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高二数学下册课件:12.2.1圆的标准方程1_图文

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12.2 圆的方程 1.圆的标准方程 问题:求圆心是C(a ,b),半径 是r的圆的方程。 y r C O M(x,y) 回顾 求曲线方程的一般步骤是: 建系 x 证明 设点 列式 化简 圆心是C(a,b),半径是r的圆的标准方程是 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 圆心是C(a,b),半径是r的圆的标准方程是 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 记忆: 圆的标准方程有哪些特点? ① 是关于x、y的二元二次方程; ② 方程明确给出了圆心坐标和半径; ③ 确定圆的方程必须具备三个独立条件即 a 、 b 、r 。 例1:看图写出下列圆的方程: y r O y C(a,b) O (x-a)2+(y-a)2=a2 r x y C(a,a) x2+y2=r2 x (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x 练习: 写出下列各圆的圆心坐标和半径: (1)(x-1)2 + y2 = 6 (1,0) (-1,2) 6 (2)(x+1)2 +(y-2)2 = 9 (3)(x+a)2 + y2 = a2 3 (-a,0) |a| 例2.已知圆C经过P(5,1),圆心C ? 8,3? , 求圆C的方程. 解:设圆的方程为( x ? 8) ? ( y ? 3) ? r 2 2 2 y C(8,3) P(5,1) ?点P(5,1)在圆上, 代入圆的方程得 r ? 13 2 0 x 故所求圆的方程为: ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 13 2 2 也可用两点间距离公式求r 练习:已知A ? 4, 9 ?,B ? 6, 3?,求以AB为直径 的圆的方程. Y A(4,9) 解:设AB的中点为(a, b) B(6,3) 0 X 4?6 9?3 则a ? ? 5, b ? ? 6. 2 2 2 2 设圆的方程为 ( x ? 5)2 ? (? y ?( 6 )2?? r22 , 把点 ,3 AB 6 4) ? (3 ?B 9( )6 ?)代入得 2 10 r . 故所求圆的方程为 ( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 10 2 2 练习:求过点C (?1,1)和D(1,3),圆心在x轴 上的圆的方程. 解:依题意设所求圆的方程为( x ? a) ? y ? r . 2 2 2 ? ?(?1 ? a) ? 1 ? r 解方程组 ? 2 2 2 ? ?(1 ? a) ? 3 ? r 2 2 2 得a ? 2, r ? 10, 2 故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 10. 2 2 例3.求以C (1,3)为圆心,并和直线3x ? 4 y ? 6 ? 0 相切的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 : y C(1,3) ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? r 2 2 2 圆心C (1,3)到直线3x ? 4 y ? 6 ? 0 0 x 的距离 r? | 3 ?1 ? 4 ? 3 ? 6 | 32 ? 42 2 3x-4y-6=0 ? 3, 2 故所求圆的方程为 : ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 9 练习: ?1? 求圆心在? -1,2?,且与y轴相切的圆 的方程; ? 2 ? 求圆心在直线y ? x上,且同时和两坐 标轴相切,半径为2的圆的方程; ?1? 解:因圆与y轴相切, 故圆的半径为1, y C(-1,2) 设所求圆的方程为 : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? r 2 2 2 x -1 0 所求圆的方程为: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 练习: ?1? 求圆心在? -1,2?,且与y轴相切的圆 的方程; ? 2 ? 求圆心在直线y ? x上,且同时和两坐 标轴相切,半径为2的圆的方程; Y 2 (2)解:依题意得所求圆的方程为 y=x -2 C(-2,-2) C(2,2) 0 2 -2 X (x-2)2+(y-2)2=4 (x+2)2+(y+2)2=4 例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该 圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m,在建造时 每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长 度(精确到0.01m) y x 例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨 度AB=20 m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一 个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m) 解:建立坐标系如图所示, 圆心在y轴上。 设圆心坐标是(0,b), 圆的 半径是r , 则圆的方程是 x 2+( y -b)2 =r 2。 因为P、B都在圆上,所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是 圆的方程的解。所以有 ?10 2 ? ( 0 ? b ) 2 ? r 2 2=14.5 2 解之得: b = -10.5 , r ? 2 2 2 0 ? ( 4 ? b ) ? r ? y x 例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨 度AB=20 m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个 支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m) y (续) 所以圆的方程是: x2 + (y + 10.5) 2 = 14.5 2 把点P2的横坐标x = -2 代入圆的方程,得 (-2) 2 + (y + 10.5) 2 = 14.5 2 2 2 因为P 2 的纵坐标 y > 0 ,所以 y ? 14.5 ? ( ?2) ? 10.5 x ≈14.36 -10.5 = 3.86(m) 答:支柱A2P2的长度约为3.86m。 小结 (1)圆心为C(a ,b),半径为r的圆的标准方程为 (x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 当圆心在原点时,a = b = 0,圆的标准方程为: x 2+ y 2= r 2 (2)由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数, 因此必须具备三个

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