 a=(2,sin x),b=(cos x,2cos x),则函数 f(x)=a?b 的最小正周期是 ( A. π 2 ) B.π C.2π D.4π
2

2.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,-1),n=(cos A, sin A).若 m⊥n,且 acos B+bcos A=csin C,则角 A,B 的大 小分别为 ( A. C. ) π π , 6 3 π π , 3 6 B. D. 2π π , 3 6 π π , 3 3

3? ? 1 3.已知 a=?- , ?,b=(1, 3),则|a+tb| (t∈R)的最小值等于 ? 2 2? ( ) A.1 二、填空题 π? 1 ? π ? ? ? ? 4.已知 0<α < ,β 为 f(x)=cos?2x+ ?的最小正周期,a=?tan?α + β ?,-1?,b 8? 4 ? 4 ? ? ? ? 2cos α + α +β =(cos α ,2),且 a?b=m,则 cos α -sin α
2

B.

3 2

C.

1 2

D.

2 2

=________.

5.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,2),B(2cos x,-2cos 2x),C(cos x,1),其 → → 中 x∈[0,π ],若AB⊥OC,则 x 的值为______. 6.已知函数 f(x)=sin x-cos x,且 f′(x)=2f(x),f′(x)是 f(x)的导函数,则 1+sin x =_________. 2 cos x-sin 2x 三、解答题 π 7.已知函数 y=Asin(ω x+φ ),x∈R (A>0,ω >0,|φ |< ),若该函数图象上的一个 2 最高点坐标为?
2

?π ,3?,与其相邻的对称中心的坐标是?-π ,0?. ? ? 12 ? ?6 ? ? ?
5

(1)求函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式; (2)求函数的最小值,并写出函数取得最小值时自变量 x 的集合. 8.△AB C 中内角 A,B ,C 的对边分别为 a, b, c,向量 m =(2sin B ,- 3) ,n =

?cos 2B,2cos2B-1?且 m∥n. ? ? 2 ? ?
(1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求 S△ABC 的最大值. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 → → → → 1.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=( 2cos α , 2sin α ),则向量OA → 与向量OB的夹角的取值范围是 ( ) B.? D.?

? π? A.?0, ? 4? ?
π? ?5 C.? π , ? 2? ?12

?π , 5 π ? ? ? 4 12 ?

?π , 5 π ? ? ?12 12 ?

? 3 3? → → → → 2.在△ABC 中,AB?BC=3,△ABC 的面积 S△ABC∈? , ?,则AB与BC夹角的取值范围是 ? 2 2?
( )

?π π ? A.? , ? ?4 3? ?π π ? C.? , ? ?6 3?

B.? D.?

?π ,π ? ? ?6 4? ?π ,π ? ? ?3 2?

1 3.(2011?大纲全国)设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,a?b=- , 〈a-c,b-c〉= 2 60°,则|c|的最大值等于 ( A.2 C. 2 二、填空题 4.已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),向量 b=( 3,-1),则|2a-b|的最大值、最小值 分别是__________. 5.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1, ) B. 3 D.1

BC=2,AB=3,P 是 BC 上的一个动点,当PD?PA取
得最小值时,tan∠DPA 的值为________.
6

→ →

→ → 6.(2011?上海)在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点.若 AB=3,BD=1, 则AB?AD= ________. 三、解答题 7.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 lg a-lg b=lg cos B-lg cos

A≠0.
(1)判断△ABC 的形状; (2)设向量 m=(2a,b),n=(a,-3b),且 m⊥n,(m+n)?(n-m)=14,求 a,b,c 的值. 8.已知两个不共线的向量 a,b 的夹角为 θ ,且|a|=3,|b|=1,x 为正实数. (1)若 a+2b 与 a-4b 垂直,求 tan θ ; π (2)若 θ = ,求|xa-b|的最小值及对应的 x 的值,并指出向量 a 与 xa-b 的位置 6 关系; (3)若 θ 为锐角,对于正实数 m,关于 x 的方程|xa-b|=|ma|有两个不同的正实 数 解,且 x≠m,求 m 的取值范围.

