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2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标7二次函数与幂函数理201804254106

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课时达标 第 7 讲

[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成

立问题以及二次方程的根的分布问题,一般以选择题、填空题的形式呈现,排在中间靠前的

位置,难度中等.

一、选择题

1.(2018·河南南阳模拟)已知幂函数 f(x)=k·xa 的图象过点???12, 22???,则 k+a=
(C)

A.12

B.1

3 C.2

D.2

解析 因为 f(x)=k·xa 是幂函数,所以 k=1.又 f(x)的图象过点???12, 22???,所以???12???a



2 2 ,所以

a=12,所以

k+a=1+12=32.

2.(2018·天津模拟)抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限与 x 轴的两个交点分别 位于原点两侧,则 a,b,c 的符号为( B )

A.a<0,b<0,c<0

B.a<0,b>0,c>0

C.a<0,b<0,c>0

D.a<0,b>0,c<0

解析 由题意知,抛物线开口向下,故 a<0.由抛物线与 x 轴的两个交点分别位于原点

两侧,得 ac<0,所以 c>0.再由顶点在第一象限得-2ba>0,所以 b>0.

3.对任意的 x∈[-2,1],不等式 x2+2x-a≤0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( D )

A.(-∞,0]

B.(-∞,3]

C.[0,+∞)

D.[3,+∞)

解析 设 f(x)=x2+2x-a(x∈[-2,1]),由二次函数的图象知,当 x=1 时,f(x)取得

最大值 3-a,所以 3-a≤0,解得 a≥3,故选 D.

4.对于幂函数

4 f(x)=x5

,若

0<x1<x2,则

f???x1+2 x2???和f

x1

+f 2

x2

的大小关系是

(B)

1

A.f???x1+2 x2???<f

x1

+f 2

x2

B.f???x1+2 x2???>f

x1

+f 2

x2

C.f???x1+2 x2???=f

x1

+f 2

x2

D.无法确定

解析 根据幂函数的性质:当 0<x<1 时,图象是向上凸的,且通过点(0,0),(1,1),可

知 B 项正确.

5.设函数 f(x)=x2+x+a(a>0),已知 f(m)<0,则( C )

A.f(m+1)≥0

B.f(m+1)≤0

C.f(m+1)>0

D.f(m+1)<0

解析 因为 f(x)的对称轴为 x=-12,f(0)=a>0,所以 f(x)的大致图象如图所示.

由 f(m)<0,得-1<m<0,所以 m+1>0,所以 f(m+1)>f(0)>0,故选 C.

6.(2017·山东卷)已知当 x∈[0,1]时,函数 y=(mx-1)2 的图象与 y= x+m 的图象 有且只有一个交点,则正实数 m 的取值范围是( B )

A.(0,1]∪[2 3,+∞)

B.(0,1]∪[3,+∞)

C.(0, 2]∪[2 3,+∞)

D.(0, 2]∪[3,+∞)

解析 在同一直角坐标系中,分别作出函数 f(x)=(mx-1)2=

m2???x-1m???2 与 g(x)= x+m 的大致图象.
分两种情形:

(1)当

0<m≤1

1 时,m≥1,如图①,当

x∈[0,1]时,f(x)与

g(x)的图象有一个交点,符

合题意;

(2)当

m>1

1 时,0<m<1,如图②,要使

f(x)与

g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需

g(1)≤f(1),即 1+m≤(m-1)2,解得 m≥3 或 m≤0(舍去).

2

综上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞).

故选 B.

二、填空题

3 7.已知函数 f(x)=x4 ,且 f(2x-1)<f(3x),则 x 的取值范围是

???12,+∞???

.

3 解析 f(x)=x4 在定义域[0,+∞)上是递增的,

由 f(2x-1)<f(3x),得 0≤2x-1<3x,所以 x≥12.

8.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式为 f(x)

=12(x-2)2-1 .

解析 依题意可设 f(x)=a(x-2)2-1,又其图象过点(0,1),

∴4a-1=1,∴a=12,∴f(x)=12(x-2)2-1.

9.已知 f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当 x∈(0,2]时,f(x)=2x-1,函数 g(x)

=x2-2x+m.如果? x1∈[-2,2],? x2∈[-2,2],使得 g(x2)=f(x1),则实数 m 的取值范 围是__[-5,-2]__.

解析 由题意得函数 f(x)在[-2,2]上的值域 A 为函数 g(x)在[-2,2]上的值域 B 的子 集,又当 x∈(0,2]时,f(x)=2x-1∈(0,3],所以当 x∈[-2,0)时,f(x)∈[-3,0),而 f(0)

=0,因此 A=[-3,3].由二次函数性质知 B=[m-1,8+m],从而

??m-1≤-3,
?

解得-5≤m≤-2.

??8+m≥3,

三、解答题

10.已知二次函数图象的对称轴为 x=- 2,截 x 轴所得的弦长为 4,且过点(0,-1),

求函数的解析式.

解析 ∵二次函数图象的对称轴为 x=- 2,

∴可设所求函数的解析式为 f(x)=a(x+ 2)2+b.

∵二次函数 f(x)的图象截 x 轴所得的弦长为 4,

∴f(x)过点(- 2+2,0)和(- 2-2,0).

又二次函数 f(x)的图象过点(0,-1),

∴?????42aa++bb==0-,1,

解得???a=12, ??b=-2,

∴f(x)=12(x+ 2)2-2.

11.(2018·山东德州月考)已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]

3

上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解析 (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数,

故?????ff

=5,

??9a-6a+2+b=5,

=2

? ???4a-4a+2+b=2

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,

??a=1, ? ???b=0.

故?????ff

=2, =5

?

??9a-6a+2+b=2, ???4a-4a+2+b=5

?

??a=-1, ???b=3.

∴?????ab==10, 或?????ab= =- 3.1,

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x2-2x+2.

g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,

∵g(x)在[2,4]上单调,∴2+2 m≤2

m+2 或 2 ≥4.

∴m≤2 或 m≥6.故 m 的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞). 12.(2018·河北唐山调研)设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.求 f(x)的

最小值.

解析 (1)①当 x≤a 时,函数 f(x)=x2-x+a+1=???x-12???2+a+34. 若 a≤12,则函数 f(x)在(-∞,a]上单调递减,从而函数 f(x)在(-∞,a]上的最小值 为 f(a)=a2+1;

若 a>12,则函数 f(x)在(-∞,a]上的最小值为 f???12???=34+a,且 f???12???≤f(a). ②当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x-a+1=???x+12???2-a+34. 若 a≤-12,则函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 f???-12???=34-a,且 f???-12???≤f(a); 若 a>-12,则函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数 f(x)在[a,+∞)上的最小 值为 f(a)=a2+1.

4

??? 综上,f(x)min=

34-a,a≤-12, a2+1,-12<a≤21,

??a+34,a>12.

5


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