7

答案 题型分类?深度剖析 例1 解 (1)由 f(x)=2 3sin xcos x+2cos x-1,
2 2

得 f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos x-1) π? ? = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ ?. 6? ? 所以函数 f(x)的最小正周期为 π . π? ? ? π? ?π π ? 因为 f(x)=2sin?2x+ ?在区间?0, ?上为增函数,在区间? , ?上为减函数, 6? 6? ? ? ?6 2?

?π ? ?π ? ? π? 又 f(0)=1,f? ?=2,f? ?=-1,所以函数 f(x)在区间?0, ?上的最大值为 2, 2? ?6? ?2? ?
最小值为-1. π? ? (2)由(1),可知 f(x0)=2sin?2x0+ ?. 6? ? 6 又因为 f(x0)= , 5 π? 3 ? 所以 sin?2x0+ ?= . 6? 5 ?

?π π ? 由 x0∈? , ?, ?4 2?
π ?2π 7π ? 得 2x0+ ∈? , ?. 6 ? 6 ? 3 π? ? 从而 cos?2x0+ ? 6? ? =- π? 4 2? 1-sin ?2x0+ ?=- . 6? 5 ?

所以 cos 2x0=cos?

? ?

x0+

π 6

π - ? ? 6?

π? π? π π 3-4 3 ? ? =cos?2x0+ ?cos +sin?2x0+ ??sin = . 6? 6? 6 6 10 ? ? 1 变式训练 1 (1) 3 13 (2)- 2 14

例2

解 (1)由 a=2bsin A,

根据正弦定理得 sin A=2sin Bsin A, 1 π 所以 sin B= ,由△ABC 为锐角三角形可得 B= . 2 6

8

5π (2)由(1)可知 A+C=π -B= , 6 5π 故 C= -A. 6 故 cos A+sin C=cos A+sin?

?5π -A? ? ? 6 ?

1 3 3 3 ?π ? =cos A+sin? +A?=cos A+ cos A+ sin A= cos A+ sin A 2 2 2 2 ?6 ? = 3? 1 ? 3 ? cos A+ sin A? 2 ?2 ?

? π? = 3sin?A+ ?, 3? ?
π 由△ABC 为锐角三角形可得,0<C< , 2 5π π π 5π 故 0< -A< ,解得 <A< , 6 2 3 6 π π π 又 0<A< ,所以 <A< . 2 3 2 故 2π π 5π <A+ < , 3 3 6

1 ? π? 3 所以 <sin?A+ ?< , 3? 2 2 ? 所以 3 ? π? 3 < 3sin?A+ ?< , 3? 2 2 ?

即 cos A+sin C 的取值范围为? 1 7 变式训练 2 (1) (2)- 3 2

? 3 3? , ?. ? 2 2?

例3

1+cos 2 x x 3 x 2x 解 (1)m?n= 3sin ?cos +cos = sin + 4 4 4 2 2 2

x

?x π ? 1 =sin? + ?+ , ?2 6 ? 2 ?x π ? 1 ∵m?n=1,∴sin? + ?= . ?2 6 ? 2
π? 1 ? π? 2?x cos?x+ ?=1-2sin ? + ?= , 3? ? ?2 6 ? 2 cos?

?2π -x?=-cos?x+π ?=-1. ? ? ? 3? 2 ? 3 ? ?
9

(2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B =sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π ,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 π ∴cos B= ,∵0<B<π ,∴B= . 2 3 2π π A π π ∴0<A< .∴ < + < , 3 6 2 6 2

?A π ? ?1 ? sin? + ?∈? ,1?. ?2 6 ? ?2 ? ?x π ? 1 又∵f(x)=sin? + ?+ . ?2 6 ? 2 ?A π ? 1 ∴f(A)=sin? + ?+ . ?2 6 ? 2 ? 3? 故函数 f(A)的取值范围是?1, ?. ? 2?
5π 变式训练 3 (1) 4 课时规范训练 A组 1.B 5. 2.C 3.B 4.4+2m 19 6.- 5 5 (2)- 9

π π 或 2 3

7.解 (1)由题意知 A=3, 1 π ? π? π T= -?- ?= , 4 6 ? 12? 4 2π 所以 T=π ,ω = =2.y=3sin(2x+φ ),

T

π π 又由 2? +φ =2kπ + ,k∈Z, 6 2 π 得 φ =2kπ + ,k∈Z. 6 π π 因为|φ |< ,所以 φ = . 2 6

10

π? ? 所以 y=3sin?2x+ ?,x∈R. 6? ? (2)由(1)知,函数的最小值为-3; π π 由 2x + =2kπ - ,k∈Z, 6 2 π 得 x=kπ - ,k∈Z, 3 ∴函数取得最小值时自变量 x 的集合为
? ? π ?x|x=kπ - ,k∈Z?. 3 ? ?

8.解 (1)∵m∥n,

? ? ∴2sin B?2cos -1?=- 3cos 2B, 2 ? ?
2

B

∴sin 2B=- 3cos 2B,即 tan 2B=- 3. 又∵B 为锐角,∴2B∈(0,π ). 2π π ∴2B= ,∴B= . 3 3 π (2)∵B= ,b=2, 3 由余弦定理 cos B=
2 2

a2+c2-b2 , 2ac
2 2

得 a +c -ac-4=0,又∵a +c ≥2ac, 代入上式,得 ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立).

S△ABC= acsin B=
B组 1.D

1 2

3 ac≤ 3(当且仅当 a=c=2 时等号成立).∴S△ABC 的最大值为 3. 4

2.B 3.A 4.4、0 5.

12 15 6. 35 2

7.解 (1)因为 lg a-lg b=lg cos B-lg cos A≠0,所以 = 所以 sin 2A=sin 2B 且 a≠b. 因为 A,B∈(0,π )且 A≠B, 所以 2A=π -2B,即 A+B= π 且 A≠B. 2

a cos B ≠1, b cos A

所以△ABC 是非等腰的直角三角形. (2)由 m⊥n,得 m?n=0. 所以 2a -3b =0.
2 2



11

由(m+n)?(n-m)=14,得 n -m =14, 所以 a +9b -4a -b =14, 即-3a +8b =14. 联立①②,解得 a= 6,b=2. 所以 c= a +b = 10. 故所求的 a,b,c 的值分别为 6,2, 10. 8.解 (1)由题意得,(a+2b)(a-4b)=0, 即 a -2a?b-8b =0, 得 3 -2?3?1?cos θ -8?1 =0, 1 ? π? 得 cos θ = ,又 θ ∈(0,π ),故 θ ∈?0, ?, 2? 6 ? 因此,sin θ = 1-cos θ = sin θ tan θ = = 35. cos θ (2)|xa-b|=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2



35 ?1?2 1-? ? = , 6 6 ? ?

xa-b
2

2

= x a -2xa?b+b =
2

9x -2x?3?1?cos 9?x-

π +1 6



? ?

3?2 1 ?+ , 6? 4

故当 x=

3 1 时,|xa-b|取得最小值为 , 6 2
2

此时,a?(xa-b)=xa -a?b = 3 π ?9-3?1?cos =0, 6 6

故向量 a 与 xa-b 垂直. (3)对方程|xa-b|=|ma|两边平方整理, 得 9x -(6cos θ )x+1-9m =0, 设方程①的两个不同正实数解为 x1,x2, 则由题意得,
2 2



12

? θ ?x +x =6cos >0, 9 ? 1-9m ? ?x x = 9 >0.
Δ=
1

θ

2



-9m

2



2

2

1 2

1 1 解之得, sin θ <m< . 3 3 1 1 若 x=m,则方程①可以化为-(6cos θ )x+1=0,则 x= ,即 m= . 6cos θ 6cos θ 而 x≠m,故得 m≠ 1 . 6cos θ

1 1 1 令 sin θ < < , 3 6cos θ 3 sin 2θ <1, ? ? 得? 1 cos θ > , ? 2 ?

得 0°<θ <6 0°,且 θ ≠45°,

当 0°<θ <60°,且 θ ≠45°时,

m 的取值范围为
? 1 1 1 ? ?m| sin θ <m< ,且m≠ ?; 3 6cos θ ? ? 3

当 60°≤θ <90°,或 θ =45°时,

m 的取值范围为?m| sin θ <m< ?.

?

1 ? 3

1? 3?

13


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